Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Гармоники при квантовании рассматриваются как квантовые осцилляторы (см. $ 6) с частотой ы, и энергией стационарных состояний: 23б Е,=йш,п,+ — '. Ьы, 2 Возбуждения гармоники-осг(иллятора и есть кванты электромагнитного поля, или фотоны. Число фотонов определенной частоты ш, равно квантовому числу для данного осциллятора и,. Энергия нулевых колебаний — ' входит в общую энергию гармоники Ьы, 2 и соответствует невозбужденному состоянию осциллятора, а в макроскопических проявлениях — нулевой напряженности поля для данной гармоники. Энергия поля складывается из энергий гармоник-осцилляторов. С учетом двух независимых поляризаций монохроматических составляющих и запишем энергию электромагнитных волн в виде суммы энергии квантов: Е=Х (Дшп,")+ Ьм'+Данн)з)+ — "' ) =Х (Ьоьй,+Ьш,).
(22.)2) Сюда входит и энергия нулевых колебаний. Подчеркнем, что М, —. число квантов с частотой оз, и двумя значениями спиральности, На одну независимую поляризацию гармоники приходится число фо- Ы, тонов —. 2' П р и и е р 22.1. Расчет вероятности переходов в системе атом — фотоны. Рассмотрим процесс излучения и поглощения света с учетом квантовой природы электромагнитных волн. Основой для всех дальнейших расчетов послужит формула (22.7) 2п ю = — ие)ар ! р, Ь выражающая вероятность перехода и — т в единицу времени. Эту величину мож. но истолковать и как число переходов в единицу времени, и как число напущенных или поглощенных фотонов с энергией Ььь„„(Разумеется, это статистическая трактовка, т. е. применима ана к большому числу атомов.) Перейдем от напряженности поля к числу фотонов, взаимодействующих с атомом, для чего воспользуемся формулой плотности энергии электромагнитной волны (см.
ч. П!, (9.12)). Необходима также учесть, что в оператор возмущения (22.!) входит постоянное — амплитудное — значение электрической напряженности эта При расчете соответствующего числа фотонов иоле по условиям длинно- волнового приближенна (см. 4 22, о. 1) следует считать имеющим напряженность йг = аь Кроме того, каждой частоте ы соответствуют две гармоники с независимыми поляризациями. Итак, Ит Ь,Ы 4пк 2 1 где к= — — сокращенное обозначение константы, входящей в закон Кулона; 4пев не — амплитуда напряженности. Отсюда находим число фотонов, соответствующих резонансной частоте м=м .: ийр лг=— 2пкйм (22.13) Энергия нулевых колебаний Ьм в расчет ие принималась, так как при ЬГ=О 237 считаем В«=0.
Однако это слагаемое играет важную роль при анализе микропроцессов излучения и поглошения света, о чем речь пойдет ниже. Область локализации фотонов определяется длинами их волн, т. е. объем У, входящий в формулу (22.13), равен 1?, и он много больше размеров атома в соответствии с длиниоволновым приближением. С помощью формулы (22.13) вместо (22.7) для вероятности перехода имеем ю .=4л к — ы !ЧР .! р . (22.14) и перемножая почленна, имеем Л УЛр = (2пй) з где ЛУ есть объем обычного пространства, в катаром находится частица; Лр— объем пространства импульсов. В таком случае (2ла)х можно истолковывать нак минимальный объем «клетки» в фазовом пространстве координат и импуль.
сов, соответствующей одной частице. Для излученного фотона объем фазового пространства составляет Ур»г(рдГ), где «(р соответствует интервалу энергий пЕ, а элемент телесного угла взят в направлении излучаемой гармоники (см. рис. 22.1). Упрощая записи, все величины рассчитываем на единицу телесного угла, т. е. далее н формулы г(!! не входит. Ка один излученный фотон приходится, таким образом, столько состояний, сколько раз клетка (2лй)' укладывается в фазовом объеме: Ур «(р Уз~не ((2пд) с (2пй) Отсюда Вт Уе = Де =се(2пЬ) (22.15) Вставляя величину р нз формулы (22.15) в формулу (22.14), получаем выр«же- Рис. 22.2.
Рнс. 22.! 238 Далее применим зту формулу к излучению. После перехода имеется система, состояшая из атома с энергией Е, внешних фотонов числом ЛГ и одного нзлучениого фотона Ьм,. В соответствии с положениями $21, п. 4 необходимо учесть при применении формулы (22.14) платность числа конечных состояний системы в малом интервале энергии около ее значения Е, в который произошел переход. Применим соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и импульса (4.8). Записывая их как прнближеняые равенства Лхдр.
= 2пЬ, Лубр«=2пд, ЛзЛр,=2пй, иие для вероятности излучения в одну секунду фотона по определенному направлению в пространстве и с определенной поляризацией: "' = — з- )йр з 2пйс (22.16) Просуммируем искомую величину по двум независимым направлениям поляризации. Согласно рисунку 22.2 имеем рт„щп В=р~„соэ'и~+р~,соз аз=(д~Р ) +(пчт ) ° где В есть угол между вектором Р и лучом.
Следовательно, яд!и ш = — т))т ! з)п В. 2пйс (22.17) Для многих приложений от (22.17) нужно перейти к вероятности излучения атома по всем направлениям в пространстве. Вводя элемент телесного угла, интегрируем выражение (22.17) по всем направлениям: Р,= — ~ — !р,! з!и В юп Вс1Всйр. 7 2пс д После вычислений 4км ЛГ г Зс д (22.18) хе' Так как для атомов а — , то окончательно Ьы, м, (11,37)' Для оптических частот получается Р „10' с ', т.
е. время жизни состояния прн наличии внешнего поля составляет 1О з с. Вероятность излучения растет с частотой и зависит от плотности энергии соответствующей гармоники внешнего поля — от числа фотонов йГ. Сравнивая вероятности различных переходов и — т,можно понять, что интенсивность линий в спектрах при прочих равных условиях определяетси входящей в формулу (22.16) величиной )р,!. П р и м е р 22.2. Расчет вероятности спонтанных переходов. Кроме вынужденных или индуцироваиных переходов, рассмотренных в предыдущем примере, у атомов имеют место спонтанные переходы (см.
4 21, п. 6), Если переход совершается в состояние с большей энергией, то система поглощает, уменьшая число фотонов в поле (как правило, имеют место однофотоиные процессы, т. е. число фотонов в одном акте поглощения уменьшается на единицу). Понятно, что при отсутствии передачи атому энергии от внешнего поля поглощение исключено законом сохранения энергии. Иное положение складывается при излучении: атом 23с) Таковы результаты расчетов основных параметров излучения с учетом квантового характера поля.
Они неликом переносятся на поглощение фотонов атомами; в силу принципа микроскопической обратимости все формулы для вероятностей излучения справедливы и для поглощения. Подчеркнем также, что рассматривалось излучение под действием внешнего поля. Такое излучение называется вынужденным или индуцированным. В заключение вопроса оценим порядок величин, к которым приводит теория.
Считая !р .1 =еа, где а — линейные размеры атома, получаем для взаимодействия с одним фотоном (йГ= 1): переходит из высшего энергетического состояния в низшее, при этом рождение фотона не запрещено законом сохранения энергии Уравнение Шредингера привело иас еще в начале курса к стационарным состояниям. Атом как система из ядра н электронов, связанных внутренними силами, может находиться в состояниях с определенной энергией, ие изменяющейся с течением времени. Состояния сохраняются до тех пор, пока не поивляется внешнее переменное поле, вызывающее квантовые переходы. Это значит, что атом в возбужденном состоянии без внешнего воздействия излучать не должен, несмотря на энергетическую возможность перехода с излучением. Однако реальное положение дел иное.
Атом в возбужденных состоиниих пребываег сравнительно малое время. Лли переходов, соответствующих видимой части спектра, время жизни возбужденных состояний изолированного атома составляет Ю ' — !О ' с Излучение при нулевой напряженности внешнего поля существует. Это спонтанное излучение. Произведем для него расчеты, опираясь на следующие наглядные, но нестрогие положения, При Эг«=0 энергия поля согласно формуле (22.12) нулю не равна, а эквивалентна энергии одного фотона йм на две гармоники одной частоты, но разных поляризаций. Это значит, что имеется вероятность испускания фотона по любому направлению, определяемая формулой (2218) прн И=1: 4 3 (22.19) зс й Итак, вероятность спонтанных переходов из всех возбужденных состояний в основные илн нижележащие по энергии (в единицу времени) отлична от нуля, т. е.
все эти состояния квазистационарны, а спонтанный переход можно трактовать как распад квазистацнонариого состоиния. Время жизни квазистационарных состояний определяется формулой (21.35) (22.20) т,=— Р „ ширина уровня энергии — формулой (21,44) 2кй ЛЕ = —; т она называется естественной шириной. Во множестве атомов, находящихся в одном и том же возбужденном состоянии, «высвечивание> происходит с течением времени согласно формулам (21.38) и (21.39); к моменту времени г испущено фотонов: т! .=И (0)(1 — е л). Наконец, если я«ФО и, кроме спонтанного, происходит вынужденное излучение, то вероятность перехода увеличивается, время жизни сокращается, уровень энергии расширяется. Методические указания и рекомендации !.
В принципиальном отношении седьмая глава исключительно важна: в ней рассматривается эволюция систем микрочастиц с течением времени. Между тем основное внимание и учебное время обычно приходится уделять стационарным состояниям, своеобразной статике микромира. Как известно, понятия о квантовых переходах, квантовых «скачках» широко примекяется в квантовой физике и встречается в учебной и методической литературе. Нам представляется существенным выяснить вероятностный характер отдельного перехода и связать его со статистической интерпретацией проявления в большом числе 240 переходов ($21, п. 5). Между тем если преподавателем обычно прилагаются значительные усилия при вероятностной трактовке ффункции, то гораздо более трудное для усвоения понятие о вероятности перехода в наших кратких курсах почти не интерпретируется.
Особенно благоприятные условия возникают для трактовки соотношения неопределенностей энергия-время, если вывести его в процессе анализа нестационарного состояния ($ 21, п. 6). Наконец, изучение природы и характеристик самого квазистационарного состояния существенно для изучения далее физики ядра и элементарных частиц. Прикладной вопрос, для которого развита и на котором конкретизируется в главе теория изменения состояния квантовой системы с течением времени,— это излучение и поглощение света атомами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
