Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Возвращаясь к системе линейных однородных уравнений (26.16), рассматриваем ее при Е,=е и Ее — — — е. В таком случае находятся два решения: ь= — — Ы вЂ”, ее', е+ мс' ее'= — -г —;м, е+ мс' (26.19) Введем теперь конкретное обозначение для постоянных матриц- столбцов ы: а также выберем направление оси Ог по импульсу свободной частицы.
После вычислений скалярных произведений в формуле (26.19) и подстановок в матрицу и имеем для нее два регпения: С~ — Сз — д — '-, С 2 е+мс' е-1-мс' (26.20) Сз — С, — 'йе —, С е+ тс' е 269 Матрица и! относится к электрону, а из — к позитрону. Итак, решения (26.18) выражают состояния электрона и позитрона. Это четырехкомпонентные спиноры, описывающие спиновое состояние частиц. Рассмотрим приближенное решение для квазирелятивистского случая.
Тогда р,«пгс, е«птсэ и-'-Ег —; О. Поэтому матрицы и, и из е+ гис' имеют вид знакомых нам спиновых функций (см. $ ! 3): (26.21) О С, Подведем итог. Найденные решения (26.18) уравнения Днрака для свободной квазирелятнвистской частицы являются (если отбросить нули в матрицах-столбцах (26.21)) двухкомпонентными функциями, так как содержат сомножители — одностолбцовые матрицы: (26.22) Так выявилась дополнительная степень свободы для состояний частицы с заданными характеристиками пг и р.
Она учитывается спиновой функцией и. Требуя выполнения условии нормировки спиновых функций; и~ и~ = из ит = 1, получим С)С~+С)Сэ=!, СзСз+С;Сз=! что позволяет выбрать базисные спнновые функции электрона и позитрона в виде (26.23) Если воспользоваться введенными в $ ! 3 операторамн 5 и 5ь то легко убедиться, что в состояниях со спиновыми функциями и~( — ), из( — ) полуцелый спин (,2,7' (,2/ электрона или позитрона направлен по осн Оз, совпадающей с направлением импульса, а в состояниях со спиновыми функциями и~( — — ), ит( — — ) спин направ- 2) (, 2) лен против оси. В более общем случае состояний со сливовыми функциями (26.2!) вероятность той или иной ориентировки спина электрона опрепеляется соответственно величинами С)Сь СзСь позитрона — СзСэ, С(Сз. Рассмотрим оператор где о — векторное обозначение двухрядных матриц Паули.
Этот оператор коммугирует с оператором Й (26.2). Для свободного движения импульс сохраняется, следовательно, сохраняется н второй множитель, оператор которого (26.24) 270 является оператором проекции спина. Собственные значения оператора 5, известны. Поскольку 0 00 — ! а — Собственными для 2 ' то проекция спина на ось Оз принимает значения: операторов 5, и 5'=5,'+5т+5з являются функции д д а л Соответствующие им значения 5, таковы: —, —, —, — —. 2' 2' 2' 2' Нетрудно также найти модуль спина: Л -згз 5= —. 2 Если злектрои и позитрон рассматриваются в отдельности, то удобнее пользоваться двухрядными матрицами: с собственными функциями (20.23).
Полезно заметить, что в общем случае спниовые функции и — четырехрядные матрицы. Свободное волновое поле, соответствующее электронам и позитронам, выражается линейной суперпозицией решений (26.18), где спиновые множители есть матрицы (26.20): Волновая функция (26.25) несет информацию о квантах поля— электронах и познтронах, их импульсах, энергиях, спинах. 2 27. КВАНТОВАННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ (27.1) Однако последовательную квантовую теорию электромагнитного поля мы до сих пор не рассматривали. Подход к электромагнитному полю как совокупности квантовых осцилляторов, обсуждавшийся выше, в $ 22, раскрыл физическую идею квантования поля, но математически не был разработан.
Поэтому продолжим сейчас анализ воп- 27! 27.1. Представление электромагнитного поля в виде системы гармонических осцилляторов. В самом начале курса квантовой механики были введены важные формулы для энергии и импульса квантов электромагнитного поля: е=дю, р=д(с. роса о квантованном поле и познакомимся с элементами квантовой электродинамики. Квантовая электродинамика тесно связана с исходной для нее математической процедурой квантования макроскопических характеристик электромагнитного поля. Эта процедура основывается на принципе соответствия между классической и квантовой физикой, дополненном некоторыми новыми постулативными положениями.
В нашем курсе изучение квантовой электродинамики ограничивается знакомством с квантованием поля. В классической электродинамике свободное электромагнитное поле описывается волновым уравнением для векторного потенциала (см. ч. Н1, $4): азл ЛА — — — = О. ар (27. 2) Векторы поля Е и В находятся с помощью соотношений ал Е= — —, В=го1 А. д~ (27.3) Энергия и импульс электромагнитного поля выражаются через напряженность Е и индукцию В с помощью формул (Р= — ~)(заЕ~+ — В з г()7 77=)(еоЕ В) з()7.
(27.4) (27. 5) Кроме того, учтем, что электромагнитное поле поперечно, т. е. век- тор А перпендикулярен вектору (з. Вводя два единичных вектора поляризации (,и где а=1,2, перпендикулярные 77 и друг другу, за- пишем разложение: 2 А= Х Х („т(Ах.емг+Аые '"'). (27.7) (Благодаря комплексному сопряжению слагаемых в круглых скоб- 272 Мы будем рассматривать поле в кубе с ребром Е, которое может быть как угодно большим. На векторный потенциал накладывается условие периодичности: А (х+Е, у+Е, г+Е)=А (х, у, г), (27.6) Такой прием позволяет без уменьшения общности рассуждений применять разложение полевых величин в ряды Фурье вместо интегралов Фурье, что упрощает выкладки. Разложим векторный потенциал А (в кубе Е) в обобщенный ряд Фурье по функциям еьд', где 77 назовем волновым вектором.
Из условия (27.6) следует 2п 2зз 2л (зк= — по й„= — пз, (з = — пз, п~ з з= О, ~. 1, +.2, р=2: Х вЂ” "(ат„а";„+а;„аы), (27.16) ГДЕ 4Ь=М. Для интерпретации через параметры ат„и ческого гармонического полученных выражений полевых величин а,* рассмотрим формулу энергии классиосциллятора (см. $6): ~' + тоЛ (27.! 7) 2т 2 Выполним подстановки, сводящие это выражение к сумме (27.15): $=х-у ым, 71= р, а= — Я+1п), а"= — Я вЂ” 17!). (2718) ! ! . ! чьим 112 4Г2 Получим е = —" (аа* + аа*). 2 (27.19) 274 Величины а и а", определяемые соотношениями (27.18), могут быть выбраны в качестве новых переменных вместо р и х для описания движения механического осциллятора, как это видно из формулы (27.19).
Сравнивая формулы (27.19) и (27.!5), имеем основание уподобить электромагнитное поле бесконечной совокупности гармонических осцилляторов. Соответственно совокупность гармонически зависящих от времени переменных аы и аы можно взять в качестве нормальных координат электромагнитного поля (см. ч. 1, $26). Итак, макроскопическое электромагнитное поле можно рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы. Каждой степени свободы соответствует монохроматическое гармоническое колебание. Все полевые величины выражаются через нормальные координаты системы: а;„и а;„. Такая интерпретация поля позволяет перекинуть мост между классическим и квантовым описаниями поля. 27.2.
Квантовые электромагнитные поля. Если заменить теперь совокупность классических осцилляторов в выражении (27.!5) на квантовые осцнлляторы, то мы перейдем к квантовому электромагнитному полю. Основная физическая идея — постулат квантования поля — именно в этом и состоит: квантовое поле уподобляется системе квантовых осцилляторов, каждый из которых соответствует гармонической составляющей макроскопического поля с волновым вектором й и поляризацией а в разложении (27. 7). Поэтому стационарные состояния осцилляторов определяют стационарное состояние поля, дискретные уровни энергии осцилляторов соответствуют возбуждениям, или квантам поля. Энергия и импульс кванта апре)4еляются формулами (27.1), а число квантов каждого сорта (Й, а) — квантовым числом пх„, задающим состояние соответствующего осциллятора.
Исходя из этих положений, мы можем сразу написать формулу для энергии стационарных состояний электромагнитного поля: Ф'=Х Х йьц(пт„+ — ), (27.20) !аю„> = ит (27.21) либо в матрицу-строку: (а;„1=(а;, а;, ...), (27,22) причем 1а;„~ += (а;„~. Нетрудно найти и квантовое уравнение поля в импульсном представлении. Выполняя в уравнении (27.8) подстановку (27.14), получаем для величин а„-„: да„-„ 1й — "= среа .. в1 1«' Отсюда следует и уравнение для функций состояния: 1й — )аы) =ср~1а,-„= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
