Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Для одномерного случая движения частицы и античастицы имеем диаграммы (рис. 25.2). Знак минус отнесем к собственному времени античастицы, идущему в обратном направлении по отношению ко времени наблюдателя и собственному времени частицы. Поэтому для одного и того же нм- пульса в системе наблюдателя направления мировой линии у частицы и античастицы противоположны. Введение наряду с частицами соответствующих им античастиц в релятивистской области приводит к совершенно новой трактовке волновой функции.
В самом деле, общее решение релятивистского уравнения должно быть записано как линейная суперпозиция зарядово-сопряженных решений: (25.16) В соответствии с этим в релятивистской квантовой теории, вообще говоря, вместо отдельных элементарных частиц рассматривается волновое поле ф возбужденными состояниями (квантами) которого являются частицы и античастицы. Найденное решение (25.16) скалярного уравнения Клейна — Гордона — Фока описывает, например, и-мезонное поле. Волновое поле релятивистской теории в обгцем случае не несет информации о местоположении частицы в пространстве, как об этом уже говорилось в $ 25, п. 1. И только в квазирелятивистском случае старая трактовка ф-функции сохраняется.
$26. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 26.1. Матрицы Дирака и уравнение Дирака. В 1928 г. Дираку удалось найти релятивистское уравнение, описывающее электроны и позитроны. Это матричное релятивистское обобщение уравнения Шредингера (8.3), сохраняющее формально его внд 16 дх= Нф, (26.1) дг но теперь в (26.1) ф — четырехкомпонентная функция, матрица- столбец: (ь) Четырехрядной квадратной матрицей является н гамильтониан: Н = с (ар)+ тф, (26.2) где а и 6 — четырехрядные матрицы, носящие название матриц Дирака.
Значок вектора у матрицы а означает, что она представляет собой совокупность трех матриц: а„, и„, сг„для сокращения записей и выкладок объединенных в трехмерную вектор-матрицу. Введение четырехрядных матриц обусловлено следующими требованиями к разыскиваемому релятивистскому уравнению: оно должно быть лоренц-инвариантным и в то же время содержать первую производную по времени. Но в таком случае в уравнение должны входить 255 производные первого порядка не только по времени, но и по пространственным переменным.
Кроме того, уравнение должно быть, как это требует принцип суперпозиции состояний, линейным. Наконец, вид гамильтониана подсказывает принцип соответствия: Й =с р +т'с'. (26.3) Анализ показывает, что для обеспечения всех этих требований нельзя ограничиться уравнением для однокомпонентной функции (или, как это было в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока, одинаковыми уравнениями для каждой компоненты ф„), а необходимо ввести многокомпонентную функцию ф и соответственно матричные соотношения и операторы. Наименьший возможный для выполнения названных выше требований ранг матриц оказывается равным 4.
Совокупность перечисленных требований позволяет найти матрицы а и )1, введенные в уравнение (26.2) . Воспользуемся готовым результатом: 0001 0 0 0 — ! 0 01 0 (0010~ (УО О; О ~ /О 00-1( ~0! 00 /'~" ~0 — 10 0 /'~' )(! 00 О/' 1000 ! 0 0 0 0 — 10 0 (26.4) Если теперь, используя матрицы (26А), записать уравнение (26.1) с гамильтонианом (26.2) для каждой матричной строки, то получим следующие четыре уравнения: =с (р ц~у) т4+срг$3+тс фь (Ь ~2х=с (р„+ ц)д) фз — ср,ф4+ тс~фг, ш (26.5) сй с (ру ц)у) фз+сргф! тс 3$ъ3, !В =с (р +!р ) ч'1 ср "~ тс~$4.
д~ Формулы (26.5) в совокупности и выражают уравнение Дирака (26.1) в подробной записи. Гамильтониан (26.2), а вместе с ним и уравнение Дирака и (26.5) написаны для свободной частицы. Для обобщения их на случай движения частицы в потенциальном силовом поле следует прибавить в операторе Й (26.2) оператор потенциальной энергии, после чего получим Й=с(ир)+тс'6+1(У (х, у, г, 1), 266 где ! — единичная матрица. В квазирелятивистском случае предпо- лагается, что внешнее поле слабое, н энергия взаимодействия недос- таточна для рождения и уничтожения частиц, так что возможны связанные состояния.
Й=сй(р — аА)+ тс'6+(дя, (26.6) где е — заряд частицы; А — векторный, а е — скалярный потенциалы электромагнит ного поля. Применяя уравнение стирана с оператором (26.6), уточняют, в частности, решение задачи об электроне в атоме водорода, выясняя тонкую структуру уровней энергии (д = — е).
Мы не будем решать уравнение Дирака для квазирелятивистского случая частицы в силовом поле, а ограничимся свободными частицами. Важные качественные особенности микрочастиц, связанные с релятивистской и квантовой их природой, могут быть выяснены в процессе решения уравнения для свободных частиц. Заметим, что это решение используется в квантовой электродинамике как исходный объект — электронно-позитронное поле.
26.2. Некоторые свойства решений уравнения Дирака. Для того чтобы уравнение Дирака сохраняло свою форму во всех инерциальных системах координат, необходимо, чтобы элементы матрицы- столбца зр определенным образом преобразовались при лоренцовом преобразовании координат. Но если преобразование координат нам известно (см. ч. !1, $ 3), то преобразование ф-функций, зависящих от этих координат, мы не знаем. Запишем искомое преобразование в общем виде: (26.7) где ). — матрица, элементы которой определяются матрицей преобразования Лоренца.
Волновая функция зр преобразуется не непосредственно матрицей Лоренца (как вектор предыдущего параграфа), а связанной с ней матрицей Х, так что все элементы матрицы ). находятся через элементы матрицы А. Далее конкретные значения элементов матрицы ) мы использовать не будем; важно лишь, что преобразование для тр, сохраняющее форму уравнения Дирака, известно. В этом случае зр называется спинорной функцией или спинором преобразований Лоренца ранга 1/2. Аналогично уравнению Клейна — Гордона — Фока $25 уравнение Дирака приводит к уравнению непрерывности: — — чр ч р = г) ) у сзр " астр. д д( (26.
8) Получим для примера конкретный вид релятивистского гамильтониана заряженной частицы в электромагнитном поле. для этого в написанном выше гамнльтоииане нужно ог обычного импульса р перейти к обобщенному: р,„=р+цА, ибо известный вид оператора р= — Ихг постулируется в случае обобщенно-потенциальных полей именно для обобщенного импульса. После этого имеем Введем зрт — матрицу-строку, сопряженную матрице-столбцу зр. Исходя из уравнения (26.)) имеем — пй — =арейа =с(рчетц+)+лзсзй'р" . ш (26.9) Умножим теперь уравнение (26.)) на Ч", а (26,9) — на е и найдем разность полученных выражений: ш (ч' — '"+ч ~ )= в'(црс)ч+ 'ч'м — сч(р*в' ') — 'чч'в'.
8( бт / (26.!О) Если учесть явный вид матриц ц и р, то соотношение (26.)0) преобразуется в уравнение непрерывности (26.8). Величина зр+тр существенно положительна, и в этом отношении нет препятствий для толкования ее как плотности вероятности положения частицы в пространстве (как это было в случае уравнения Клейна в $ 25). Однако многокомпонентность тр-функции приводит к выражению для зр~тр в виде суммы четырех слагаемых: ф+ тр = ф ~ зр|+ фетре+ фз фз+ фстр ь (26.11) В общем случае этой величине нельзя дать прямого толкования плотности вероятности для координат мнкрочастицы.
И лишь в нерелятивистском пределе, как это будет показано далее, возможно описание частицы, близкое к тому, что имело место для решения уравнения Шредингера. 26.3. Частицы и античастицы, спины частиц и теория Дирака. Испытываем в качестве решения уравнения Днрака й — ~= — (сар+тс р) тр (26.12) плоскую монохроматическую волну, снабженную матричным сомно- жителем: — ж зр=ие (26.13) где и — некоторая, не зависящая от координат г и времени ( одно- столбцовая матрица; соответственно тр — четырехкомпонентная функция.
Таким образом, предполагается, что имеется свободная частица с массой т и с импульсом р. Волновую функцию зр для нее отыскиваем в виде (26.13), определяя параметры и и Е. Подстановка (26.13) в уравнение (26.!2) дает равенство Еи=(сар+тс~6) и. (26. 14) Для нахождения и выразим четырехрядные матрицы а, р через двухрядные матрицы о, которые встречались ранее, в $13, под названием матриц Паули. Одновременно заменим четырехрядный столбец и на два двухрядных; и= (~,).
268 В результате получим Е( ~,) =~с (- )р+тс ( . ')'~ ( '~,). (26.15) Равенство (26.15), прочитанное по строкам для двухрядных матриц, приводит к системе уравнений (Š— тс') ее — еврее'=О, — со ры+ (Е+ те~) ы' = О. 1 (26.! 6) Отличные от нуля решения получаются, если определитель системы обращается в нуль: Ее — т'се се (о р)е = 0 Отсюда определяем энергию частицы; Е е=~е, где а=с ур +те, В результате, как и в $25, мы приходим к двум типам решений для свободных частиц: т~йе П ту~~ и ф!~>=и~е ', ер! ~=нее (26.18) Решения (26.18) интерпретируем как зарядово-сопряженные состояния частицы и античастицы — электрона и позитрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
