Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(13.13) Сппмовые операторы являются самосопряженнымп плн эрмптовымн. (В матрпчном представленнн эрмнтово сопряженный оператор пзображаегся эрмптово сопряженной — трапспоннрованной и комплексно сопряженной — матрнцей.) Поэтому пх собственные значення действительны, а собственные функции образуют полную ортонормированную систему. Функции и, н иг ортогональны, если (!3.14) и|" из=о.
Легко проверить, что функцпп и( — ) н и( — — ) удовлетворяют равенству (2/ т, 2l (13.! 4). Поэтому произвольная сппновая функция может быть разложена по собствен- ным функциям оператора 5и ( ) с1( )+Сг( ), и=с~и( — )+сти( — ) . нлн тр(х, у, г)=(Е'(х " ')) . фг(х, р, 3) (13.15) 136 По общим правнлам квантовой механики !с~!' н )сй' определяют вероятность обнаружения частицы с той нлн иной ориентацией спина.
Так как возможны только две орпептацпп, то в соотвегствнн с условием нормировки (13.12) !с~!'+ + !сг!'=1. 13.4. Описание квантового состояния электрона с учетом его спина. Функция состояния электрона должна быть такой, чтобы с ее помощью можно было найти вероятность обнаружения частицы в данной точке с определенной ориентацией вектора спина.
При этом следует учесть, что в общем случае движения в произвольных силовых полях направление спинового момента импульса зависит от положения микрочастицы в пространстве. Задать вероятность положения в пространстве и ориентацию спина можно, если квантовое состояние электрона описывать матрицей-столбцом: Зта запись эквивалентна следующей: Ч\ (х, У, 2)=1Р1 (х, У, 2)( )+ф2 (х, У, 2)( ) .
Теперь видно, что квадраты модулей составляющих ф, и фт могут интерпретироваться как плотности вероятности для местоположения частицы при положительной илн отрицательной проекции спина. На функцию состояния (13.15) накладывается условие нормировки: ~ р'ф (р=) (ф*р +ф*р.) (у=( (13. 16) В некоторых задачах удобно вместо матрицы-столбца (13.15) использовать одну функцию ф=ф(х, У, 2, п4), (13.17) включив в число ее аргументов так называемую спиновую переменную п4.
Она принимает только два значения: лт,= ~ —. Оче! 2 видно, следует положить ф(х, у, г, — ) =~р~ (х, у, 2), ф (х, у, 2, — — ) =~р2 (х, у, г). 11 7 2) ' ' ' ~ * * ' 2) Тем самым устанавливается физический смысл функции состояния (13.17) . Матрица (13.15) находится из решения релятивистского квантового уравнения Дирака (см. $26). В нерелятивистском пределе для определения функции состояния (!3.15) используется так называемое уравнение Паули. Мы не будем изучать эти уравнения, ограничиваясь вопросами, которые рассматриваются на базе уравнения Шредингера. Зто возможно в тех случаях, когда движение нерелятивистское и ориентация спина не зависит от положения электрона в пространстве.
В таком случае функция состояния может быть представлена в виде произведения координатной и спиновой функций: Чг=ср(х, у, г) и=ср(х, у, г)( ') . (13.18) Сомножитель, зависящий от координат, находится из решения уравнения Шредингера. Зто обычная волновая функция. Из условия (13.16) следует условие нормировки функций состояния (!3.18): (с*,с, + с*сз) ~ ~р*ЧХ( $'= 1, Состояние электрона со спином вверх описывается функцией Чг=ф(х, у, 2)( ), а со спином вниз— 137 Чг=гр(х, у, г)~,) . Оба случая могут быть охвачены одной формулой эр=гр(х, у, г) и(тэ), откуда и следует, что квантовое число проекции спина тэ включается в набор квантовых чисел, задающих состояние электрона (так мы поступили ранее, в $13, п.
2). Например, электрон в центрально- симметричном кулоновском поле описывается функцией (13.9) Чгы „ (г, О, гр) = )(ю (и) Уг„ (О, гр) и (т,). При использовании этой функции состояния следует учитывать, что спнновые операторы действуют только на спниовую функцию и (гп,), т. е. иа один из сомножителей в выражении функции. В свою очередь операторы, действующие на пространственные переменные, ие затрагивают спинозой части функции состояния.
Их следует применять только к сомножителям, зависящим от координат. Поэтому Зэ и 5, коммутируют с операторамн (.э, (.. и гамильтоииаиом (!0.14). Волновая функция (13.17) для электрона в этом атоме водорода является собственной функцией всех пяти операторов. Методические указания н рекомендации !.
Задача об атоме водорода является для элементарного курса квантовой механики центральной; в процессе ее решения студенты знакомятся с решением научной проблемы, которое всего лишь полвека тому назад было достигнуто в результате работ гениальных ученых, определивших прогресс физической науки. Если многие вопросы из предыдущих глав требуют усвоения на уровне запоминания и применения (операторы, основные положения и т.
д.), то здесь речь идет прежде всего о понимании и воспроизведении (при запоминании принципиальных конечных результатов). Специфичен методический вопрос о выкладках при решении водородной задачи. Так как выполнить их подробно на лекциях невозможно — потеряется логическая нить главного,— то часть выкладки (например, все преобразования радиального уравнения до подстановки степенного ряда) желательно перенести на практические занятия. При изучении орбитального магнитного момента атома мы ввели в курс соответствующий оператор, так как имеющее место в учебной литературе изложение вопроса на основе классической по существу модели электронного облака не исчерпывающе (см.
пример !2.2). Понятие о спине вводится в элементарном курсе с опорой на эксперимент как дополнительное положение к уравнению Шредингера., Изучение спина может быть выполнено без раскрытия вида его операторов и функций, но предусмотрена возможность и углубленного варианта (см. $13, п. 3). В любом случае разъяснение единства математического описания моментов импульса используется, т. е. свойства орбитальных моментов переносятся на спиновые. По спину уместно проведение семинарского занятия с выступлениями студентов. 138 1!. При изучении материала студентам полезно контролировать усвоение знаний, отвечая на вопросы, выполняя задания и упражнения: — В чем специфика квантово-механического момента импульса по сравнению с классическим? Законспектируйте в краткой форме основные сведения об операторах момента импульса и его собственных функциях. Назовите сохраняющиеся и имеющие определенное значение величины при движении частицы в кулоновском поле.
Выделите основные этапы решения задачи об атоме водорода. Примените результаты решения для описания пространственной структуры атома. Сделайте рисунки электронных облаков ряда состояний атома водорода, соединяя в них радиальное и угловое распределения вероятности. — Раскройте понятие о спине как совокупности определенных свойств элементарной частицы. Сопоставьте формулы спинового и орбитального механического моментов. Как связан магнитный спиновый момент с зарядом (для электрона)? Что такое гиромагнитное отношение и как его можно выразить через другие величины, характеризующие механические и магнитные свойства частицы? Выпишите и раскройте смысл различных конкретных наборов квантовых чисел электрона в атоме (например, (1,О, О, 1/2), (2, 1, — 1, — 1/2) и т.
д.). Выполните упражнения к главе. Упражнение 1У 1. Найдите выражения (!О.З) операторов проекций момента импульса в сферических координатах. Решение. Воспользуемся выражением оператора !7 в сферических координатах: д - 1 д - 1 д х7 =е, — +е,— — +е дг и г дсг с ги!ив дв Рис 13 1 Рис 13.2 139 У нас 1д [,. ту]= — тг [е.~7]= д -- 1 д! 1- д е д 1 =13 ![е,ев] — + [е,е„] — ) = — 13 !ет — — — -а — — ! — ! ' ди Б!пе др) ! 'ди зын дт) (рис. 13.2).
Остается спроектировать вектор К на оси декартовых координат. 2. Используя результаты предыдущей задачи, найдите оператор Е' в сферических координатах. 3. По формулам (10.8) ... (10.9) найдите все сферические функции прн 1(2. 4. Непосредственной подстановкой в уравнение (10.6) покажите, что функции (10.11) являются его решениями.
6. Прямым вычислением покажите, что функции (10.11) удовлетворяют условию нормировки (10.10). 6. Проверьте выполнение условий попарной ортогональности функций (10.11) . 7. Выполните переход от уравнения (11.2) к уравнению (11.4). 8. Сделайте подстановку (11.13) в уравнение (11.4).
9. Сделайте зарисовку электронного облака для состояний: и =1, 1=0, т=О; а=2, 1=0, т=О; а=2, 1=1, т= ~1. 1О. Найдите радиальные волновые функции (11.11) с помощью формулы (11.9). 11. Покажите, что операторы й и Е, коммутируют, Р е ш е н и е. Е~=1~+Ц+Е~ и [1~Е;=Я1. ]+[1з~.,]+[1 У Последнее слагаемое равно нулю, так как любой оператор всегда коммутирует сам с собой и с любой своей степенью.
Для вычисления первых двух слагаемых используем равенство 1.„1.,— 1.Х„= = — 1ВЕ„. Умножим его слева и справа на Е„. Получим Е.Е„1.. — Е„Е,Е„= -Ы„1.„ Складывая два последних выражения, имеем [12) ] 3[1 ) ] 32У Аналогичным приемом доказывается, что ДЕ,]= — д'1., Отсюда следует искомый результат.
12. Покажите, что для операторов Е~=1.,~К„справедливы коммутационные соотношения КД ]=23Т„[Е,Г~]=~Й . !40 13. Покажите, что ~'(-~ф. =Ь(гп-ь.() К где ф — собственная функция оператора 1.„принадлежащая собственному значению Ьпт. Заметим, что из (1) следует (-~4>т=ф +ь У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задачи 12. 14. Пользуясь данными задач !2 и 13, покажите, что из правил коммутации проекций момента импульса (10.2) вытекает условие квантования (10.7). Р е ш е н и е.
Поэтому — -~/(,т < Ь, «-!/Е Обозначим через Ь( наибольшее возможное значение А,. Пусть ф~ — соответствующая собственная функция оператора Е,. Согласно данным задачи 13 !-+т =$ -~-ь Очевидно, (.,ф,=о, так как состояний с т )1 нет. Подействуем на обе части последнего равенства оператором Е ~. Е~ф,=0. Используя определения операторов Е и Г~. (см. задачу 12), имеем (1~ — 1~ — Е,) ф,=0. Функция ф~ — собственная функция как для оператора 1,„ так и для оператора Р, так как они коммутируют. Поэтому получаем (7. Ь2! Ь() $(=0 Отсюда следует 7-' = Ь'1 (1+ 1). 15. Покажите, что операторы (13.10) являются самосопряженными. 16.
Покажите, что операторы проекций спина (!3.! 1) удовлетворяют условиям коммутации (13.!). 17. Вычислите оператор У через операторы проекций 5„, Як и У,. 18. Покажите, что операторы У и 5, коммутируют. ГЛАВА У. МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ Задача об атоме водорода сведена в предыдущей главе к задаче на движение одной частицы в силовом поле. Однако уже атом гелия, состоящий из ядра и двух электронов, только к одночастичной задаче не сводится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
