Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это одна из собственных функций самосопряжениого оператора Йп. Конечному состоянию отвечает некоторая функция состояния ф, ее можно представить в виде суперпозиции собственных функций нм Коэффициенты 5ы определяют вероятности перехода из и-го состояния в й-е: )Ры= !5х,!'. Набор чисел 5» носит название матрицы рассеяния или 5-матрицы. Если 5-мах рица известна (найдена), то задача о рассеянии решена: через величины (5ы!' можно найти сечения рассеяния для каждого из возможных каналов реакции, т. е. вероятность возникновения различных частин при взаимодействии исходных между собой. Матрица рассеяния в принципе может быть найдена из решения уравнения Шредингера [или соответствующих уравнений релятивистской квантовой физики).
Значения матричных элементов 5,. вычисляются с помощью теории возмущений в общих чертах так же, как находились коэффициенты Г . в $21, причем в формулах (21 16) и (2!.17) нужно произвести интегрирование по ! в пределах от — оо до оо. Допустим, что эти формулы пригодны для вычисления элементов 5-матрицы. В соотноше нни (21.!7) фигурируют промежуточные состояния невозмушенной системы. В данном случае промежуточным состояниям можно сопоставить наборы частиц, отличающиеся от нх начального и конечного наборов. Частицы, живущие короткое время и соответствующие промежуточным состояниям, называются виртуальными. Их непосредствен. нос обнаружение с физической точки зрения невозможно, ибо энергия виртуальных частиц не превышает неопределенность энергии системы реальных частиц, находящейся при взаимодействии в нестационарном состоянии.
(Согласна соотношению неопределенностей бЕт) 2пй; т — время жизни, а ЛŠ— энергия виртуальных частиц.) Несмотря на невозможность «самостоятельного» существования, виртуальные частицы являются переносчиками всех взаимодействий между реальными частицами и современной релятивистской квантовой теории. Обычно считают, что для виртуальных частиц нарушена связь между энергией и импульсом, даваемая формулой Эйнштейна (см.
ч. 11, (4.! 6) ). Однако законы сохранения энергии импульса, момента импульса, заряда в системе реальных частиц выпалнякггся и при участии виртуальных частиц. Существование виртуальных частиц под- 262 тверждается многими микроявлениями, которые объясняются квантово-релятивистс)сой моделью взаимодействия. Рассмотрим электромагнитные взаимодействия при высоких энергиях между электронами, позитронами и фотонами. Функции состоянии этих частиц находятся из невозмущенных релятивистских уравнений для свободных частиц, а элементы матрицы рассеяния находятся через матричные элементы оператора взаимодействия заряженной частицы с полем во втором и следующих приближениях теории возмущений.
Каждому приближению теории сопоставляется обмен взаимодействующих частиц виртуальными фотонами. Существенно, что матричные элементы содержат малый множитель — безразмернет 1 ную постоянную тонкой структуры:и = — — . При нахождении элементов матрийс 137 ' пы рассеяния получаются ряды, солержащие слагаемые, пропорциональные и, а' и т. д., что обусловливает хорошую сходимасть ридов и высокую степень точности начальных приближений.
Таким образом, малость постоянной а лежит в основе многих успехов квантовой электродинамики. Другие взаимодействия между элементарными частицами также исследуются методами теории возмущений, но здесь встречаются большие трудности, так как в ряде случаев неизвестен точный вид оператора взаимодействия, а константа связи, аналогичная постоянной и, не мала. (Ее значение при сильных взаимодействиях оказывается порядка единицы и более.) Тем не менее в настоящее время теорию сильных взаимодействий — квантовую «ромодинпмику — удалась развить по тай же принципиальной схеме взаимодействия с помощью виртуальных частиц. Оказалось, чта при малом расстоянии между составными частями адронов — кварками — сильные взаимодействия ослабевают и константа взаимодействия становится малой, что и позволяет применять теорию возмущений. Переносчиком взаимодействия оказывается новая виптчальная частица -- глюаи (см.
(20) ). Ранее оригинальный метод исследования, не утративший значения и в настоящее время, был предложен Гейзенбергом. Можно изучать взаимодействие частиц, не обращаясь к уравнению Шредингера или другим каким-либо квантовым уравненинм, а основываясь прямо на свойствах 5-матрнцы. Теория строится на некоторых аксиоматических положениях, ластаточных лля определения матричных элементов 5, и описания экспериментальных данных. Матрица рассеяния должна удовлетворять ряду требований, выполнение которых необходима, чтобы она давала информацию о реальных процессах.
В частности, на нее накладывается условие унитарности: Х 5'„,5,„=5.„, которое связано с тем, что сумма вероятностей рассеяния по всем возможным каналам реакций должна равняться единице. Элементы матрицы не зависят ат выбора системы коорлинат, они являются аналитическими функциями энергии н других параметров. При обращении времени матрица не изменяется, что приводит к одинаковой вероятности прямых и обращенных во времени переходов. Методические указания и рекомендации !. Теория рассеяния — важное составное звено квантовой механики: Ряд понятий и методов теории используется в ядерной физике и в физике элементарных частиц.
Нельзя обойтись без них и в соответствующих разделах курса теоретической физики пединститута. Поэтому сущность явления рассеяния, его основные характеристики— сечение и амплитуда рассеяния, кваитово-механическая их трактовка и постановка вопроса о теоретическом расчете сечений с помощью уравнения Шредингера — должны твердо усваиваться студентами. Что же касается довольно сложных выкладок ($23, п. 2 и $24, и. )), то, по-видимому, нужно добиваться понимания их основных этапов. Ведь, по сути дела, в вопросах рассеяния мы вступаем в об- 253 ласть специальных приложений квантовой механики и углубляться в них в пединститутском курсе невозможно. Для расширения горизонтов квантовой физики в сознании читателей в курс введен $24, п.
3. И. Студентам следует знать сущность упругого и неупругого рассеяний, определение дифференциального и интегрального сечений рассеяния, взаимосвязь классического и квантово-механического подхода к этим определениям, связь амплитуды рассеяния с сечением; понимать постановку задачи о рассеянии в квантовой механике, т.
е. писать формулу (23.6) на основании качественных соображений, знать формулу амплитуды рассеяния в первом приближении теории возмущений (23.1!). Студенты должны ориентироваться в выводе амплитуды рассеяния на силовом центре и уметь переходить к первому приближению, объяснять применение формулы (23.11) к центральному полю и ориентироваться в выводе формулы Резерфорда (24.5), смысл которой должен раскрываться детально. Сушественно понимание отображения теоретических понятий н формул рассеяния на практические опыты и измерения в них.
Применение формул рассеяния иллюстрируется в упражнениях, где рассмотрены самые простые и физически наглядные случаи. Упражнение ЛП 1. Вычислите в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния на сферической потенциальной яме: (У= — ~(Уо1, если г~(11, (У=О, если г~)г.
Р е ш е н и е. По формуле (24.2) о во о ОЕЬО' НЕ-Н Р зв ~о Ьо 4 2. Определите в борновском приближении дифференциальное и полное сечения рассеяния в потенциальном поле: (У=В6 (г) («удар» о точечный силовой центр). Р е ш е н н е. 1(О)= — -~„-; — ~ Вб(г) е'т!)г= — — " —;, г1а = -" — — оИ, Х = -е — .
4л~а' ' оз' 3. Определите сечение рассеяния для упругого столкновения двух тождественных частиц. Р е ш е н и е. Координатная часть волновой функции системы из двух тождественных частиц должна быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки частиц местами. В системе отсчета, 254 Рис.
23.3. связанной с центром масс, г,= — гн поэтому перестановке частиц отвечает замена сферической координаты 0 на и — 0 (рис. 23.3). Функция состояния первой частицы удовлетворяет краевому условию на бесконечности: м» (.(в) ч»1=е + Г Для второй частицы ~~~ — в и» фс=Е Г Волновая функция системы с учетом ее симметрии при г- оо имеет вид ф=е"'-~-е "'+ — '' (~(0)-~-((и — 0)1 Г Это суперпозиция двух плоских волн, распространяющихся навстречу друг другу, и одной сферической, которая описывает удаление частиц от начала координат после их взаимодействия.
В силу тождественности частицы неразличимы, и сечение рассеяния определяет вероятность обнаружения любой из них в телесном угле Л); поэтому с(ь) = Ц (0)-+ 1 (и — ОН 'с((2. 4. Рассчитайте упругое рассеяние а-частиц на а-частицах. Решение. Пользуясь формулой Резерфорда (24.5) и данными задачи 3, пишем )(0)= — ', ((я — 0)= .,в' ',в' р» мп со«вЂ” 2 2 (о=А'( ' + ' ~ ' ) (() яп-' со« -" Мп 'со«»' 2 2 2 2 Последнее слагаемое в скобках выражает «добавку» к сечению за счет тождественности частиц: при 0= †" сечение удваивается.
2 (Во избежание недоразумений следует учесть, что формула (! ) верна амелько при больших энергиях, когда удовлетворяются условия применимости теории возмущений.) 5. Перенесите результаты задачи 4 в лабораторную систему отсчета, где вторая частица до столкновения покоится. Р е ш е н н е. Формула перехода: с»»ь.'» "~~" ~ ~ ~« ~ ' ~и ы+т ~ы ш ~~~ 2 При гп~ =я» до„=2 Ч1+соз 0 )1(0))' сЮ„, О, = В, и — 0 2и 2 откуда 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
