Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Рассчитайте сечение упругого рассеяния электронов на электронах с учетом спина. Р е ш е н и е. Используем формулу (1) задачи 4. Если суммарный спин — 1, то перед последним слагаемым в скобках нужно взять знак « — », если э=О, то «+». ГЛАВА !Х. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ПОНЯТИЕ О РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ Изучавшаяся выше в курсе квантовая механика является хотя и фундаментальной, но в то же время лишь малой частью современной квантовой физики.
Это нерелягиаистская теория, т. е. она относится к движениям микрочастиц со скоростями, значительно меньшими скорости света. Соответственно энергии свободных частиц, энергии взаимодействия частиц в системах, энергии связи систем частиц много меньше энергий их покоя (см. ч. П). Релятивистская физика — это физика больших скоростей, больших энергий. При взаимодействиях релятивистских частиц в общем случае не сохраняется масса покоя; поэтому становятся возможнымй процессы рождения, уничтожения и взаимопревращения частиц.
Так, при столкновениях нуклонов рождаются и-мезоны. Электрон и по. зитрон, аннигилируя, превращаются в у-кванты. Электрическое поле, окружающее заряженную частицу, рассматривается как результат непрерывного рождения и поглощения виртуальных фотонов. Из приведенных примеров видно, что релятивистская область 25з качественно обособляется от области движений и взаимодействий при малых энергиях. Завершая курс, мы хотим не только указать те рамки, за пределами которых перестает служить нерелятивистская квантовая теория, но и познакомить читателя с некоторыми идеями релятивистской квантовой теории.
Вопросы, изложенные в этой заключительной главе курса, имеют большое мировоззренческое значение, перебрасывая мосты между учением о движении микрочастиц и учением об их свойствах. Если быть последовательным, то надо сказать, что в настоящее время изучение свойств вещества, элементарных частиц невозможно без знакомства с идеями квантовании поля. Сказанное подтверждает актуальность изложенных ниже материалов для будущего учителя физики. Но нелишне заметить, что нами они сообщаются в ознакомительном плане. э 25. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ С НУЛЕВЫМ И ЦЕЛЫМ СПИНОМ 25.1. Границы применимости нерелятивистской квантовой механики и' переход в релятивистскую область. Все изложенное в курсе квантовой механики выше основано на уравнении Шредингера и вероятностно-статистической трактовке его решения — ф-функции, позволяющей определить вероятность местоположения частицы в малой окрестности той или иной точки пространства.
Нигде ранее не затрагивался вопрос об отношении функции состояния и уравнения Шредингера к преобразованиям координат при переходе от одной инерциальной системы к другой. Поскольку гамильтонианы записывались по принципу соответствия с классической механикой, то очевидно, что основные уравнения были ковариантны по отношению к преобразованиям Галилея (см.
ч. 1, $3), а ф-функции являлись инвариантами, т. е. скалярами этих преобразований. Но это значит, что уравнение Шредингера, применявшееся ранее, справедливо только в нерелятивистской области движений и неприменимо в релятивистской. О том же говорит и нарушение закона сохранения числа частиц в релятивистской области, ибо уравнение Шредингера приводит к этому закону сохранения, не отображает возможность рождения и уничтожения частиц.
В процессе становления квантовой механики найдены лоренцинвариантные релятивистские уравнения, являющиеся обобщением уравнения Шредингера. Однако переход к релятивистской квантовой теории не сводится к замене одних уравнений другими, так как в релятивистской области изменяется качественный характер изучаемых явлений, а вместе с тем и способ их описания. Критерий для определения границы релятивистской области следует из соотношения между энергией и импульсом для свободной частицы (см. ч.
П, $4): 257 9 зак Вм откуда следует, что нижней границей для энергии частицы, если частица локализована с протяженностью Лх, оказывается величина: Е=рс 2лкс Лл (25.2) Когда энергия достаточно велика (болыпе энергии покоя), то возможно рождение новых частиц. Появляются пары частица— античастица. В таком случае утрачивается смысл локализации частицы в указанной области, а вместе с тем и обычная вероятностно- статистическая трактовка ее функции состояния. Предельное значение линейных размеров области локализации Е=с'р'+т'с', (25.! ) где тс' есть энергия покоя. Релятивистской является область импульсов, в которой р сравнимо или больше тс. При больших импульсах энергия частицы становится больше энергии покоя частицы, так что закон сохранения энергии не запрешаег образование новых частиц.
Это, вообше говоря, приводит к непостоянству числа взаимодействующих частиц. Более того, само понятие о частице с неизменными свойствами, участвующей во взаимодействии, в релятивистской области теряет в отдельных случаях смысл. Релятивистская квантовая механика есть теория волновых полей, у которых возбужденными состояниями, или квантами, являются элементарные частицы, а не механика одной частицы, находяшейся в силовом поле, или системы микрочастиц, взаимодействующих посредством силового поля (как это имело место в нерелятивистской механике: ньютоновской и шредингеровской).
Взаимодействие между полями приводит к изменению состояния — рождению и уничтожению частиц, физические параметры которых и должны быть определены в теории по виду полей и закону их взаимодействия. Рассмотрим переход от ф-функции нерелятивистской квантовой механики к волновому полю релятивистской. Хотя микрочастица в нерелятивистской квантовой теории и наделена по отношению к классической материальной точке новыми волновыми свойствами, она все же обладает и корпускулярными свойствами.
В частности, согласно толкованию ф-функции в каждый момент времени частица находится с определенной вероятностью в определенной точке пространства. Она отнюдь не заменяется некоторым непрерывно распределенным по пространству материальным полем. Но такая трактовка функции состояния ограничена релятивист.
скими рамками: область, в которой локализована микрочастица, не должна быть слишком малой. В самом деле, на основании соотношения неопределенностей (4.7) имеем для частиц с отличной от нуля массой покоя считается при качест- венных оценках удовлетворяющим равенству спс =— 2 гпйс Лх откуда Лх=ьс=— гпл спс (25. 3) Величину кс называют комптоновской длиной волны частицы. Для частиц с массой покоя, отличной от нуля, она тем меньше, чем больше масса. Так, для электрона Хь имеет порядок !О " м, соответственно для протона — в 2000 раз меньше и т. д, Для фотона из формулы (25.3) следует )О=- — =Х, гяк Р т. е.
комптоновская длина равна длине соответствующей электромагнитной волны. Говорить о локализации микрочастицы в области с размерами, меньшими комптоновской длины волны этой частицы, бессмысленно: в такой области утрачивает смысл и вероятностно-статистическая трактовка функции состояния. Если невозможна локализация, то невозможны и связанные состояния микрочастицы в системе с размерами, меньшими комптоновской длины волны этой микрочастицы. Здесь в соответствии с соотношением неопределенностей для энергии и времени могут находиться только виртуальные частицы, вреЛх мя жизни которых определяется размерами области: т = — .
Энергия н масса виртуальных частиц находятся из формулы (4.!О) гях 2сас х Лх Виртуальные частицы передают взаимодействие между сблизившимися на расстояние Лх реальными частицами. В релятивистской квантовой механике в качестве исходного объекта берутся не взаимодействующие между собой — свободные— микрочастицы. Для них релятивистская волновая функция, не давая каких-либо сведений о положении частиц в пространстве, несет определенную информацию о параметрах частиц — энергии, импульсе, моменте, спине, четности и т.
д, Волновая функция теперь отождествляется с некоторым волновым полем, описывающим состояние микрочастицы через ее параметры. Как это делается, показано ниже, а находят волновые функции с помощью релятивистских уравнений для свободных частиц. Основная задача релятивистской теории состоит в расчете вероятностей переходов (сечений рассеяния) в системе свободных до и после взаимодействия микрочастиц, т.
е. в расчете результата взаимодействия. Соответственно в ней заданы импульсы частиц до и после взаимодействия; поэтому функции состояния рассматривают как функции импульсов, а не координат. Задача решается с помощью методов теории нестационарных возмущений (см. $21), причем функции состояния невозмущенной системы составляются из функций состояния свободных частиц (волновых полей), вступающих во взаимодействие. Оператор же возмущения есть релятивистски-инвариантный оператор взаимодействия волновых полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
