Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Таковы, например, процессы излучения и поглощения света атомами под действием переменного электромагнитного поля. В простейшем случае речь идет об изменении состояния одной микрочастнцы, например электрона в атоме водорода или валентного электрона в атоме щелочного элемента.
Ниже излагается теория нестационарных возмущений применительно к одной микрочастице, однако все ее выводы можно обобщить на систему микрочастиц, переходя в формулах к операторам и функциям состояния системы. Для нестационарных процессов типичен случай, когда оператор Гамильтона частицы можно представить в виде и=На(х)+У=(х, !), где х обозначает совокупность пространственных переменных. Оператор йэ(х) не зависит от времени. Это гамильтониан частицы, находящейся в постоянном поле, созданном внутренним взаимодействием и движением частиц в системе, куда входит и рассматриваемая частица; У(х, !) есть оператор, выражающий внешнее воздействие на частицу,— это оператор потенциальной энергии некоторого переменного поля.
Запишем уравнение (2!.1) с оператором (2!.2): !Ь дФ-=(йО(х)+ У(х, !)) Ф (21.3) Его точное решение в большинстве практически важных случаев неизвестно. Теория нестационарных возмущений, дающая приближенные решения, применяется при условии, что известны решения уравнения с гамильтонианом йэ (х). Они являются волновыми функциями стационарных состояний изучаемой частицы, которые имеют место, если на нее переменное поле не действует; чч(х, !)=Чъ(х) е — ' ", в,= — ', й=!, 2, 3 (21А) Здесь функции чь(х) удовлетворяют уравнению для собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона йэ (х): Нэгрк (х) = Е кяэ (х), (21.5) они ортонормивованы.
Слагаемое У(х, !) в гамильтониане (2!.2) считается много меньшим Н„(х), если внешнее поле много слабее внутреннего в системе микрочастиц, н соответствующие внешнему полю энергии взаимодействия можно считать малыми по сравнению с Гь В таком случае 2!7 оператор внешнего переменного поля Р(х, 1) принимается за оператор возмущения и применима теория нестационарных возмущений, суть которой состоит в следующем. Представим точную функцию состояния частицы ф (х, 1) в виде суперпозиции волновых функций стационарных состояний невозмущенной задачи; ф(х, г)=х С»(г) гр»(х) е (21.6) где индексом »» обозначен номер стационарного состояния или совокупность квантовых чисел, определяющих состояние.
С физической точки зрения такое представление волновой функции частицы в эволюционирующей с течением времени системе имеет смысл при условии, если переменное поле не вызывает разрушения структуры системы, а также изменения ее состава и внутренних параметров входящих в систему частиц, таких, как масса, электрический заряд, спин. Это значит, что функции стационарных состояний, по которым проведено разложение, содержат некоторую информацию о состоянии нестационарной системы, так как относятся к тем же частицам. С математической точки зрения особенность данного представления состоит в том, что коэффициенты С» в равенстве (21.6) зависят от времени. Равенство справедливо, если его правая часть есть решение уравнения (21.3), а этого можно добиться только за счет специального подбора неизвестных коэффициентов С»(1).
Если подставить функцию (21.6) в уравнение (21.3), то получим равенство »Ю »й Х( — ' р»е ' " — 1»ир»е '""'~=Х С»е иН»»р»+Л СМ»р»е Ш / » Его можно упростить, используя (21.5) , 1й Х ~~' »р» (х) е '"и= 2'» С»)т (х, 1)»р» (х) е ш » — — — — Х С» (1) р' » (1) е'""', д!» (21.7) где величины '»'„» (1) =~ ~рэ (х) Р (х, »)»р» (х) дх (21.7а) называются матричными элементами переходов»» — и», а величины частотами переходов зш Умножим теперь последнее равенство на»рй (х) и проинтегрируем по переменной х.
Учитывая ортонормированность функций ф», нахо- дим Разложение (21.6) является решением нестационарного уравнения (21.1), если коэффициенты разложения С«(1) удовлетворяют уравнениям (21.7). Пока что никаких приближений не вводилось. Система уравнений (21.7) является точной, а решение ее в общем виде так же неизвестно, как и для исходного уравнения. Но сведение уравнения (21.3) к системе (21.7) продвигает нас в изучении нестационарных состояний в двух направлениях: система (21.7) допускает применение приближенных методов решения, а разложение (21.6) дает возможность исследовать нестационарные состояния через стационарные. В соответствии с принципом суперпозиции состояний (см.
$ 2) квадраты модулей коэффициентов разложения (21.5) на языке вероятностных представлений выражают «участие» стационарных состояний (21.3) в нестационарном. Если вспомнить, что при нестационарном состоянии системы энергия ее не имеет определенного значения, то вероятность обнаружения того или иного значения энергии как раз н определяется величиной Сг(1) С~ (1). Далее решение нестационарного уравнения Шредингера отыскивается в виде разложения по функциям стационарных состояний (21.6). Коэффициенты разложения С«(1) удовлетворяют уравнениям (21.7). Квадраты их модулей дают вероятность получения известных нз соответствующей стационарной задачи значений энергии Ек Поэтому надо находить коэффициенты С«(1).
21.2. Вычисление коэффициентов разложения при «включении» и «выключении» возмущения. Для вычисления коэффициентов С«(1) воспользуемся приближенным методом. Учитывая, что функция ф (х, 1) медленно изменяется с течением времени ввиду малости возмущения, представим коэффициенты разложения (21.6) в виде С, (1) = С'„" (1)+ С'," (1)+ С'," (1)+, (2!.6) где С«, «.«, ...— последовательность убывающих величин, которые можно назвать поправками к коэффициентам С'„' В нулевом приближении коэффициенты разложения поправок не имеют; (м С«(1)=С«(1). В первом приближении они берутся с первой поправкой: С«(1)=СР'+С!', во втором — с первой и второй поправками: С«(1)=С««'+С~и-(-СР и т.
д. Сузим условия задачи о нестационарном состоянии, сформулированные в предыдущем пункте, следующим дополнительным условием: внешнее поле «включается» в момент времени 1=0 и «выключается» при 1=т. Иными словами, при 1(О '«'(х, 1)=0 и при 1)т Р(х, 1)=О. Такая ситуация также характерна для многих взаимодействий в микромире, как и условие (21.2) Например, на атом падает цуг электромагнитных волн, имеющий начало и конец; атомы сталкиваются друг с другом в тепловом движении, в результате чего испытывают кратковременное действие «чужих» полей, и т.
д. Теперь уравнения (21.7) нужно решать при следующем начальном условии: ф (х, 0)=<р„ (х), (21.9) т. е. физическая система находилась до включения возмущения в некотором стационарном состоянии и (причем и=1, 2, 3, ...). Разложение (21.6) приобретает вид ф(х, 1)=Х С». (1) гр~(х) е (21.10) где вторым индексом и при коэффициенте Сы указано начальное состояние системы. Используя условие (21.9), находим, что при 1=0 С„„= Ьх.. В нулевом приближении теории возмущений следует считать 'г'(х, 1)=0 на всем протяжении действия возмущения.
Тогда равны нулю и все матричные элементы )г ь Из уравнения (21.7) сле- дует ~~ — ""~!)-= О, гл и или С'~'„(1) = сон з1. В соответствии с равенством (21.11) имеем Скч — б а разложение (21.10) дает фа' (х, 1) = гр „(х) е (21.12) Таким образом, в нулевом приближении состояние системы просто не изменяется, как и должно быть в отсутствие переменного поля. Для отыскания первого приближения подставим в уравнения (21.7) неизвестные коэффициенты, взятые в первом приближении по формуле (2!.8) с учетом (21.12): Сх„(1)=бе.+С,"„' (1).
Получим систему дифференциальных уравнений для нахождения неизвестных поправок С~'~„(г); при этом пренебрегаем слагаемыми; содержащими произведения малых величин С,'~~ и )' „: и) — = — — У „(1) е""-'. Для определения постоянной интегрирования в решении (21.13) не- 220 Интегрирование этих уравнений с разделяющимися переменными дает С"~„(!) = — — '~ 1/ . (1) И" -'г(1+сонэ!. (21.13) С~'~ (.г) = — —,Х ~ Ж'г' ь (1) е'""и ~ 'гь„(Г) е""'"гд!'. (2!.! 7) ь о о Ее при необходимости можно записать с симметричными предел т ! ! лами интегрирования: — — и —; — — и —, Итак, функции состояния системы в случае зависящего от времени возмущения вычисляются в первом или втором приближении теории возмущений по формулам (21.6), (2!.16), (2!.17). Подчеркнем, что рассчитываются только функции состояния, а не поправки к уровню энергии невозмущенной задачи, как это делалось в теории стационарных возмущений в $!6.
Сейчас поле нестационарно и энергия системы определенного значения не имеет. 21.3. Вероятность квантовых переходов. Как уже говорилось, теория нестационарных возмущений чаще всего применяется к системам, находящимся сначала в стационарных состояниях, затем испытывающих действие внешнего переменного поля, длящееся определенное время. На протяжении действия возмущения функция состояния изменяется, что в нашем решении (см. $21, п. 2) нашло отражение в зависимости коэффициентов Сь от времени в формуле (21.13). По прекращению действия возмущения коэффициенты прекращают изменяться. Теперь рассматриваемая нами система находится в новом состоянии, описываемом функцией ф(х, 1)=Х Сь„(т) Чч(х) е (2! .18) Это состояние с неопределенной энергией, т.
е. не относится к стационарным, но надо учитывать, что коэффициенты Сь„ более не зависят от времени. Квантовая теория не позволяет однозначно предсказать, какой будет энергия системы после снятия возмущения. Статистический характер закономерности проявляется в том, что известен только спектр конечных значений энергии, и можно рассчитать вероятность обнаружения системы в состояниях с различными значениями энергии. Вероятность обнаружения системы в состоянии гп, находившейся до внешнего воздействия в состоянии п, называют вероятностью перехода и — т и обозначают через )Т' „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
