Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Влияние этого взаимодействия на стационарное состояние атома, на соответствующие уровни энергии и предстоит выяснить. Пусть индукция внешнего поля В много меньше по модулю индукции внутриатомного магнитного поля, созданного орбитальными и спиновыми магнитными моментами электронов. В таком случае структура атома прн помещении его в поле в основных чертах сохранится, но взаимодействие с внешним полем дает дополнительный вклад в уровни энергии. Для расчета новых уровней энергии можно применить теорию возмущений.
Проведем с ее помощью качественный анализ явления расщепления уровней энергии — соответственно линий в спектре излучения атома при помещении его в магнитное поле. Это явление носит название эффекта Зеемана. В нулевом приближении без учета внешнего поля уровни энергии атома определяются, как это показано ранее в $18, п. 4, набором квантовых чисел У, з, !.
Каждому значению квантового числа у соответствует своя линия в тонкой структуре, а от проекции момента— магнитного числа пт, — уровни не зависят, т. е. они аырождены по пт! с кратностью 21+1. Если теперь учесть взаимодействие магнитного момента атома с внешним полем, то в первом приближении теории возмущений поправка к энергии невозмушенного состояния УзЕ!0 определяется взаимным положением векторов М и В, зависит от проекции М на В. В свою очередь проекция М, определяется значением магнитного ЧИСЛа Пт» ОтКУДа И СЛЕДУЕТ, Чтс УРОВЕНЬ ЭНЕРГИИ Е)О)к 1, ВЫРОЖДЕННЫЙ по числу т„распадается в результате воздействия внешнего поля на 2!+1-подуровенгь Эти простые соображения с качественной стороны полностью исчерпывают эффект Зеемана. Произведем количественный расчет поправки к атомному уровню энергии водорода в первом приближении теории возмущений.
Оператор Гамильтона рассматриваемой системы состоит из двух слагаемых: н=н,— мв, где Из — гамильтоииан атома водорода в отсутствие поля. Второе слагаемое есть потенциальная энергия магнитного диполя М во внешнем магнитном поле. Выберем в качестве невозмущенной системы изолированный атом. Его состояние описывается функцией фк„ , которая является собственной функцией операторов Йэ, У, У., 5 и ь''. (Заметим, что ф — двухрядная матрица-столбец, однако в т 2 2 выполняемом далее расчете эта деталь может быть опущена.) Уровни энергии атома зависят от квантовых чисел и, ! и ! Опи вырождены по квантовому числу тп определяющему проекцию полного момента импульса У, (см.
4 16, п. 4). Возмущение, связанное с действием магнитного поля, задано оператором Р= — М В. Направим ось Оз по вектору В. Такой выбор направления оси естествен: при наличии поля пространство уже неизотропно, в нем существует выделенное направление. Теперь согласно выражениям (20.3) и (20.5) Р= ВМ,= '! 1+ — У-'(Уз+У вЂ” У')1 У.. Д [ 2 Действие оператора Р на функцию ию! выражается равенством вм 1+'('+ )+'('+1) (+ ) фю!т, ' Б[ 2!О( 1) 1Ф11тг Поэтому поправки первого порядка к уровннм энергии легко находятся: где ! 8+1)+5 (э+ 1) ! (!+ 1) а=)+ 2. (У „,) так называемый множитель Ланде.
Существенно, что поправка зависит от квантового числа ть Вследствие этого ранее вырожденный уровень энергии с заданными значениями и, ! и ! расщепля- 209 ется на 21+1-подуровней, отстоящих друг от друга на одинаковые расстоянии ВМве. Расщепление обнаруживаетсн на опыте: при включении поля линии спектра излучения атома распадаются на несколько компонент. Полученные результаты применимы к водороду.
Кроме того, они могут быть использованы почти целиком для любого атома, у которого имеются состояния, характеризуемые суммарным орбитальным моментом, суммарным спином и полным механическим моментом. Качественный анализ и расчет уровней энергии, произведенный выше, справедливы только для достаточно слабых полей.
Применение теории возмущений законно, если расстояния между уровнями тонкой структуры много больше интервала между подуровнями, вызванными внешним полем. Оценки показывают, что для нижних энергетических состояний атома водорода слабыми должны считаться поля с индукцией до О,! Тл. В сильных полях расчет видоизменяется (см. упражнение 7 к главе И). 20.3. Парамагнитные и диамагнитные свойства атомов. Как известно, вещество при помещении его в магнитное поле само приобретает магнитные свойства, но намагничиваются разные вещества поразному. Намагничивание вещества обусловлено влиянием внешнего поля на электроны, входящие в состав вещества, и действием его на магнитные моменты атомов, складывающиеся нз магнитных моментов электронов.
Рассмотрим в самых общих чертах это действие. Однородное магнитное поле с индукцией В можно описать с помощью вектора-потенциала: (20.6) Действительно, вычисление показывает, что го! А=В. Классическая функция Гамильтона для электрона, находящегося в электромагнитном поле, имеет вид (ч. ), пример 22.3) Н = — ' (р + еА )' — егр, (20.7) где р — масса (или приведенная масса) частицы; р — ее обобщенный импульс; А — векторный, а ср — скалярный потенциалы поля; е — модуль заряда электрона. Подставляя выражение (20.6) в формулу (20.7) и раскрывая скобки, получаем Н=-с — М В+ е [В г]' — егр, 2р зн где М= — — [г р]— 21х дипольный магнитный момент орбитального движения электрона.
При переходе к квантовой механике соответствующие величины заменяются операторами. Оператор Гамильтона для электрона, нахо- 210 дящегося в электромагнитном поле, записывается в следующем виде: 2 Н=д — М В вЂ” егр+ е (В г)~. (20.8) 28 88 (При выводе этой формулы под М понимался только магнитный орбитальный момент отдельного электрона. В общем случае оператор М включает в себя орбитальные и спиновые магнитные моменты многоэлектронного атома; см.
формулу (20.1).) Оператор (20.8) мы можем применить к электрону, связанному в атоме, если последний находится во внешнем магнитном поле В таком случае еч~ есть оператор потенциальной энергии электрона Е' -2 в эффективном электрическом поле атома, а — МВ+ — (Вг)— 88 оператор взаимодействия электрона с внешним магнитным полем, относимый к возмущению. Если учесть только оператор — МВ, то, как это было показано в $20, п. 2, становится понятным расщепление уровней энергии атома во внешнем магнитном поле. Кроме того, нз соотношения (20.8) следует, что потенциальная энергия атома, находящегося во внешнем магнитном поле, определяется двумя членами: й= — МВ+ — 1Вг1' 8п Рассмотрим сначала первое слагаемое. Ему соответствует отрицательное значение энергии взаимодействия, если вектор М направлен по полю В.
В состоянии термодинамического равновесия все атомы стремятся занять наименьшее по энергии состояние. Это означает, что магнитные моменты атомов ориентируются по полю, вещество намагничивается, суммарное поле в веществе усиливается. Как известно, такое явление называется парамагнетизмом. В общих чертах так же происходит намагничивание ферромагнитных веществ, но магнитные моменты их атомов обусловлены спиновыми магнитными моментами электронов. Обратимся ко второму слагаемому в выражении для й.
Заметив, что рассматриваемый оператор существенно положителен, представим его как энергию некоторого дополнительного магнитного дипольного момента атома М, в магнитном поле В: "(В,-12 М В зп (Оператор М, является некоторой функцией г и, конечно, свойств оператора момента импульса не имеет.) Направляя ось Ог по вектору В, раскроем векторное и скалярное произведения в левой части равенства: ~Ж( '+„')) В= М В, 211 Отсюда и находим модуль дополнительного магнитного момента атома: Направлен же он всегда навстречу вектору В.
Это означает, что дополнительный момент всегда устанавливается против поля. Таким-образом, оператор М, обусловливает диамагнитные свойства атомов вещества. Добавка к энергии в первом приближении теории возмущений равна среднему от оператора возмущеня по невозмушенному состоянию. Диамагнитный член увеличивает энергию атома на величину, равную — (х'+у ), где интегрирование при усреднении проведено по объему атома. Понятно, что для многоэлектронного атома диамагнитные моменты отдельных электронов складываются; складываются и соответствующие им энергии. В слабых магнитных полях увеличение энергии за счет диамагнитного взаимодействия много меньше энергии парамагнитного взаимодействия, не говоря уже о ферромагнитном.
Поэтому диамагнитными эффектами в водороде можно пренебречь. Диамагнетизм вещества проявляется в том случае, если полный магнитный момент атома равняется нулю. Это осуществляется, например, у атомов инертных газов, в частности у гелия. Методические указания и рекомендации 1. Глава посвящена важнейшим приложениям квантовой механики системы частиц в атомной физике. Центральные вопросы главы — атом гелия, теория периодической системы элементов и молекула водорода. В соответствующих параграфах курса на элементарном уровне достаточно полно и подробно изложен нужный материал. По ним необходимы лекционные занятия, сопровождающиеся подробными выкладками и иллюстрацией отдельных положений на практических занятиях. Кроме этих основных вопросов, рассмотрены и другие приложения квантовой механики к атомной физике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
