Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(г ) ф.Г(г2) (17.2) где п2 и п2 — совокупности квантовых чисел, определяющих состояния частиц. Энергия системы определяется формулой Е„„=Е„+Е„Г Уровни энергии Е„и функции 2р„(г) находятся из решения уравнения Шредингера для одной частицы: — — Л вЂ” — ) ~>„Я =Е„2(2„(г). ( Х' 2хе' ~ 2т Г (17.3) пз Система, которая описывается уравнением (17.3), является водо- родоподобной. Это позволяет сразу записать решение: 4хУ Е„= — у-, х 2р.
(г)=)7„2(г) у (О, гр), где 2р„(г) — водородоподобные волновые функции, соответствующие иону Не+ (о функциях тр„(г) и уровнях энергии см. $11, п. 4). Для описания состояния системы фермионов нужно использовать симметричные или антисимметричные комбинации координатных функций (17.2). Как показано в $14, [тд ( 1) тд (ге)+трд, (гт) тд (г!)), (1?.4) гх =[фа, (г~) трд,(гт) Фд, (гт) фд,(г~)! (17.5) 2 Но если оба электрона находятся в одном и том же состоянии, (и|=па —— и), то симметричную функцию можно записать проще: = "тд (г1) фд (гт) (17.6) (Подчеркнем, что спиновое число гпд в набор и не входит.
Согласно запрету Паули в этом случае состояния электронов отличаются ориентацией спинов.) Таким образом, мы располагаем решением задачи об атоме гелия без учета взаимодействия между электронами, или в нулевом приближении. 17.2. Классификация состояний атома гелия.
Парагелий и ортогелий. Состояние атома гелия, определяющее энергию в нулевом приближении, задают, указывая состояния обоих электронов— главное и орбитальное квантовые числа каждого электрона. При этом вместо орбитального числа указывается обозначающая его буква (см. $10). Например, возможны состояния с конфигурацией электронов: (! з, 1з), (!з, 2з), (! з, 2р) и т.
д. Основной уровень энергии в нулевом приближении равен: Лаз~! 8)7у 109 эВ Ему соответствует только одно квантовое состояние 1гь !з (или (!з)т). Первый возбужденный уровень в том же приближении Е),1 = — 5)7у — 68 эВ. Этим значением энергии обладают атомы гелия в состояниях 1з 2а и 1з, 2р. Таким образом, уровень Еьт вырожден по орбитальному квантовому числу одного нз злектронов. Кроме того, он вырожден яо магнитному квантовому числу !по ориентации орбитального момента) и по спину частиц.
Имеется и дополнительное двукратное вырождение, связанное с использованием симметричных и антнсимметрнчных волновых функций. Зтн выводы справедливы, конечно, н для других уровней знергнн гелия. При учете электрических и магнитных взаимодействий между электронами приходится указывать полныи орбитальный, полный спиновый и полный (орбитальный плюс спиноеый) механический моменты атома и применять более детальную классификацию состояний, нежели конфигурация электронов. Полный орбитальный момент атома находится путем сложения моментов импульса отдельных электронов, задаваемых числами 1„ 174 по которым находится 1. Состояния атомов с различными значе- ниями полного орбитального момента обозначаются прописными буквами латинского алфавита: О Символ 5 ) 2 Р 0 3 4 5 175 (Обозначения в таблице находятся в согласии с буквенной симво- лимой для состояний одной частицы в центрально-симметричном поле, см.
$10.) Для гелия харантерно, что энергия однократной ноиизацин атома меньше, чем энергия, необходимая для возбуждения обоих электронов. Поэтому все возбужденные состояния атома гелия находятся как комбинации состояния 1з с другими более высо- кимн водородоподобными состояниями. Орбитальный момент атома гелия сводится поэтому к орбитальному моменту одного из электронов: 1=1~ ((з=о) Спиновые моменты складываются в полный спиновый момент ато- ма.
Квантовое число полного спина для гелия принимает только два значения: з=О и з=1. Состояния атома с нулевым спинам называются парасосгояниями, с единичным спинам — ортососгояни- ями. Соответственно говорят о парагелии и ортогелии. В атомной физике для состояний и уровней с одинаковыми квантовыми числами 1, 1, з часто используется название терм.
В обозначение герма входят буква, указывающая квантовое число 1, цифра слева вверху есть 2з+1, справа внизу пишется квантовое число 11 Для парагелия возможны термы: '5о, 'Рь ... Термы ортогелия: Ро, Р), Рт, Полезно заметить, что одни и те же термы имеют место при различных электронных конфигурациях. Поэтому для полного зада- ния состояния указываются электронная конфигурация и терм. Так, основное состояние парагелия (!з, 1з), '5,, а ортогелия— (! з, 2з), '5ь (Состояние (!з, !з), '5) не реализуется в природе вследст- вие действия запрета Паули.) Классификация состояний атома гелия с указанием электронной конфигурации н термов распространяется и на другие многоэлектрониые атомы.
В ией отражена последовательность учета взаимодействий в порядке роста нх интенсивности. Так, если учтено тельно взаимодействие электронов с ядром, то по заданной конфигурации электронов, как это проделывалось выше, определяется уровень энергии атома в нулевом приближении, Палее, если учесть следующее по величине электрическое взаимодействие электронов между собой, то моменты импульса отдельных электронов не сохраняются, а определенное значение в стационарном состоянии сястемы имеет полный орбиталь- ный момент состояния.
Если указан полный орбитальный момент, то ему соответ- ствует уровень энергии системы электронов с учетом их электрического взаимодейст- вия между собой. (Соответствующие уровни энергии вычисляются нике.) Наконец, если учтены и магнитные взаимодействия между электронами, то надо првннмать в расчет и спиновые моменты. Теперь имеет определенное значение в стационарном шютоянии только полный механический момент системы, каждому значению ) соогветсгвуег уровень энергии. Рассмотрим подробно состояния атома гелия. У парагелия з=О, поэтому при заданном 1 имеется только одно состояние с 1=1.
хг' О/ =— и 2 (17.7) Поправка к уровням энергии находится по формулам (16.8) или (16.21) . 176 Для ортогелия существуют три состояния, отличающиеся значениями полного механического момента /. Эти три состояния отличаются ориентациями полного спинового момента относительно орбитального. Следовательно, н магнитный спиновый момент трояко ориентируется относительно орбитального магнитного момента атома, что приводит к трем различным значениям энергии спин-орбитального взаимодействия. Уровни энергии парагелия, соответствующие состояниям с различными ), весьма близки друг к другу, так как различие уровней возникает за счет относительно малого магнитного вааимодействия.
Итак, уровни энергии при заданном ! группируются в так называемые мультиплаты. В данном случае это триплегы ортогелия. Число компонентов тонкой структуры уровней энергии — мультиплетность — равно в общем случае 2з+1 (что и указывается цифрой у терма). Используя результаты $14, п. 4 н $15, п. 3, можно сделать вывод, что ортогелий должен описываться антисимметричнымы координатными функциями (17.5), а парагелий — симметричными функциями (17.4) или (17.6). Электроны в атоме парагелия имеют противоположные ориентации спинов, а в атоме ортогелия спины электронов направлены в одну сторону.
Переход атома гелия из ортосостояния в пара- состояние (или обратно) требует изменения ориентации спинов и вида симметрии координатной части волновой функции системы. Такая глубокая перестройка состояния атома может произойти только за счет магнитного взаимодействия, имеющего малую интенсивность. Поэтому названные переходы весьма редки. Получаются как бы два сорта атомов: парагелий и ортогелий, отличающиеся друг от друга по некоторым свойствам. Природный гелий представляет собой смесь обоих видов атомов. (Если все состояния с разными ориентациями спинов равновероятны, то содержание ортогелия в трн раза больше, чем пара- гелия.) Атом ортогелия имеет в основном состоянии неравный нулю магнитный момент, а парагелий таким моментом не обладает.
Поэтому ортогелий относится к парамагнитным веществам, а парагелий — к диамагннтным. Отличаются они и по спектру. Ниже будет показано, что энергии одноименных по конфигурации и по квантовому числу ! состояний парагелия и ортогелия не совпадают. Кроме того, спектральные линии ортогелия и парагелия, как уже говорилось, имеют разную мультиплетность. 17.3. Уровни энергии атома гелия в первом приближении теории возмущений. Учтем электрическое взаимодействие электронов. Оператор возмущения в данном случае Для основного состояния парагелия имеем (2Е(1=$ 2))12 (Г() фп (Г2) фо (Г1) "р1 (Г2) (()21(ХЬ'2. (17.8) Водородоподобные волновые функции для з-состояний действительны и не зависят от угловых переменных.
Это позволяет упростить запись выражения (17.8): Ле:11 =хе 1 (р(е (Г() (р(е (Г2) †. г(1) 2 1 2 2 1(У~1(У2 О 2 Вычисление интеграла дает значение поправки: (2Е)'1)= ~ )су 2 Тогда уровень энергии в первом приближении находится так: Е)1) = Е(11)+ ЛЕ(11) = — 5,5йе — 75 эВ. Полученное значение много ближе к экспериментальному ( — 79 эВ), чем Е(1'(). Тем не менее точность первого приближения нельзя считать высокой.
Это объясняется тем, что оператор возмущения (17.7) не мал, как это должно быть, по сравнению со сла2хее 2хе1 гаемыми —, — в гамильтониане (!7.1). Поэтому при нашем О Е2 способе расчета можно надеяться только на качественно верное описание атома гелия. Рассмотрим еще состояния (1з, 2з), '52 и (12, 22), 251 Они описываются волновыми функциями )(, м= — ((р(2 (Г() (рм (г2)~2()1 (Г2) рм (Г()), (17.9() )(г где нужно взять знак «+» для парагелня и « — » — для ортогелия. Функции (17.9) действительны и зависят только от расстояний электронов до ядра. Поправка первого порядка к уровням энергии нулевого приближения: 2 — 2ЛУ,(У1 Лй) 2 = — 1 (ф(е (( 1) ф22 (1 2) ( 2))12 (Г2) ф2е (Г()) 212 = — 1 2))1е (Г1) 2()2е ((2) — + — 1 (Р1е (Г2) $2е (Г1)— хе 1 2 - 2 - 1(Ух(У2 хе ( 2 " 2 - 1(Ух(У2 2 ~хе ~ ф( (Г)) (У1.
(Г2) (У2. (Г() ф22 (Г2) — '', (17.10) 2«2 Два первых интеграла в (17.10) отличаются обозначениями переменных. Поэтому они равны друг другу. Обозначим сумму этих интегралов через 912. Последний интеграл обозначим буквой А12. Значение энергии с1,2 определяется формулой (1) Е1 2==Е1 2+(;)12-+А(2. (1) (О) К аналогичным выражениям сводится вычисление поправок к 177 уровням энергии других возбужденных состояний. Вычисление показывает, что интегралы Я и А всегда положительны. Добавка к энергии зависит от симметрии волновых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
