Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Все эти состояния определяются выборками по 111 из бесконечного числа наборов квантовых чисел п, определяющих состояние одного электрона в некотором поле. П р и м е р 14.! . Энергия квантового ротатора. Ротатором называется система из двух жестко связанных между собой материальных точек, вращающихся вокруг общего центра масс. Молекулы двухатомиых газов могут успешно моделироваться ротатором, если условия позволяют пренебречь колебаниями атомов относительно друг друга. (Так обычно бывает при комнатных или более низких температурах.) Н классической механике задача о вращении ротатора сводится к изучению движения изображающей точки с приведенной массой н по поверхности сферы радиусом о, где о — расстояние между частицами.
Кинетическая энергия точки в таком случае выражается через приведенную массу (см. ч. 1, пример 15.4); у= —. но' 2 Чтобы перейти к операторному выражению квантовой механики, представим Г через момент импульса и момент инерции: т 2 2 12 т=— 2ип 2! ' Запишем по принципу соответствия оператор Гамильтона для квантового ротатора в системе координат, связанной с центром масс: Й= —. 21 Стационарное уравнение Шредингера для ротатора имеет вид Таким образом, задача сводится к отысканию собственных значений и собственных функций оператора й .
Но они нам известны (см. $ 1О), и это позволяет сразу 2 записать волновые функции и уровни энергии ротатора. для последних имеем 21 Ь'1(1+ 1) (14.17) !47 где Этот результат относятся н к твердому телу — шаровому волчку — с моментом инерции 1; формула (14.17) широко нспользуется в атомной н ядерной фнзнке. Уровни энергии 21+! кратно вырождены по магнитному квантовому числу т, определяющему проекцию момента импульса.
Физически такой результат означает, что прн свободном вращении тела энергия не зависит от ориентации момента нм. пульса. П р н м е р 14.2. Система двук частиц в потенциальной яме. Рассмотрнм систему двух невзанмодействующнх частиц, находящнхся в одно- мерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокнмн стенками. Для одной частицы эта задача была решена в $5. Согласно полученным результатам с учетом $14, и. 3 состояние системы определяется двумя квантовыми чнсламн. л~ н пг (п,=1, 2, 3, ...).
Система в состоянии (вь ат) опнсмвается волновой функцней 'т' „(х!, хз)= — Мп йх юп йтх, 2 (! 4.! 8) и Ее энергия яд 14.4. Тождественность частиц одного и того же вида и принцип Паули. В системе микрочастиц проявляются физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной частицы. Это заставляет расширить число исходных принципов квантовой теории. Квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, например электронов, протонов, фотонов и т. д., обладает некоторыми новыми свойствами, не имеющими аналога в классической физике. Они связаны с абсолютной тождественностью частиц одного и того же вида или сорта.
В макромире в принципе всегда можно различить два тела по их массе, заряду, энергии и др. Все эти величины в классической физике считаются изменяющимися непрерывно, так что вопрос о различии параметров частиц сводится к степени точности измерений. Более того, при совпадении всех характеристик частиц одного и того же вида всегда можно отличить частицы друг от друга, постоянно следя за движением каждой частицы по своей траектории.
В микромире имеют место дискретные значения величин, характеризующих микрочастицы. Так называемые внутренние параметры совершенно одинаковы для двух частиц одного вида. Так, у всех электронов одна и та же масса, заряд, спин. Если частицы находятся в одинаковых состояниях, то совпадают и параметры состояния: у них одинаковые энергия в связанном состоянии, момент импульса и его проекция, проекция спина. Абсолютное совпадение характеристик микрочастиц одного вида приводит к их тождественности, принципиальной неразличимости.
Это положение носит название принципа тождественности частиц и является постулатом квантовой механики (системы частиц). Принцип тождественности связан и с тем, что при тесном сближении невозможно проследить за каждой частицей в отдельности вследствие неопределенности положения частиц в пространстве. Обратимся к рисунку 14.1. В случае столкновения классических тел всегда можно установить, какое из них отскочило вверх или вниз.
Для квантовых объектов вместо траектории приходится рас- 148 Рис !4л сматривать «трубку», в которой движется волновой пакет. Если нет перекрывания волновых пакетов, то частицы можно различить по их положению в пространстве. Однако при взаимодействии или даже при сближении без взаимодействия трубки пересекаются, и нельзя установить, где какая частица находится. Поэтому после соударения можно сказать только, что одна из частиц полетела вверх, а другая— вниз. В микроскопической системе, например в атоме, волновые функции отдельных электронов перекрываются, т.
е. отличны от нуля в одних и тех же точках пространства. Поэтому при одинаковых характеристиках частицы совершенно неотличимы друг от друга. Принцип тождественности приводит к важнейшему выводу: в силу абсолютной неразличимости частиц одного и того же вида перестановка местами любых двух частиц в системе не приводит к изменению физического состояния системы.
Посмотрим, какие ограничения накладывает принцип тождественности на операторы физических величин и функции состояния системы. Для этого учтем, что перестановка частиц в системе отображается в операторах и функциях состояния перестановкой соответствующих координат. Так, перестановка 1-й и й-й частиц означает перестановку х; с хь Операторы физических величин должны быть симметричными относительно индексов частиц одного сорта, т.
е. они не должны зависеть от нумерации этих частиц в системе. Этому правилу удовлетворяют все операторы, введенные ранее для системы. Волновая функция системы при перестановке аргументов, относящихся к двум разным частицам, может изменяться только на физически несущественный фазовый множитель е' . Поэтому для функции состояния системы должно выполняться равенство ф1..., х„..., хь ...)=е'"!р(..., хь ..., хь .). Сделаем вторую перестановку координат двух рассматриваемых частиц в правой части этого равенства: ф (..., хь ..., хь ...) = ен "Ф (..., хь ..., хь ".). Отсюда 149 Следовательно, при перестановке координат любых двух частиц волновая функция либо только меняет знак, либо не изменяется вовсе.
Функции первого типа называются антисимметричными, а второго — симметричными (слова «по отношению к перестановке частиц местами» обычно опускаются). Симметрия или антисимметрия волновых функций системы микро- частиц — новое важное их свойство. Симметрия функцнн состояния системы сохраняется во времени, т. е. прн любых взанмодействнях система не переходит нз снммегрнчного в антнснммстрнчное состояние.
Это можно установить, если ввести оператор перестановки частнц: Рм ф (хь х,) = ф (х>, хь). Его собственные значення определяются уравнениями Рмтс=тс, Ч (,,)= р (х,х,), Рт>т»= — т», т»(хзхд= — т»(х,хь), т. е. собственное значенне для снммегрнчной функции фс равно +1, а для антиснмметрнчноа ф» равно — !. так как оператор Гамильтона не изменяется прн перестановке координат двух одинаковых частиц, он коммутнруст с оператором перестановки: Рь>И = Н Рм.
Отсюда следует сохраненне собственного значения оператора перестановка +! нлн — 1 во времени, т. е. сохранение класса симметрии функции. Симметрия функций состояния не зависит от взаимодействия и движения частиц в системе. Свойства симметрии функций состояния оказались связанными с величиной спина. В. Паули в !924 — 1925 гг. установил, что частицы с полуцелым спинам (они позднее были названы фермионами) описываются антисимметричными волновыми функциями, а частицы с целым или нулевым спинам (бозоны) — симметричными функциями.
Это положение носит название принципа Паули, оно также входит в число аксиом квантовой механики. 14.5. Волновые функции для систем, состоя!них из одинаковых базанов н фермнонов, Запрет Паули. При обсуждении свойств симметрии функций состояния нами не обсуждалось одно обстоятельство: частицы можно различать по ориентации спина. Поэтому принцип Паули следует формулировать так, чтобы он учитывал и спиновое состояние частиц. Для функции состояния системы частиц должно выполняться равенство ф (..., х>, птх>, ..., х», и>,», ...)= ~ф (..., х», ты, ..., хь п4>, ...).
Таким образом, вид симметрии волновой функции определяется ее поведением при перестановке как пространственных, так и спиновых переменных. Последнее утверждение становится очевидным, если учесть, что при перестановке частиц местами происходит и перестановка их спинов. Допустим, что волновую функцию системы можно представить в виде произведения координатного и спинового множителей: >р(х>, хь "., х„) и(т,>, тм,, п>гн).
150 Ч!с= ((Ч!, (Х!) 'Рч (хз)+'Рм (хз) Ч~х (х!)) уг2 (14.19) тгх (Ч~л (х1) Ч), (Хз) — !Рх (Хх) !Р (Х!)). П р н м е р 14.3. Составление симметричной н аитнснмметрнчной функций. Применим найденные выражения к двум частицам, находящимся в потенциальной яме. Используя формулы (14.18), имеем .!/2 фс (3!и й~х~ з!п Й2х2+3!п й(хт 3!и Й2х1), а хГ2 фл= — (яп й!х! 5!и йъкт — яп й!хг 3!п йтх!). и Заметим, что вследствие тождественности частиц уровни энергии оказываются двукратно вырожденными, так как в зависимости от выбора знака в квадратных скобках имеются две разные фунюгни при одних и тех же значениях: п~ и ль Если система состоит из двух электронов, то можно предложить следующие конструкции спиновой части волновой функции и(гпхп гпо): )~ ис(-' — ')=" (2) "( — ') )) " ( — ' — ') =" ( — ') ( — ') )~" (2 -2)= [ (-,')" (-2)+" (-+)"( —,')1 !1 и„( —, — — )= — [и ( — ) и ( — — ) — и ( — — ) из( — )1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
