Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Имея в виду, что вероятность нахождения частицы в единице объема убывает пропорционально квадрату расстояния до рассеивающего центра, запишем функцию состояния рассеянной частицы в следующем виде: 1(в,т) ур фр с (23.4) Функция ((О, рр) определяет вероятность рассеяния частицы по различным направлениям от центра и называется амплитудой рассеяния Вычислим плотность потока вероятности в падающей и рассеянной волнах. Используя формулы (3.23) и (3.15), находим !„„„=0.)„.,= — ' (рс,=() )р..=-5- ~Е(0, Ч)1' Сейчас можно записать выражение для дифференциального сечения рассеяния. На основании соотношения (23 1а) получаем да=1) (О, ср)!'п(1. (23.5) Из формулы (23.5) видно, что квадрат модуля амплитуды рассеяния определяет дифференциальное сечение рассеяния, т.
е. играет роль плотности вероятности рассеяния частицы в направлении О, гр. В теории задача о рассеянии, как правило, сводится к расчету амплитуды рассеяния по заданному силовому полю (11г). (После этого находятся и сечения рассеяния г(о, Х.) 23.3. Общий вид амплитуды рассеяния на силовом центре. На основании формул (23.3) и (23.4) вдали от начала координат функцию состояния частицы в силовом поле рассеивающего центра следует представить как суперпозицию волн ф„„и ф„,: ф= '"'+ 1( — "'х) е™' г (23.6) Определение неизвестной функции 1(О, гр) — амплитуды рассеяния — производится путем отыскания решения уравнения Шредингера (23.2) в виде (23.6).
Задача эта может быть решена для конкретных силпвых полей, заданных функцией (1 (и) в простейших случаях, да и тогда весьма сложна в математическом отношении. Мы воспользуемся следующим выражением для функции состояния, справедливым для любых (1 (г); уг' ф(г)=е™ вЂ” -+ — ~ 0(г')ф(г')е 'г()г'(г>>1, )г(>>)) (237) Искомая амплитуда рассеяния находится из выражения (23.?) с учетом соотношения (23.6): 1(0, гр)= — д-,~ (I (г') ф(г') е 'г11' (23.8) ф(г)=еды — — т — и (г') ф (г') г))г', 2ял а й (23.8 а) где Р=)г — г') и йт=-ч Е. д Подействуем оператором Лапласа на обе части равенства 123.8 а): уеыя, бф = — й'ем* — и т 1 гу ( ') ф ( ') д ( — ) и"т'. 2пк Э ~ Л й (23:8 б) 247 Формула (23.8) является общей в том смысле, что выражает 1(О, гр) с помощью квадратур для любых функций (1 (и).
Однако мы далеки еще от окончательного ответа; в выражения (23.7) и (23.8) входит неизвестная функция ф (и) — решение уравнения для рассеяния (23.2). И все же достигнуто значительное продвижение в нахождении амплитуды рассеяния, ибо с помощью формулы (23.8) можно произвести ее приближенный расчет. Это будет выполнено в следующем пункте. Для вывода формулы 123.7) покажем сначала, что решение уравнения 123.2) может быть представлено в виде Нетрудно проверить, что Л( — ) =еники( — ) .(- — Л(иг )+2з7 ( — ) т7 (выл), (23.8 в) Кроме того, известно, что г') 'т Л( — ) = — 4пбф)= — 4пй(г — г').
(г) Подставим это выражение в формулу (23.8 в) и произведем дифференцирование во втором и третьем слагаемых; ыл ыи (е' ,ы, е А~ — ) = — 4п6 Я) е' — йг —. (,я / И Если это соотношение подставить в формулу (23.8 б) и проинтегрировать по г', то получим Лт= — й е'"+л — э) — (у( ') гр( ') г()г'+~ Ы(г) гр(г) 2пй йг й или де = — й'ф+ '" и ( ) йх й что совпадает с уравнением (23.2). Доказано, что функция $ (г), определенная равенством (23.8 а), является решени. ем уравнения (23.2).
Далее, пусть размеры области, в которой потенциальная энергия (((г) заметно отлична от нуля, много меньше рассматриваемых расстояний. В таком случае можно воспользоваться приближенной формулой гг т— м Я = З(г — 2гг'+ г' тогда при г сс г' гр (7)=е' ' — — г — )) (/(г') гр (г') е ' г((г' 2пд г Формула (23.7) верна. 23.4. Определение амплитуды рассеяния в первом приближении теории возмущений. Для определения амплитуды рассеяния по формуле (23.8) обычно прибегают к приближенным методам. Применим теорию возмущений.
Невозмущенной системе соответствует свободное движение частицы без взаимодействия с силовым центром, так что функция состояния в нулевом приближении известна: фп (г) = е'а'. (23.9) В этом приближении рассеяния нет: го (О, гр)=0. Если подставить функцию (23.9) вместо ф (г) в формулу (23.8), то получим выражение для амплитуды рассеяния в первом приближении теории возмущений: ((О гр)= 28лг ~ У (г') е'"'е 'ггг)г'. (23 10) 248 Для придания формуле (23.10) вида, удобного при вычислениях, введем векторы К„и К. Вектор Ко направлен вдоль оси Ог в сторону движения падающей частицы. Вектор К показывает направление движения рассеянной частицы. Рассеяние упругое, поэтому )К)=!Ко( Формулу (23.10) перепишем с учетом введенных обозначений: ( (0, гр) = — Ед —, ~ е 'кг У (г') е'~"'сЬ".
(23.11) Такова амплитуда рассеяния на силовом центре в первом приближении теории возмущений. Если функция (у'(г') задана, то 1(0, гр) вычисляется. Характерно, что амплитуда рассеяния выражена через интеграл, представляющий собой матричный элемент перехода от начального состояния движения к конечному под действием возмущения У(г): (23.12) При этом предполагается, что движение после рассеяния можно опи- сать плоской волной е'к' (см, о квантовых переходах, $21). $24. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ В ЦЕНТРАЛЪНОМ ПОЛЕ 24.1. Сечение рассеяния в борновском приближении.
Очень часто силы взаимодействия между частицами являются центральными. В таком случае поле рассеивающего центра обладает центральной симметрией. Если (/=У(г), то формула (23.11) допускает упрощения. Вспомним, что !К,! = (К! =й, вектор Ко направлен вдоль оси Ог, а вектор К расположен под углом 0 к этой оси. Введем вектор г)= =Ко — К, и формула (23.!!) запишется компактнее: ( (0, ф) = — — и-г 1 (у (. ) еч',()у .
2пя' (24.!) Выражение для амплитуды рассеяния (24.1) называется формулой Бориа, а основанные на ней расчеты — борновским приближением. Это не является случайным. К формуле (23.)2) можно прийти другим путем на основе нестационарной теории возмущений. Ход рассуждений примерно такой. Частица до и после рассеяния описывается гамильтонианом невозмущенного состояния Йе. Пусть его собственные функции ф„и ф определяют начальное и конечное состояния. При г= — ао частица двигалась свободно, затем «включаетсяь возмущение — частица испытывает действие поля (Г (г), после чего она (в пределе при Г= со ) снова движется свободно.
Если по этим данным вычислить вероитность перехода из состояния и в состояние пг и связать ее с сечением рассеяния, то получится формула (23.! 2). При вычислении интеграла в формуле (24.1) направим ось Ое по вектору о): и в 1 1 1 у( )е' от з1п Олго(Оеар о о о Интегрируя по переменной ~р', получаем и ) (О, ~2) = — ф- ~ У (г') г' дг' ~ еие "" яп О'дО'. о о Сделаем подстановку х= сов О'.
и не* и ~о з|п 0 2 0 = ~ ео (х=е — ~ 2ь~пЯ~' оог' ' — 1 дк' Опуская штрих у переменной интегрирования г', приходим к следующему выражению для амплитуды рассеяния: ( (О, оо) = — — ет — ~ У (г) гяп цгИг. (24.2) аг о Подставляя найденное значение амплитуды рассеяния в формулу (23.5) и учитывая, что д =21 яп —, е 2 ' получаем сечение рассеяния: по= — " — — ~ ~ (l (г) яп (2)о~ яп — ) о(~1 оЕ). (24.3) Ооао Мп — о 2 Формула (24.3) и является окончательной для расчета сечения рассеяния в центральном поле в первом приближении теории возмушений.
Дифференциальное сечение рассеяния оказалось не зависяшим от угла ор, т. е. в центральных полях всегда имеет место осевая симметрия рассеяния. (Этот результат не связан с приближенным характером формулы (24,3) .) При малых углах, когда О- О, можно принять Мп (2)ог яп — ) 2гог э~п —. ах 0 2 2 Тогда йо ~~~' ~ ~ (/(г) гг1г~ Л), В этом случае рассеяние вообше не зависит от направления в 250 пространстве, т. е. изотропио. Не зависит оно и от энергии рассеивае- мых частиц.
Дополнительный анализ показывает, что условия применимости борновского приближения могут быть записаны в виде двух неравенств (l=-е-е ", р=м2_#_е', г где первый сомножитель -"- описывает кулоновское отталкивание г сс-частицы от ядра, а с помощью экспоненциального сомножителя учтено, что за пределами атома электрическое поле быстро затухает, так как электроны экранируют ядро.
(Прямое взаимодействие а-частицы с электронами практически не сказывается на ее движении вследствие большой разницы в массах. Поэтому оно и не включено в формулу для потенциала.) Вычислим интеграл, входящий в сечение рассеяния (24.3). Он легко берется, если использовать соотношение З1П дГ= — (Епи — Е '"). 21 Получаем У (г) г з(п дггуг=(1 ~ е "з1п дгг(г= — — е —;— о о 4 (1+-т) Подставим найденное значение интеграла в формулу (24.3): ( яВ_#_ез ) Ж 4й' з!язв 2 Постоянная Л очень мала, поэтому слагаемым 4йт Мп'— 2 пренебречь. Тогда (24.4) можно с(о =( —;") ып'— 2 (24.5) 251 В них 11 — радиус области, где потенциальная энергия с1 (г) заметно отлична от нуля, паРаметР 1Уь хаРактеРизУет интенсивность полн в этой части пРостРанства.
Если кРивая У(г) образует потенциальную яму, то выполнение первого неравенства приводит к отсутствию связаикых состояний. Второе неравенство выполняется при высоких энергиях. Быстрые частицы слабо отклоняются полем, и чем больше их скорость, тем ближе их движение к свободному. 24.2. Формула Резерфорда. В качестве примера применения формулы (24.3) рассмотрим рассеяние быстрых а-частиц на ядрах атомов. Потенциал поля запишем в следующем виде: где р=й(г — импульс частицы.
Эта формула была первоначально выведена сотрудниками Резерфорда с помощью классической механики без учета экранирования ядра. В данном случае классическая и квантовая теории рассеяния дают один и тот же результат, причем соотношение (24.5) является точным (см. ч.
1, $28). Рассеяние в поле с кулоновским потенциалом имеет особенность: при О - О амплитуда рассеяния неограниченно растет, обращается в бесконечность также и полное сечение рассеяния. Причина заключается в том, что кулоновское поле медленно спадаег при г о, так что частицы испытывают отклонение, проходя на любых расстояниях от ядра. Число частиц, рассеянных на малые углы, становится сколь угодно большим. Учет экранирования ядра электронами, как показывает формула (24.4), устраняет эту особенность; сечение рассеяния становится конечным. 24.3. Матрица рассеянии. Обсудим с качественной стороны процесс рассеяния, опираясь на понятие о квантовом переходе.
При этом будем иметь в виду как упругие, так и неупругне столкновения и тем самым познакомимся с теоретическим подходом к процессам взаимных превращений частиц. До взаимодействия и после него имеется система свободных частиц, которая описывается гамильтонианом )Ув Состав же системы до и после столкновения может быть различен Пусть и. — волновая функция начального состояния системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
