Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Такова в самых общих чертах постановка вопроса о микрочастицах и их взаимодействии в релятивистской квантовой механике. Заметим, что в современной теории релятивистские уравнения играют вспомогательную роль, ибо волновые функции свободных состояний могут быть написаны и без них, из соображений лоренцинвариантности. Однако в истории развития квантовой теории к волновым полям пришли на основе релятивистских уравнений Клейна- Гордона — Фока, Паули, Дирака и др. Помимо задач на рассеяние релятивистская квантовая механика решает и задачи на расчет связанных состояний в кеазиреллтивистской области, где используются релятивистские уравнения движения, но применимо еще описание с помощью координатной функции состояния и возможна ее вероятностно-статистическая трактовка Расчеты с помощью уравнения Дирака уточняют, например, уровни энергии атома водорода Мы ограничимся рассмотрением релятивистских уравнений для свободных частиц и придем с их помощью к понятиям о спине, частицах и античастицах.
Следует заметить, что изложенное ниже носит характер введения и иллюстраций к отдельным понятиям релятивистской квантовой физики и отнюдь не раскрывает основного содержания этой науки. 25.2. Уравнение Клейна — Гордона — Фока. Гамильтониан для свободной частицы в нерелятивистской теории выбирается по принципу соответствии на основе классической формулы связи энергии и имп льса: У Е=-к — . (25.4) 2м ' И само уравнение Шредингера для этого случая можно получить формальным приемом: достаточно заменить в формуле (25.4) Е на операд тор гй —, а вектор р — на оператор р и подействовать этими опед~ ' риторами на волновую функцию ф.
В результате вместо формулы для энергии получается уравнение Шредингера: И вЂ” = — ф. дг л щ 2т Для получения тем же способом релятивистского уравнения следует воспользоваться релятивистской связью между Е и р— формулой (25.1) 260 После очевидных преобразований имеем Ь ( —,— — Л~ф= — т с ф. 2/1 д' 1 ээ (с' ш' (25.5) Придадим уравнению (25.5) четырехмерную форму, используемую в СТО (см. ч.
!1, $3 и 4). Для этого введем оператор Р. (а=О, 1, 2, 3) с проекциями: й д " й д й д " й д Рй= —, Р~ = —, Р2= —. —, Рз= (25.6) с дг ' с дх' г дк' г' дл Подставим выражения (25.6) в формулу (25.5) и получим Х (р„)'ф= — гп'с'ф а=О Ьэ С) ф = — пг'с'ф или (25.7) где П вЂ” лоренц-инвариантный оператор Даламбера. Для обсуждения лоренц-ннварнантности уравнений (25.5) и (25.7) необходимо указать, как преобразуется функция ф (х, у, г, 1).
Если потребовать, чтобы величина ф была скаляром преобразований Лоренца, то мы и получим первое и простейшее релятивистское уравнение, предложенное в 1926 г. и известное под названием уравнения Клейна — Гордона — Фока Но уравнение Клейна — Гордона — Фока можно записывать и для теизора преобразований Лоренца ф, ь любого ранга. Уравнение Шредингера в нерелятивнстской области универсально в том смысле, что без учета спина оно может быть применено для любых микрочастиц. Релятивистское уравнение Клейна — Гордона — Фока в случае скалярных ф-функций приложимо только к бесспиновым частицам, например к л-мезонам. Тензорные функции описывают частицы с целым спином Однако важнейший класс микро- частиц с полуцелым спином — фермионы — этим уравнением не охватываются.
Частицы со спнном, равным 1, описываются функцией, являющейся вектором преобразований Лоренца: фо=О, ь)ь= (ь (х, у, г, 1), й=1, 2, 3. Соответствующее уравнение Клейна — Гордона — Фока сводится в этом случае к трем скалярным уравнениям С) ф = — гп~сф. (25.8) 2ш Уравнения (25.8) применяются к так называемым векторным мезонам. (Примером могут служить К-мезоны.) Известны и частицы с целочисленными спинами, большими единицы. Они описываются тензорными функциями состояния соответствуюгцих рангов, каждая из компонент которых удовлетворяет уравнению (25.7) (Но все компоненты, содержащие индекс О, равны О.) Спин, таким образом, оказывается непосредственно связан- ным с поведением волновой функции по отношению к преобразованиям Лоренца, с ее хгиогокомпонентностью: спиновое число частицы з равно рангу тензорной волновой функции.
В соответствии с математическим формализмом описания спина, изложенным в $ 13, волновая функция микрочастицы с учетом спина многокомпонентна: для нулевого спина ф=ф(х, у, г, 1) — одна компонента; для единичного спина / 1р~ (х, ц, г, г) 'т'2 (х и, г, 1) фз(х, ц, г, г) Отсюда Правая часть с точностью до постоянного сомножителя совпадает с выражением плотности потока вероятности в шредингеровской теории, Вводя недостающий сомножитель — ', получаем 2тв ' — — —,,(ф*д,— — ф д, ) = ~7 2 (ф*~7ф — ф~7ф*). (259) Поскольку вектор 2т (ф (25.10) есть плотность потока вероятности, то плотность вероятности вы- ражается в случае релятивистского уравнения (25.5) новой вели- чиной: (ф«д~ ф й*) (25.1! ) 262 три компоненты и т.
д. (о полуцелом спине речь пойдет ниже). Итак, в релятивистской теории многокомпонеитность волновых функций, а вместе с ней и спины микрочастиц связаны с лоренц-инвариантностью ф-функций и основного уравнения для рассматриваемых частиц. Уравнение Клейна — Гордона — Фока (25.7) может быть обобщено на движение частицы в потенциальном поле (квазирелятивистский случай), но мы ограничимся случаем свободного движения, так как здесь сравнительно просто и наглядно выявляются качественные особенности описания микрочастиц в рслятивистской квантовой механике. Получим уравнение непрерывности для изучаемого уравнения. Для этого обе части уравнения (25.5) умножим на ф* и из полученного выражения вычтем ему комплексно-сопряженное.
Приходим к равенству —,", (ф'ф — фф*-) =д'(ф*лф — галф*) Из формулы (25.1!) видно, что ш может принимать отрнцатепьные значения. Это вызывает трудности в интерпретации понятня о вероятности местоположения частицы в пространстве без учета каких-либо других ее свойств, кроме входящей в формулу массы. Однако в уравнении Клейна — Гордона — Фока заключены возможности выявления дополннтельных свойств частицы для снятия указанной трудности. 25.3. Чвстнцы н антнчаствцы. Ищем решение уравнения (25.5) в виде плоской волны; т ми-ео ф=ле Подстановка этого предполагаемого решения в уравнение (25.5) дает — р'-~- ', и, — ~ р .~.
= и, (25.12) с" где е=с ~р'+т с . Таким образом, плоские волны являются решением уравнения для скалярных частиц прн условии, что энергии, импульс н масса последних удовлетворяют формуле Эйнштейна (25.! 2), встречавшейся в курсе ранее, в ч. !1, $4. Там речь шла о макроскопнческнх телах н второе решение (Ьз(0) отбрасывалось как не имеющее физического смысла. Сейчас остановимся на знаке энергии частицы с заданной массой т н импульсом р несколько подробнее. Согласно' формуле (25.12) непрерывное множество положнтель'- ' ных значений энергии частицы массой т прн всевозможных значеннях импульса р ограничено снизу энергией покоя ее тс'. Аналогично отрицательные энергии ограничены сверху значением — тс'.
Тем самым вся область допустимых энергий разорвана на две части запрещенным интервалом шириной 2тс' (рнс. 25.1). Макроскопнческая физика оперирует с положительными релятнвнстскнмн энергиями тел, а поскольку скачкообразных изменений энергии, нарушающих ее непрерывный ход, здесь не встречается, то н не рассматривают отрицательные энергии, В квантовой физике запрет на скачкообразное изменение энергнн снимается, однако н здесь от отрицательных энергий мнкрочастнц х,*сГ к,'-х л'*х Ф Рис. 25.2.
Рис. 25 К приходится отказываться. Дело в том, что «дна» у отрицательной области энергии нет, а это означает возможность выделения бесконечных энергий при безграничном опускании частиц вниз по энергетическим состояниям. Итак, энергия микрочастицы с заданными массой и импульсом всегда положительна и равна величине е в формуле (25.12). Учитывая это обстоятельство, запишем оба решения релятивистского уравнения (25.5) для свободных частиц: ! ! ф<«1=Ае, ф1 1=Ае (25.13) Считается, что эти решения отличаются не энергией частиц: она одна и та же и равна е, а описывают два различных возможных состояния частицы: ф1ч > соответствует частице, а ф1 1 — античастице.
Частица и античастица характеризуются одной и той же массой, могут обладать (как это имеет место в формулах 25.13) одним и тем же импульсом, но отличаются друг от друга знаком в функции состояния, связанным с таким внутренним параметром, как электрический заряд и др. Релятивистское уравнение Клейна — Гордона — Фока не только выявляет новую «степень свободы», проявляющуюся как два возможных состояния частицы, но и позволяет связать эту степень свободы с электрическим зарядом частицы. Вычислим плотность вероятности для частицы и античастицы по формуле (25.11): ш1+1= —,)Ф+1)~, ш< ~= — —, ~ф1 )) . (25.14) Если теперь наделить частицы электрическим зарядом, выражающимся некоторым числом е, то для плотности заряда получим р~~~= —" Щ~~~1' р~ — = — " 1ф 1' (25 15) Иными словами, существуют два состояния частицы, отвечающие двум зарядовым состояниям: р~+1) О и р~ 1(0.
Отрицательный знак во второй формуле (25.15) можно отнести к заряду. В таком случае частица и античастица отличаются знаком заряда, который принимает два значения: ~-е. Поэтому решения ф1ч.1 и ф~ 1 для частицы и античастицы называют зарядово-сопряженными. (Трудности толкования отрицательной плотности в формуле (25.1!) теперь исчезают. Речь идет, по существу, о плотности заряда: р= ~ею.) Возможно также связать знак в функции состояния для частицы и античастицы с геометрической интерпретацией движения частицы в четырехмерном пространстве — времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
