Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рамки курса и подготовка студентов позволяют выяснить лишь качественные стороны явлений. Лектор, как правило, встает перед необходимостью ограничиться малым именно тогда, когда только и открываются возможности для раскрытия многих важных и интересных вопросов. Поэтому мы снабдили главу материалами, преподнесенными в элементарном изложении, но касающимися принципиально важных общих вопросов квантовой физики. Это $21, пп. 4, 5, 6; примеры 22.1, 22.2, которые можно осветить как на лекциях, так и использовать для дополнительного чтения, докладов на семинарских занятиях и т. д. !!.
При чтении главы студентам полезно обратить внимание на вопросы, выполнить упражнения, обсудить новые положения — Назовите встречающиеся ранее в курсе положения об изменении состояния микросистем. Сформулируйте постулат Бора о переходах квантовой системы из одного состояния в другое. Проанализируйте характер зависимости от времени ~р-функции системы в стационарном состоянии, влияние этого изменения на измеримые величины, характеризующие состояние. Обдумайте постановку вопроса об изменении состояния на основе уравнения Шредингера. С качественной стороны проследите за решением вопроса об изменении состояния в теории нестационарных возмущений.
Проанализируйте зависимость вероятности перехода от параметров внешнего поля и системы. То же выполните для конкретного случая взаимодействия электромагнитной волны с атомом. Установите связь законов сохранения с процессом излучения и поглощения света атомом, с его основными закономерностями, выясненными при квантово-механическом решении задачи об излучении. Выполните упражнения к главе. Упражнение Ч!! !. Частица с массой )4 и зарядом е находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. На частицу действуег однородное электрическое поле, изменяющееся по закону "Р 'и ='йо — Е т ~г 24! Составьте выражение для оператора возмущения, вызывающего переход из одного стационарного состояния в другое. Найдите условия максимума и минимума излучения.
От в ет. ЕГ 4Г о тт У= — —," е т т)л Максимум излучения наблюдается при условии, что вектор и" о направлен по оси Ох, вдоль которой движется частица. 2. По условию задачи 1 вычислите вероятность перехода между различными состояниями. Р е ш е н и е. Пусть вектор Ф о направлен по оси Ох. Волновые функции стационарных состояний были найдены ранее, в $5, п. 2. Матричный элемент для оператора перехода равен У .: У „= — — "е ' ( т сов — (и — тп) —, соэ — (и+т~) оаяо т. ( ! лх лх ((«- )' (л+ тл)т а )! о' Видно, что матричный элемент равен нулю, если разность л — тп чегна. Рассмотрим переход 1 — 2: (6 еаэто Уо 1= — — е 9 2 л т Вероятность перехода находится по формуле (21.20) 266 е'а'Я1 ~ йлт Вычисляя интеграл под знаком модуля, получаем т -,/ле поэтому окончательно 266 е'а'л ' )р'а~= — ' е в( зт " 3.
Рассчитайте дипольный момент перехода атома водорода из состояния (з в состояние 2р (при тп=0). Р е ш е н и е. р,р о=е ~ тДгтр,АУ =е Д тро~рхф~тт(У+! ~ тртрутрот(У+ й ~ тДгтр1йг). Произведя подстановку функций состояния: )з 4л 2 ~яаттт Х4л 242 (см. формулы (11.21), (1!.11), (10.11)) и учитывая, что р= — ', а вычислим интегралы при векторах Г, 1 и я, начиная с интегрирования по угловым переменным. з От в ет, р4„и= — еай. Излученяе поляризовано по оси Ог. 4 4. Найдите правила отбора для гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле, напряженность которого изменяется по закону в = Ж4е '"'. Поле направлено по оси Ох.
Заряд частицы равен е. У к а з а н и е. Воспользуйтесь формулой аН„= п0„1+ — Н„4 и 1 2 О т в е т. Лп= + 1, поэтому осциллятор поглощает и испускает кванты света с энергией Ьы. ГЛАВА УП!. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯН ИЯ Отклонение классических частиц от первоначального направления движения, вызванное взаимодействиями с другими частицами, называют рассеянием. В квантовой физике рассеяние понимается шире, так как при взаимодействиях могут происходить изменения внутреннего состояния микрообъектов, т. е. преврашения одних частиц в другие.
Типичные эксперименты по рассеянию состоят в следующем: имеются неподвижные частицы — мишени, на них направлен поток частиц — снарядов. В результате взаимодействия часть частиц из начального потока выбывает, изменяя характер движения или превращаясь в другие частицы. Различают упругое рассеяние, при котором изменяется только направление движения, но не изменяются число частиц, их энергия и внутренние характеристики — масса покоя, заряд и др.,— и неупругое рассеяние, в результате которого изменяется энергия или вид частиц, появляются новые частицы.
В настояшее время опыты по рассеянию являются основным источником информации при изучении ядер и элементарных частиц, а вместе с тем и при познании фундаментальных свойств и.строения материи. з 23. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ 23.1. Дифференциальное и полное сечения рассеяния. В нашем курсе изучается только упругое рассеяние. Но основные характеристики рассеяния общие для упругих и неупругих процессов — это дифференциальное и полное сечения рассеяния. Дифференциальное сечение определяется отношением числа рассеянных в единицу вре- 24З Рис 23! мени в элемент телесного угла л114 частиц к плотности потока па- дающих частиц (рис.
23.1): до=в аГМ !пал (23.1) Величину 4(Ф можно представить в виде произведения плотности потока рассеянных частиц на величину площадки п5, перпендикулярной этому потоку (поток берется в направлении, заданном углами 0 и аи): откуда л(о = ~ай- л(5 !пал (23.1а) 244 Отсюда видно, что величина по имеет размерность площади и зависит от углов рассеяния 0 и ча. Если все частицы рассеиваются независимо друг от друга, то увеличение интенсивности падающего пучка в несколько раз вызовет увеличение во столько же раз интенсивности рассеянного пучка.
Поэтому величина сечения рассеяния не зависит от числа падающих на мишень частиц и определяется только их характеристиками и законом взаимодействия с мишенью. Ниже имеется в виду, что сечение рассеяния относится к одной частице — рассеивающему центру. В числителе и знаменателе дроби в формуле (23.!а) можно перейти от плотностей потоков частиц к соответствующим плотностям потока вероятности. После этого формулы могут применяться и к одной рассеянной частице. Дифференциальное сечение рассеяния определяет в этом случае вероятность того, что частица испытает рассеяние в элементарный телесный угол п14. Полным или интегральным сечением рассеяния называется отно- шение числа рассеянных в единицу времени по всем направлениям частиц к плотности потока падающих частиц: йас !пах Связь полного сечения с дифференциальным дается соотношением Х =~ да.
Полное сечение рассеяния, так же как и дифференциальное, имеет размерность площади. Его значение определяет размеры перпендикулярной потоку площадки, попадание в которую обязательно вызовет отклонение-в движении частиц. Для уяснения смысла полного сечения можно рассмотреть макроскопический пример (рис. 23.2). Если обстреливать шар дробинками, движущимися по законам классической механики, то полное сечение равно поперечному сечению шара. И в микромире, если силы взаимодействия частиц являются короткодействующими и радиус взаимодействия мал, полное сечение рассеяния может быть условно принято за поперечное сечение мишени.
дифференциальное и полное сечения рассеяния могут быть введены и для характеристики неупругого рассеяния отдельно для каждого типа реакций, происходящих при столкновении. Суммирование по всем реакциям — «каналам» вЂ” рассеяния дает полное дифференциальное и полное интегральное сечения рассеяния. (Следует учитывать, что вид рассеянных частиц может не совпадать с исходным и что частицы некоторых сортов получаются в результате нескольких процессов.) В экспериментах по рассеянию дифференциальные и полные сечения измеряются непосредственно с помощью подсчета рассеянных в фиксированных направлениях частиц при известной интенсивности падающего потока.
В качестве мишени берется не одна частица, а тонкий слой вещества, так что результат должен быть пересчитан с учетом числа рассеивающих центров и их расположения — геометрии мишени. Теория рассеяния, опираясь на основные уравнения механики, ставит и решает задачу о нахождении (расчете) сечения рассеяния Рис 23 2 245 в различных случаяк взаимодействия между мишенью и рассеиваемыми частицами. В классической механике она решается с помощью основного уравнения динамики или его следствий, в квантовой механике решение этой задачи опирается на уравнение Шредингера.
Как.и ранее в курсе, оно решается для заданного гамильтониана, но в отличие от изучавшихся ранее финитных движений при рассеянии движение рассеиваемых частиц инфинитно. 23.2. Рассеяние на силовом центре. Амплитуда рассеяния. Допустим, что взаимодействие рассеивающей и налетающей частиц описывается оператором потенциальной энергии (с (г). Это значит, что нам нужно исследовать движение частицы-снаряда и частицы-мишени при заданном гамильтониане системы.
Такая задача сводится к движению одной (рассеиваемой) частицы с приведенной массой ц относительно другой — рассеивающего силового центра (см задачу двух частиц, $14). Запишем уравнение Шредингера: ~ — ~ А+У(г)1ф(г, О, ср)=Еф(г, О, ср). (23.2) Движение заведомо инфинитно, поэтому спектр значений энергии непрерывен. Пусть поток падающих частиц движется вдоль оси Ог, а частица-мишень находится в начале координат. До рассеяния на больших расстояниях от начала координат падающие частицы описываются плоской волной: (23 3) (При больших г взаимодействием с силовым центром можно пренебречь ) Рассеянные частицы движутся в различных направлениях от мишени. Можно считать, что вдали от центра они вновь движутся свободно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
