Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 35
Текст из файла (страница 35)
!2 и !)=!) — !2, а /2=5+!2. Непосредственная подстановка этих значений в формулы для модулей векторов дает два верных неравенства: 1 †,7;(1,.)-1) — 1-)1„)1 .)-)) ( Ь )1, — 1))1, — 1,.)-1). Й21 )1,.)-1)212) )1 -)-1))1 )1 )-1))1-)-1 -21), в чем нетрудно убедиться, приводя их к очевидным. Предложенные значения ! оказываются минимальным и максимальным: !)=1,„, !2=1„,„, в чем убеждаемся, испытывая числа !) — 1=!) — !2 — 1 и !2+1=!)+!2+1, которые нарушают неравенства (15.6). Правило для определения допустимых значений квантового числа ! найдено.
Для 5)!2 имеем 1=!) — !2, !! — !2+1, ..., !)+!2, или !1 — !2 ( ! «-. !) + !2. (15.7) Если складываются только орбитальные моменты, то квантовое число ! целочисленно; если в число слагаемых входят спиновые моменты, то ! может принимать как целые, так и полуцелые значения. Но следует помнить, что в том и другом случае «шаг» для числа !' единичный, т.
е. значения ! либо целые, либо полуцелые. После того как значения квантового числа !' найдены, для кажлого ! находят все возможные л2;: = — 1, -(1-1) ", (1-1), !. Вместе с ними находятся и проекции У, по общему правилу квантования (1О !2). Результаты, полученные при анализе системы невзаимодействую- )59 щих частиц, справедливы для любой замкнутой системы, если квантовые числа й и 6 заданы до начала взаимодействия. Из формулы 115.7) по ним находятся сохраняющиеся при любом взаимодействии возможные значения У, а затем и г',.
)Разумеется, после начала взаимодействия определенных моментов импульса Ь и г'.т уже не будет.) Если некоторая система микрочастиц рассматривается по условиям задачи как целостный и точечный объект, то ее полный момент импульса есть спин. Правила сложения моментов позволят найти спины атомов и ядер в различных возможных для них квантовых состояниях через спины и орбитальные моменты входящих в них частиц. Причем сложение более чем двух моментов выполняется последовательно.
Порядок сложения определяется интенсивностью взаимодействия и другими физическими соображениями. В задаче о сложении моментов импульса отыскивают также функции состояния системы, соответствующие определенным значениям 1.ь 1.т, У, Х„по заданным волновым функциям входящих в нее частиц. Однако мы не касаемся этого вопроса. П р и м е р 15.1.
Расчет полного момента импульса электрона в атоме водорода. допустим, что можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, т. е. взаимодействием магнитных спиновых и орбитальных моментов. Тогда электрон характеризуется независимыми орбятальным и ониковым моментамн. Волновая функция электрона: ф = г)ы )г, а, ф) и 1гп,) есть частный случай функции 115.3). Она описывает состояние с определенным 1 орбитальным моментом 1, его проекцией ть а также свином з= — и его проекцией 2 1 гп,= ~ —.
2 ' Из правил сложения моментов следует, что существуют состояния электрона 1 с определенным орбитальным моментом 1, спииом з= —, а также полным момен- 2 ' том ) и его проекцией глг Указанный момент находится как сумма орбитального 1 н спинового моментов, поэтому 1=1~ —. В з-состояниях орбитальный момент равен 2 ' нулю. Тогда полный и спиновый моменты электрона совпадают, В этом случае 1 квантовое число 1 принимает только одно значение: )= —. 2 Волновые функции электрона в состояниях с заданным полным моментом обозначим так: мы )г, 8, в). В обгцем случае выделить отдельно спиновый множитель нельзя.
13та функция состоЯниЯ пРеДставлЯет собой двУхРЯднУю матРнпУ-столбец.) ФУнкцив фыгм ЯвлЯетса собственной функцией операторов И, Ег, 5, г1, 1,. Причем у=5+5 и 1,= =1.,+5,. П р и м е р 15.2. Сложение синновых моментов двух электронов. Спиновые функции системы из двух невзаимодействуюших электронов можно записать в виде четырех произведений одночастичных фуикцим: и~( — ) иг( — ), гпп= —, пгг,=— ( ) ( ) и'( 4 и'(2) '*= 2 ' '*= 2 ' (15.8) т,=!, и ( 2) и ( — ), т,=О, и ( 2) и~( — 2) т = — 1, и1( — 2) и2( — 2), гп =О, и ( — 2) и2(2).
Квантовое число полного спина системы принимает значення от з~ — 22 до 21+22. Следовательно, 2=0 нлн з=!. При з=! возможны состояння с гп,=О, ~1; прн 2=0 мОжет быть только гп =О. Звавшем спнновые функцнн снстемы двух электронов, отвечающие состояниям с заданными значеннямн з н т. н определенному классу снмметрнн: т,=(, ис — — и>( — ) ит( — ), з=!, т,=О, ис —— — [и<( 2) ит( — )+и~( — ) иг( — )~ -=-'= (- )"(- ) ~Г2[ И 2( 2) '( 2) '( 2)1 ' (15.10) Заметим, что выраження (1520) являются частным случаем общей формулы (14.19).
Онн обладают определенной симметрией относительно перестановки частиц. Данные функция мы будем использовать з качестве симметричных н антнснммегричных спнновых множнтелей в полной волновой функцнн системы (см. (14.7)). П р и и е р !5.3. Сложенне сннновых момемтов несколькнх влектронов. Возьмем сначала трн частнцы. Складывая спнны первого н второго электронов, получаем систему со спнном 0 ялн !. Добавляя спин третьего электрона, получаем 3 значения квантового чнсла суммарного спяна всех трех часгнц: з= —, —.
2' 2' Вообще, для нечетного числа частиц с полуцелым спнном нмеем 1 3 й( 2' 2'"' 2' лля чегного— 52 2=0, 1, ...,—. '"'2' П р н м е р ! 5.4, Слонгенне Орбнтальнык моментов двух электронов. Пусть 1 — квантовое число суммарного орбнтального момента: 1=11+12, 1~+12 — 1, ..., 12 — В (!>~)12). Если второй электрон находнтся в з-состояннн, то 12=0 я 1= 1Ь Если оба электрона — в р-состояннн, то 12 = 1, 12= 1 н 1=О, 1, 2 и т. д Соответственно для каждого значення 1 имеем ряд значений тз т2=0, ~ 1, ..., ~1. б З2222 ЗЭ! 161 Онн соответствуют состоянням, в которых заданы не только спнны частиц (= =) 1 1) ю= —, 22= — 2, но н цроекцнн спннов обоих электронов.
Кроме того, в этнх 2 ' 22' состояннях имеет определенное значенне проекция полного момента: 5,=5~ +526 мы получаем следующие ее значения: 5,=йт„где т,=О, 1, — 1. Соответственно $ 16. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 16.1. Волновые функции и уровни энергии в первом приближении теории возмущений. Уравнение Шредингера в немногих конкретных задачах решается точно. Что касается системы микрочастиц, то только для двух частиц имеются точные решения (см. атом водорода с учетом приведенной массы). Поэтому для вычисления волновых функций и уровней энергии систем микрочастиц используются разнообразные приближенные методы.
Один из таких методов развит в так называемой теории возмущении Оиа сыграла выдающуюся роль в развитии квантовой механики и является основным способом расчета во многих теоретических и практических вопросах. Рассмотрим основы теории возмущений для стационарных состояний дискретного спектра при отсутствии вырождения. Нам нужно решить уравнение Шредингера Нф=Еф (16.1) для системы с гамильтонианом Й, причем прямое интегрирование уравнения (16.!) невозможно, и поэтому мы не можем найти ни функции состояния ф, ни уровни энергии Е. Для применения теории возмущений должны быть известны уровни энергии и волновые функции другой системы, близкой к исследуемой. Для нее уравнение Шредингера имеет вид Ноями=Ел 1рл. о1 (16.2) По установившейся терминологии систему с оператором Гамильтона Йо называют невозмущенной.
Она представляет собой приближенную модель исследуемой системы, так как операторы Й и Йо незначительно отличаются друг от друга. Если различием в операторах Й и Йо пренебречь, то ь~„- р„' =,р„, Е„=Е,,'. 1а> <о1 Эти равенства соответствуют нулевому приближению теории возмущений. Оператор 1е = Й вЂ” Но называется оператором возмущения.
Учет малого возмущения в изменяет уровни энергии и волновые функции моделирующей системы в сторону приближения к уровням энергии и волновым функциям исследуемой системы. Предположим Еп = Еоц+ ЬЕп, $» = фо+ ~о (16.3) Вычисление ЛЕ„и 1„называется расчетом возмущения, которое вносится в невозмущенную систему оператором 1е. Расчет в первом приближении производится так. Подставим значения Е„и ф„из соотношений (16.3) в уравнение (16.1): (Но+(е)(1рл+!о)=(ЕЙ+ХЕ~)(срп+~л). (164) Поправки АЕ„и !'. считаем одного порядка малости с возмущением 1е. Раскрывая скобки в формуле (16.4), оставим только линейные по этим величинам члены. Получается уравнение, из которого можно 1б2 найти приближенные значения АЕ.
и 1„. Обозначим их через АЩ> и (Р'. Само уравнение имеет вид Но(р»+ Но)И» ~+ йнр» = Е!» ~ф» + Е» ь~ 1+ ЬЕ» )р». Учитывая равенство (16.2), получаем (16.5) Умножим уравнение (!6,5) на ~г.* и проинтегрируем по всей области определения функции ~р„: ~ р» Йо )тп г(У+~ ф„Й~ ф» дУ=Е» ~ ~ ф.*~« ~(У+ ЬЕ.п ~ ф»ф» ИУ (16.6) Если функции ф. нормированы, то ~<~*~р (У=1 Кроме того, используя самосопряженность оператора Йс» имеем ~ (р» Йа Щ~ »»»У=~ )» ~ (Й»»р )э»»»У=ЕР ~ ~» ~ (р»АУ. Из равенства (16.6) теперь следует соотношение ЛЕ~п=~ ~р„*ш <р„((У. (16.7) Поправка к энергии в первом приближении теории возмущений оказалась равной среднему значению для оператора возмущения в по невозмущенному состоянию ~р„.
Уровень энергии исходной системы в первом приближении ~<и ( 5Ео1 (16.8) Поправку к волновой функции ищем в виде суперпозиции функций состояния невозмущенной системы: )т„п = Х Си!ч (х). (16.9) Подстановка (16.9) в (16.5) дает Но~Си(ч+ акр„=Е~~~ »~См!ч+ЛЕ~„'1(р„. (16.10) Учитывая что Й ХС = ХС,Е1~0)%„, запишем уравнение (16.10) в виде ДЕсп + '~~~ (Еоа Е<о1) С (16.11) Умножая (16.11) на ~р$ (гп~ьп) и интегрируя по всему пространству, получаем ~ ~р"„'цчрНУ= ЛЕ~1~ ~р* ~р. с(У+ ~ (Е~' — ЕУ) С~ ~ <Р* Ч>а с~У (1612) Функции ср~ являются собственными функциями эрмитова оператора, поэтому они попарно ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
