Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(21.37) Решая дифференциальное уравнение (21.37), имеем й! — й1,,е — ~~ ' (21.38) где Мэ — число систем в состоянии ! в начальный момент времени: !=О. Число переходов 1 — 2 во множестве систем к моменту времени г подсчитывается по формуле п2,—— Мо(1 — е "н). (21.39) Формулы (21.38) и (21.39) н выражают статистический закон распределения переходов во времени. Необходимое для их применения условие М»1 должно выполняться на протяжении всего времени наблюдения. Из соотношения (21.38) следует статистическое толкование времени жизни состояния Т; это время, в течение которого число систем в первоначальном состоянии уменьшилось в е раз: У (7) Ф~ (21.40) 21.6. Квазистациоиарные состояния. Ширина энергетических уровней.
Обратимся теперь к анализу особенностей энергетических уровней системы, без учета возмущения находящейся в стационарных состояниях. Возмущение приводит не только к квантовым переходам между уровнями, но и к преврагцению их из линий в полосы конечной ширины: Е -+ЛЕ . (21.41) Более того, опыт показывает, что и при отсутствии наблюдаемого внешнего переменного поля все энергетические уровни квантовой системы, кроме основного, имеют некоторую ширину. Соответственно возбужденные состояния системы оказываются нестационарными — с течением времени система самопроизвольно переходит в основное состояние.
Переход системы под действием переменного поля называется вынужденным, а самопроизвольный переход — спонтанным (см. пример 22.2). Благодаря спонтанным переходам возбужденные состояния характеризуются определенным временем жизни. Состояние называется квазигтационарным, если время жизни удовлетворяет нера- венству Т„„„~+'-, (21.42) где Е, — уровень энергии квазистационарного состояния. Неопределенность уровня энергии и время жизни состояния связаны между собой как для вынужденных, так и для спонтанных переходов. Найдем эту связь с точностью до порядка величин, опираясь на формулу (21.28), т.
е. рассматривая вероятность перехода из состояния Е,=Е ~ЛЕ в состояние Е„в первом приближении теории возмущений за промежутои времени Т вЂ” время жизни состояния. (Поскольку для т= Т формула не дает точных результатов, оценка носит качественный характер.) Выделим входящий в выражение для плотности вероятности сомножитель в виде (21.43) Он представляет собой известную функцию — "",~, свойства которой нами рассматривались ранее, в $ 4. В частности, функция заметно отличается от нуля в интервале — п(а ( ч, от которого согласно формуле (2!.41) следует взять половину. Чтобы вероятность перехода т — и была существенно отличной от нуля, плотность вероятности должна быть отлична от нуля, а следовательно, изменение аргумента функции (21.43) должно удовлетворять равенству — ЛЕ =я. т 2Ь Учитывая еще дополнительные максимумы функции — "" " за ат пределами взятого интервала, окончательно имеем равенство-нера- венство ЛЕ Т ~2яй (21.44) Соотношение между неопределенностью энергии и временем жизни нестационарного состояния называется соотношением неопределенностей для энергии и времени.
Оно имеет очень общий характер, т. е. применимо в случае любых взаимодействий, вызывающих не- стационарное состояние разнообразных квантовых систем, для квази- стационарных состояний со спонтанными переходами. Соотношение неопределенностей обосновывалось и интерпретировалось выше, в $4. Приведенный сейчас вывод в большей степени, нежели предыдущий, соответствует природе закономерности. Из него непосредственно вытекает, что Т не является неопределенностью при измерении времени 1, а есть время жизни нествционарного состояния. Если же соотношение применяется для объяснения результатов измерения энергии, то Т вЂ” время действия возму- щения, вносимого измерительным прибором в стационарное состояние изучаемой системы, т.
е. время измерения. Проясняется и динамическая причина неопределенности энергии: внешнее окружение системы сообщает ей некоторую порцию энергии. Узнать величину переданной энергии заранее нельзя, так как квантовые переходы носят случайный характер. В любом случае чем больше внешнее воздействие на систему, тем больше передаваемая энергия и меньше время жизни состояния. Наоборот, системы, изолированные от внешних воздействий и подверженные только спонтанным переходам, имеют относительно большое время жизни своих состояний. Такие состояния и называют квазистационарнымн.
Условие (21.42) для них с помощью неравенства (21.44) дает ЬЕ « Е; только в этом случае имеет смысл говорить о дискретном состоянии. Спонтанный переход из квазистационарных состояний в стационарные для большого числа систем может описываться законом распада (2!.38), (21.39). Справедлива и формула (2!.40) Кроме спонтанных переходов, характерных для атомов и молекул, спонтанный распад имеет место для атомных ядер, нестабильных элементарных частиц и подчиняется рассмотренным выше для квантовых систем статистическим закономерностям.
$ 22. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ВОЛНАМИ 22.!. Вероятность перехода атома из одного стационарного состояния в другое под действием электромагнитных волн. Полная и последовательная теория испускания и поглощения света атомами громоздка в математическом отношении. В рамках данного курса ограничимся рассмотрением отдельных важных вопросов. Пусть уединенный атом находится в области пространства, где действует плоская монохроматическая электромагнитная волна. Воздействие на электрон в атоме электрического поля волны, которое в данном случае на несколько порядков больше, чем магнитное, но много меньше собственного поля атома, можно считать возмущением. С классической точки зрения к электрону приложена сила: г = — еЖое'"'е ™.
Совместим начало координат с ядром атома, считая последнее неподвижным. Для видимого света длина волны значительно больше размеров атома, поэтому !лг~ — — <<! и можно взять е"г 1 Х для любого положения электрона в атоме. В этом длинноволновом приближении г' = — ев Ое ззо Располагая выражением силы, найдем вид оператора возмущения как потенциальную энергию частицы во внешнем поле: )г=ее аге Если ввести еще единичный вектор поляризации волны д, то получи'м (г=еЖа(дг) е (22.1) Теперь можно по формуле (21.7а) записать матричные элементы оператора возмущения: )г „=~ ф*еЖадге ' 'ф„а(х. (22.2) Индексы и и гп обозначают совокупность квантовых чисел, задающих начальное и конечное состояния электрона.
Волновые функции, описывающие стационарные состояния электрона в атоме, известны (см. формулу (11.21) ). Это позволяет в принципе вычислить матричные элементы )г„„. В интеграле (22.!) ма и д — постоянные величины. Величину рт =е ~ артгфадх называют дипольным моментом перехода. Вводя его в формулу (22.1), матричный элемент (г „ запишем в виде (22.3) Оператор возмущения найден, теперь согласно формуле (21.20) вычислим вероятность перехода: (22.4) Из формулы (22.4) следует, что вероятность перехода пропорциональна квадрату амплитуды волны Следовательно, она пропорциональна интенсивности падающего излучения.
Кроме того, существенны начальное и конечное состояния электрона, направление поляризации и частота электромагнитной волны. Ниже произведем более подробный анализ особенностей испускания (поглощения) света, пользуясь формулой (22.4) и материалом предыдущего параграфа Энергетические уровни атома представляют собой в соответствии со сказанным ранее и формулой (21 41) полосы шириной 2ЬЕ Так что речь идет о переходах из интервала ЬЕ„в интервал ЛЕ, внутри которых энергия принимает непрерывные значения. Учитывая это, заключаем, что для расчета вероятности перехода надо иметь энергетическую плотность числа состояний (см. определение (21.27) ).
Отложим расчет р до примера 22.1, так как абсо- зз~ лютное значение вероятности перехода нам не потребуется, а будут исследоваться входящие в выражение сомножители помимо р. Будем пользоваться для переходов атома формулами (21.32) и (21.33). Наконец, упрощаем задачу, рассматривая переход между дискретным уровнем Е„и полосой Е ~ЛЕ . Итак, )Р а Уа2 !др ~7р (Е) т (22.5) причем !Е,— Е„! =Вы. (22.6) Вероятность перехода в единицу времени выражается формулой ..
=Т Я! д р- Е р (Е) (22.7) Формулы (22.5), (22.6) и (22.7) являются исходными при решении большинства практических задач на излучение и поглощение света. Из них вытекает первый существенный вывод: излучается и поглощается лишь волна, частота которой удовлетворяет условию резонанса (22.6): ыа'л' (22.8) т е. частота волны, возмущающей состояние атома, должна быть равна частоте перехода. Мы помним, что в атоме одному и тому же энергетическому уровню обычно соответствует несколько функций состояния; уровень вырожден с некоторой кратностью. В формулах для вероятности переходов это обстоятельство учитывается при подсчете плотности числа состояний р, ибо берется число состояний пт, приходящихся на интервал энергии гуЕ.
22.2. Правила отбора для испускания и поглощения света атомами. Обратимся сейчас к параметрам самого атома и рассмотрим, как от них зависит вероятность перехода. Для этого надо исследовать выражение, входящее сомножителем в формулы вероятности перехода (22.5), (22.7): др .=е ~ фй (дг) ф.г1'г'. (22.9) Можно считать, что электрон в атоме находится в центрально- симметричном стационарном поле. Поэтому функция состояния распадается на угловой и радиальный сомножители, причем угловая часть выражается известными сферическими функциями У~ (В, ф) (см.
$10). Пусть свет, вынуждающий переход, поляризован по оси Ог так, что дг=г. Тогда, переходя в формуле (22.9) к более подробной записи индексов, имеем др, = е ) Р„У*, зй„ух,г' з!и Вс(гг(йпф. (22.!О) Используя одну из формул (!О.! 1), выполним подстановку г=г соз В=-)) — гущ в последнее равенство: /4ч 'у' з 232 г 44 др„„=е ~~ —" ~ В„,й„,г'4(г ~ У44',,Уь,уш4122. (22,11) В теории сферических функций доказывается, что У42У4т=АУ44-4, +ВУ4-4. (А, В=сонэ!). Поэтому интеграл по угловым переменным В и 4р в выражении (22.11) можно представить как сумму двух слагаемых; А)У~ У,, 4(Я+В~ У, У,, ЛЕ Вследствие ортогональности сферических функций разных индексов он отличен от нуля лишь при условиях 12 — 1~ = ~1, т2 — т,=О. Только при этих условиях отлична от нуля и вероятность перехода )Рь4 ° Итак, под действием света, поляризованного по оси Ог, осуществляются только те переходы, которые удовлетворяют правилам отбора: М=-~1, Лт=О, Если свет распространяется вдоль оси Ог, то возможны два независимых направления поляризации, при которых 4)г=х и 4)г=у.
Вместо раздельного анализа этих двух случаев удобно рассмотреть линейные комбинации 4)г=х~гу. Они соответствуют круговой поляризации света в плоскости хОу с направлением врашения по часовой стрелке и против него, В сферических координатах х*4у = г з!п Ве 24, откуда с помощью соответствуюгцей формулы (10.11) получаем х+4у=г 4( —, У, ь х — 4уг г 44 — У|4 18 Г8л — ч, — — — ч, Выражение для 4)р „состоит теперь из двух слагаемых, содержащих сомножители типа У*, У, У4 л4И, о Используя формулу для сферических функций У,,У,.=СУ4+4 .„+ОУ... ь получим правила отбора для круговой поляризации света: Л1= ~1, Лт= + 1. Соединяя оба выведенных правила вместе, видим, что при произвольной ориентации вектора 4) возможны переходы с изменением квантовых чисел стационарных состояний согласно условиям а(= -+ 1 и Лт=О, ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
