Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Если уровень энергии Е не вырожден, то 1ь'" „есть вероятность обнаружения после прекращения внешнего воздействия значения энергии Е . В случае х-кратного вырождения уровня энергии Е ему соответствуют вероятности )г' %',„, ..., Ф' „. В результате вероятность обнаружения значения Е возрастет: )Р.„=Х )Т'.,„. 5 (Разумеется, при переходе и — т аналогично обстоит дело и с другими величинами, принимающими в стационарных состояниях определенные значения, например с моментом импульса.) 222 Основная задача при изучении несгационарнык процессов состоит в определении вероятностей возможных переходов Ф' „.
В теории возмущений она решается приближенно. В соответствии с толкованием коэффициектов Сз в разложении функции состояния (21.6) по принципу суперпозиции, имеем )«',=С*, (т) С, (т), (2 1.19) что в первом приближении теории возмущений для переходов т~п дает (21.20) Это одна из основных формул квантовой теории нестационарных процессов. Она моделирует изменения, происходящие в физической системе, квантовыми переходами частицы, совершающимися между определенным начальным и возможными конечными состояниями.
Может оказаться, что в первом приближении Ж' .=О, тогда следует обратиться ко второму приближению. В этом случае 7 3 2 (р ! ~ ,'~ ~ йГу (!) е -"~ йруы (р) е"*"с), (21.21) л' Е 2 Структура формулы (2!.21) допускает следующее толкование: 'переход происходит не прямо из и-го состояния в т-е, а через все возможные промежуточные состояния, нумеруемые индексом й. Промежуточные состояния называют виртуальными, чтобы отличить от реально наблюдаемых начального и конечного состояний. Из формул (21.20) и (21.21), в частности, вытекает, что вероятности прямого и обратного процессов равны друг другу: )«'„» = )«'„.
Это частный случай очень общей закономерности микромира — принципа микроскопической обратимости явлений. Обратимся к толкованию понятия о вероятности перехода. Как и все вероятностные характеристики в квантовой механике, величины Ф' „обретают статистический смысл в приложении их ко множеству однородных объектов и явлений. Пусть произошло )У„переходов между состоянием и и разными состояниями т, причем )У„Ъ1. Тогда числа конкретных переходов находятся по формуле Ф,= (р „м„. (21.22) Особого анализа заслуживает протекание квантового перехода (иногда говорят — «скачка») во времени.
Пусть известна вероятность некоторого фиксированного перехода т — и за время т и пусть по формуле (2!.22) получено число переходов, например 10". В какой момент произошел каждый переход, рассчитать с помощью квантовой механики не представляется возможным. И хотя мы знаем, что переход наступает вследствие эволюции системы на протя- женин конечного промежутка времени т, момент наступления каж. дого из переходов — это отнюдь не конец действия возмущения.
Отдельный переход — явление случайное, а все 10' рассматриваемых переходов произошли на протяжении времени т (о временной статистике переходов речь пойдет ниже, в $21, п. 5). В заключение заметим, что расчет вероятностей переходов как величин С*„С „(формулы (21.20), (21.21) ) основан на разложении (2!.6). Но коэффициенты разложения в теории возмущений находятся по приближенным формулам (2!.8), причем поправки СД„, С$„ должны быть малыми величинами. Поскольку они растут с течением времени, то рассчитывать вероятности переходов по основной формуле (2!.20) можно лишь при небольшом времени действия возмущения. (Конечно, допустимые значения т тем больше, чем меньше само возмущение.) Количественные критерии применимости к переходам теории возмущений будут указаны далее.
21.4. Вероятность переходов в сплошном спектре. Формула (2!.20), как указывалось, является одной из основных в квантовой физике нестационарных процессов. Однако в этом виде она имеет сравнительно ограниченное применение. И причина состоит в том, что вывод ее содержал некоторую непоследовательность: уровни энергии системы полагались дискретиымн, а переменное поле, вызывающее переход,— непрерывным.
Игнорирование квантового характера поля привело к тому, что формула не содержит ряд важных закономерностей. В частности, опыт показывает, что энергия поглощается и излучается только целыми квантами с определенными направлениями спинов, а это никак в формуле (2!.20) не отражено. На практике часто приходится рассматривать переходы в непрерывном спектре. Это осуществляется введением энергетической плотности вероятности перехода: зй' „у чд,„, (2! .23) Формула (21.24) чаще всего и применяется на практике. где и')г',„есть вероятность перехода в бесконечно узкую полосу г(Е, около фиксированного уровня Е, в непрерывном спектре.
(Здесь и далее штрих обозначает, что рассматривается квантовое состояние гп' в непрерывном спектре, а вместе с тем и все величины, характеризующие переход в непрерывном спектре: уровень энергии Е ., плотность вероятности )г',„, но вероятность перехода в конечный интервал энергий %' „.) Типична следующая задача, решаемая с помощью понятия о плотности вероятности: найти вероятность перехода между состояниями с энергиями Е„и Е ~ЛЕ„, где Аń— непрерывный интервал энергий (рис. 21.1).
По теореме о сложении вероятностей записываем для вероятности перехода: Е -~- ЬЯ„ $ )к',„и'Е,. (2! .24) г — зе Рис 2!.(. Ев В природе весьма распространены действия периодического внешнего поля на квантовые системы. Таковы, например, периодические электромагнитные поля, действующие на атомы. Любое периодическое поле, да и другие переменные поля можно представить разложением по гармоническим составляющим, Наиболее же удобна для расчетов форма гармонической временной зависимости — экспоненциальная. Поэтому целесообразно, значительно не снижая общность анализа, представлять операторы возмущения в виде )7(х, 1)= г'(х) е (21.25) где м — частота колебаний внешнего поля.
Рассчитаем для оператора (21.25) вероятность перехода в сплошном спектре. Предварительно вычислим вероятность перехода между уровнями Е„и Е,, считая их дискретными, т. е. применим формулу (21.20) ( с — „. ~-,(-..--)1 )Р „=-,т !Р...( ' ~ ~ е' ° ' ""с((( =ф'г',„1'2ят л —, (ш,„— ~)~ (21.26) Чтобы с помощью формулы (21.26) получить плотность вероятности перехода, величину Ж',„необходимо умножить на энергетическую плотность числа квантовых состояний т в интервале ХЕ . р(Е)= — „' .
(21.27) Ниже будет рассмотрен пример вычисления р (см. пример 22.1), а сейчас считаем плотность р известной, так что " ~~-(-..--)1 %',„= —,1Ъ'„,„1.'2ят р (Е .). (21,28) л и л — (е,„— ч) 2 Далее с помощью соотношения (21.28) по формуле (21.24) вычисляем вероятность перехода в интервал АЕ: Ь 225 Г т )р „= ~"' ~ ! У,„!'р (Е ) ЙЕ,.
(21.29) тл ~2 ха к З (~т'л ~~) Последний сомножитель в выражении (2! .29) можно считать аналитическим выражением 6-функции Дирака, если т» —: м и ( — (,,— )~ =6 (ы,„— ы) =66 (Е,— ń— )нэ). а л — (оз „вЂ” ш) 2 После подстановки 6-функции в формулу (21.29) для вероятности перехода имеем х эхх ГУ,„,=~"' ~ !У,„~'р(Е,)6(Е,— Е,— Ды)ЙЕ .
(21.30) Переход согласно формуле (2!.30) совершается при условии !Е,— Е,~ =Вы, (21.31) Р „= — „"' 1У „!'р (Е„-!-деэ), и тогда (21.32) Задача о нахождении вероятности перехода в сплошном спектре решена. Формула (21.32) является основной при описании квантовых переходов в таких реальных системах, как атомы. Мы видим, что вероятность перехода пропорциональна времени действия возмущения. Поэтому целесообразно введение вероятности перехода в единицу времени: шил= ~" 11'пн!'р(Еп-!-6<О). (21.33) Если одновременно возможны переходы из состояния и в любое из различных состояний гп, то по теореме сложения вероятностей для распада состояния п имеем ш.=Х ш ..
(21.34) гзв Важный новый момент привносится в анализ переходов формулой (21.31): при заданной частоте возмущающего поля ы совершаются не все возможные для системы переходы, а единственный, для которого разность энергий Е. и Е соответствует этой формуле. Конечно, если возмущающее переменное поле раскладывается по нескольким частотам, то происходит не один, а несколько переходов и — т. В таком случае величинам ш . пропорциональны числа соответствующих переходов в их статистическом распределении. 21.5.
Статистика процесса квантовых переходов. В соответствии со сказанным выше о малости коэффициентов С)!! в формуле (21.8) следует заключение о применимости основных формул (21.20), (21.32), (21.33) при не сляшком длительном действии возмущения. Причем нижний предел времени действия для периодических полей указан в $21, п.
4. Это т » —. ! !! Верхний предел для т, а также физический смысл вероятности перехода в единицу времени можно выяснить, рассматривая совокупность большого числа одинаковых систем, способных к переходу под действием возмущения заданной частоты ы. Так как для каждой системы возможен единственный переход, то начальное и конечное состояния фиксированы, и уместно обозначение перехода 2 — !. Пусть вероятность перехода в единицу времени известна; оиа постоянна и равна некоторой величине и!2 !. Если число систем )У )) 1, то в единицу времени совершается ц переходов: ц=шх!!у. ! Т2,! = мз,! Рассчитывая вероятность перехода за время Тз ь имеем )!' 2 ! = Ы2 ! Т2 ! = ! . (2!.35) Поскольку вероятность перехода за среднее время жизни состояния достигает единицы, среднее время жизни часто называют просто временем жизни состояния (относительно конкретного перехода): Тз ! = Т2 !.
Время жизни состояния дает возможность судить о том, длительно или кратковременно для данной системы действие возмущения; если же Т,, «т, где т — время действия возмущения, то возмущение следует считать длительным, Понятно, что в таком случае приближенные формулы для вероятностей переходов (21.20), (21.32), (21.33) неверны, а критерием их применимости служит сильное нера- венство — «т« Т. ! (21.36) Для длительно действующего возмущения (т»Т) при расчете вероятности переходов должны быть применены иные методы. В любом случае при постоянной во времени вероятности перехода шх! для Отсюда следует, что ш! ! есть число переходов в единицу времени, рассчитанное на одну частицу, а величина, обратная ц!! !, есть средмее время жизни состояния (1 или 2) относительно данного перехода: совокупности большого числа систем л!»1 пригоден экспоненциальный статистический закон переходов.
Пусть в момент времени ! имеется М(!) одинаковых систем, находящихся в состоянии 1. Под действием возмущения совершаются переходы в состояние 2, и М(Г) убывает со временем. Задача состоит в отыскании функциональной зависимости М(!). Располагая величиной вероятности перехода в единицу времени, можно вычислить число переходов за время Ж; это убыль числа систем в состоянии 1: пМ= — шз ~М(Г) й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
