Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 31
Текст из файла (страница 31)
И хотя результаты, полученные при решении водородной задачи, используются при расчете многоэлектронных атомов, к ним должны быть применены положения и законы механики системы микрочастиц. К изучению их мы и приступаем в настоящей главе. 4 14. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 14.1. Волновая функция системы частиц. Операторы физических величии, характеризующих систему в целом. Квантовая механика системы частиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. При этом сохраняется в основных чертах развитый ранее математический аппарат. Состояние системы описывается волновой функцией ф=ф(хь хь ..., х, 1), где через х, обозначена совокупность трех координат точки простран- ства, в которой может оказаться 1-я микрочастица. В случае системы микрочастиц определение (2.1) для вероятности нахождения одной частицы в элементе объема около точки с координатами х, у, г: йФ=~>*(х) ф(х) йУ обобщается на все частицы, входящие в систему.
Вероятность того, что частица ! находится в элементе объема йУ~ =йх4у~йг~ около точки с координатами хь у1 и г1 и одновременно с этим частица 2 на- ходится в элементе объема йУ2=йх2йу~йгг около точки с координа- тами хь уг и г2 и т. д., задается формулой йФ'=ф*(хь хъ .", х„, 1) 1~3 (хь хь ..., х,, 1) йУ4Уь ..., йун, Таким образом, речь идет о вероятности конфигурации системы, т.
е. того или иного расположения ее частиц в заданный момент времени, Из сказанного должно быть также ясно, что, как и ранее, в ме- ханике частицы, координаты хь у„г, не есть координаты бй части- цы — это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию 1-й частицы, к нахождению ее места в общей конфигу- рации системы.
Обычный вид имеет условие нормировки: ~ 1ф1'йу~йУь ..., й1'„=!. !42 Но если в механике частицы этот интеграл сводился к трехкратному, то теперь он 3М-кратный. В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например оператор координаты хь оператор импульса р; и др.
Такие операторы можно называть одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только на координаты своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой. Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой; соотношения между операторами повторяют классические форму4!ы.
Оператор импульса системы имеет вид У р=Х р (14.1) Оператор момента импульса системы определяется как сумма: К ((,=Х (., (14.2) 1=! Запишем еще оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле: и М М М Й= — Х ~ йч+ Х О!(х!)+ — ~ ~~'., У!4(ххь). (!4.3) —,~4 4;~ Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе— потенциальная энергия их во внешнем поле, третье слагаемое выражает потенциальную энергию взаимодействия частиц друг с другом.
Основное уравнение квантовой механики для системы частиц— уравнение Шредингера — имеет тот же вид, что и для одной частицы, если использовать операторную форму записи: (В -''з-= Йф. д! (14.4) Это очень сложное уравнение, где Й имеет вид (14.3). На систему частиц распространяются постулат о допустимых значенияк физических величин, о вероятностяк отдельных значений, принцип суперпозиции, правило вычисления средних. Справедливы и полученные ранее сведения о стационарнык состояниях и законах сохранения физических величин. В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц 5; и вводится оператор спина системы М У= ~Ус (14.5) !43 Спиновые моменты дают вклад в полный момент импульса систе- мы. Обозначая его оператор через У, имеем л ю 7=1 1,,+ Х У,. (14.6) г ! А=! Волновая функция при учете спина зависит как от пространственных, так и от спиновых переменных.
Для системы из электронов Ч'=~Р(хь хь ..., х„; л4,, т,е ..., л4, ), где гп, — спиновые переменные отдельных частиц, принимающие значения т1/2. Для нас важен случай, когда магнитными взаимодействиями можно пренебречь. Тогда Ч'=~р(хь хь ..., х )и(п4,, т,е ..., ги, ). (14.7) Координатная часть волновой функции находится из решения уравнения Шредингера (14.4). Физический смысл спинового множителя заключается в том, что он позволяет определить вероятность той или иной ориентации спина всех частиц в системе. 14.2. Задача двух частиц. В классической механике движение системы двух взаимодействующих материальных точек может быть сведено к равномерному перемещению в пространстве центра масс системы и относительному движению некоторой точки в системе центра масс. При изучении относительного движения рассматривается изображающая точка, масса которой равна приведенной массе системы: р= ~' ' (см.
ч. !, $15, и. 1). м ~ + м2 Сходные результаты могут быть получены и в квантовой теории. Волновая функция системы двух частиц зависит от координат г1 и гл обеих частиц. Оператор Гамильтона найдем с помощью принципа соответствия между классической и квантовой механикой. Энергия аналогичной классической системы равна сумме кинетической энергии частиц и потенциальной энергии их взаимодействия: Е = Т1+ Тл+ У (г). (Последнее слагаемое зависит только от расстояния между частицами.) Соответственно оператор Гамильтона имеет вид л' л' И= — Л,— — б,+и(.).
2т~ 2ти Запишем уравнение Шредингера: [ "', — — йч — —, Л~+ (/(г)] 4р (г1г2)=Е4р(гь г2), (14 8) 2т~ 2т' где г1 и гг2 — радиус-векторы точек пространства для обеих частиц. Перейдем в уравнении к новым переменным: Г=Г~ — Гл, (14.9) (! 4.! 0) т, +юли !44 где г, — радиус-вектор центра масс системы. Заметим, что дэ де дх, +де дх м1 а~ +де дх~ дх, дх| дх дх, и~+хи дх, дх ' дч дэ дхи т1+хи дх, дх ' м ~~ д~ Ьл, Ф~ д'~~ дх( ~ т,+хо/ дх) гл~+т~ дхдх, дх' ' д'2 т~ д'~ юг д' д' Ж ( ф дх1 ~, т, +хи/ дх,' и, -~- ьч дхдх, дх' Отсюда видно, что 2и~ дх( 2тг дх1 2(т~+шд) дх) 2я дх Поэтому уравнение (14.8) в новых переменных принимает вид: — Д, — —" Л+ (/ (г)1 Ф (г1 г.) = ЕФ (Г1 гс) 2(т,+ни) 2н Подстановка ф (г~ гс) = 42 (гс) ~ (г) позволяет разделить переменные.
Полагая Е=Е~+ Ем получим — Л,~р (г,) = Е ~ р (г,), (14.11) Л~+-ц [Е2 — (/ (г)) 1 (г) = О. (14.12) Уравнение (14.11) описывает поступательное движение системы как единого целого. Система уподобляется одной частице с массой, Равной сУмме масс п4~+гпь положение этой точки в пРостРанстве совпадает с центром масс. Уравнение (14.12) описывает движение изображающей частицы с массой, равной приведенной, относительно центра масс. Энергия Ем полученная в результате решения уравнения (14.11), отличается от энергии движения одной частицы относительно неподвижного силового центра только тем, что вместо гп в нее входит р — приведенная масса. (Этим мы пользовались ранее при решении задачи об атоме водорода.) Что касается волновой функции 1(г), то она записана в системе центра масс для изображающей точки.
Переход к функции состояния реальных частиц выполняется с учетом связей (14.9) и (14.10). В то же время / (г) непосредственно описывает движение первой точки относительно второй, т. е. может считаться функцией состояния (реальной) первой частицы в системе отсчета, начало которой совпадает со второй частицей. 14.3. Волновая функция системы невзаимодействующих частиц. Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид ыз или Получим ~ ф!!рм ", ф — !ф 4. и ", фхН!ф!=Е$!фь ", Фю 1.= ! Последнее соотношение разделим на 4р!фь ..., ф„. Тогда приходим к равенству М ~ ' Й,ф, =Е.
!Ф Представим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений Н 4р! =Е!4й, (14.15) на которые распадается уравнение (14.14). Решив уравнение (14.15) „мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяются некоторым набором квантовых чисел, обозначаемых далее через и, (например, для электрона в кулоновском поле набор представлен совокупностью четырех чисел: и, 1, т, т, (см. $13, п. 2) ).
Индекс ! дает номер частицы, к которой относится набор. Итак, для системы Е„„, „=Е„+Е„,+...+Е„, !)>„,„„= !Р„(Х!) ф„, (Х4), ..., !Р„„(Х„). !4б и Й=~ Нь 1=! Й,= —,"" Л,+и!(х!). (14.13) Операторы Й; можно назвать одночастичными операторами Рамиль- тона. Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей: — м $ (Х!, хб, ..., Ха) Е Дла нахождениЯ фУнкции !Р (х!, Хь ..., Х„) тРебУетсЯ Решить УРавнение Шредингера без времени: Йф=Еф, Х Й!ф= екав~. (14.14) ~=! Одночастичные гамнльтонианы Й; действуют только иа координаты одной !чй частицы.
Поэтому переменные в уравнении (14.14) разделяются. Выполним подстановку: ф (Х!, ХЬ ..., ХХ)=!(!! (Х1) !Р2 (Х2), ..., !)!у (Ха) Вывод об энергии системы как сумме энергий невзаимодействующих частиц тривиален, однако вид функции состояния (14.16) весьма существен; функция состояния системы невзаимодействуюи(их частиц находится как произведение одночастичнык функций. Во многих случаях функции состояния систем взаимодействующих частиц удается представить разложением по функциям типа (!4.16), т. е. представить через произведения одночастичных.
(Это делают с учетом временнйх множителей.) Отсюда сразу следует важный вывод: четность состояния системы равна произведению четностей состояний отдельных частиц: Р=Р!Ръ." Ри Если частицы в системе одинаковы, например это электроны, то все уравнения (14.15) имеют один и тот же вид, Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц, Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по Л(-одночастичных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
