Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Уравнение (-гх2 = ~-22Р, или — 1Ь ~~= Е,2р, дч имеет частные решения вида — е,е 2р=Сеа Поскольку полный обход вокруг оси Ог при изменении угла !р на 2л приводит нас в исходную точку пространства (г и О постоянны), то из условия однозначности решения следует равенство 2р (Ч2+ 2п) = 2р (ср). Оно удовлетворяется, если положить (.,=л20, т=О, ~1, ~2, ... (10.12) После нормировки и подстановки !., собственные функции опе- ратора 7,, принимают вид ф (ср) = — е ' ()олз) тг Часто используются названия: для ! — азимутальное, или орбитальное, квантовое число; для т — магнитное квантовое число.
Из формул (10.8) и (10.)3) видно, что сферические функции являются общими собственными функциями как оператора ).', так и оператора ), Кроме того, из выражения (!0.9) следует, что состояния с заданными моментом и его проекцией 1., возможны, если 1) !т!. Физически это условие вполне очевидно, так как проекция по модулю не может быть больше модуля вектора. Итак, т принимает 21+! значение: я=О, ~1, .+-2,, ~1.
В целях наглядности результаты квантования момента импульса и его проекции отображают в чертежах, подобных рисунку 10.1. Данные рисунка соответствуют значению 1=2. Радиус полуокружности равен (в принятом масштабе) )., т, е. Ь11Гб. Следует помнить об условном характере таких рисунков: по аналогии с классикой принято сопоставлять состояниям с одним ! и разными т различные определенные ориентации вектора момента импульса, хотя две другие проекции и не имеют определенного значения.
В приложениях часто применяется полуклассическая векторная модель момента импульса (рис. 10.2). Считается, что вектор момента импульса быстро вращается (прецессирует) вокруг оси Ог, сохраняя свой угол наклона к оси (см. ч. 1, пример!7.3). Для подобной классической системы величина момента и проекция 1, являются интегралами движения. Значения ).„и ).„непостоянны, а средние значения этих величин равны нулю. Сходство с квантовыми системами Рис.
!О 2. Рис. 1О 1. 112 здесь в том, что имеется определенное значение момента и его проекции (., и равны нулю средние значения Х„ и Х„. Очень важное различие квантового и классического моментов им- пульса заключается в том, что отношение (.,/(. (косинус угла накло- на) в квантовом случае принимает дискретный ряд значений. Этот факт получил название пространственного квантования. Он может быть учтен в рамках векторной модели с помощью дополнительно- го положения о дискретном наборе ориентаций вектора (. по отно- шению к оси Ог. (Заметим, что момент импульса не может быть направлен точно по оси.) Выбор оси 02 в свободном пространстве, разумеется, совершенно произволен. Однако если некоторое на- правление в пространстве физически выделено, то направление оси Оз совпадает с ним.
10.3. Движение частицы в центрально-симметричном поле. Центрально-симметричным называется силовое поле с потенциаль- ной энергией, зависящей только от расстояния до некоторого центра Центр удобно взять в качестве начала координат: (1= =и(г) Сила, действующая на частицу в таком поле, направлена по радиусу. Поэтому при движении классической частицы сохраняет- ся не только полная механическая энергия, но и момент импульса. В силу принципа соответствия следует ожидать появления тех же интегралов движения и в квантовой механике.
Для изучения стационарных состояний нужно решить уравнение Шредингера (8.4) для движения в центральном силовом поле. Сим- метрия поля подсказывает, что следует воспользоваться сфери- ческими координатами: Й1р(г, 9, <р)=Еф (г, 9, гр), где гамильтониан имеет вид Й= — — Л+ У (г) = — — ~ —., — ( гз — ) +, — ( з)п 9 — ~ + Ь' 2ж 2т(г~ дг(, дгг' г~ыпвдв(, дв~ Через Л, обозначен оператор: Если внимательно рассмотреть формулы (10.3)л (10.5) и (10.14), то нетрудно установить, что операторы Й, Р и (., коммутируют друг с другом. Отсюда следует, что существуют стационарные состояния, в которых одновременно заданы энергия, момент импульса и его проекция на некоторую ось, принятую за ось Ог.
Уравнение (10.14) допускает разделение переменных. Ищем вол- новую функцию в виде произведения радиального и углового множи- телей: ф (г, О, ~р) = )т (г) У (9, гр) (10.15) ыт После подстановки получаем уравнение —,— УЛ 77+ —, "У+ (777 У =Е)~ У Умножим его на — 2тг' и разделим на РУ. Уравнение примет вид й~ — ' Л, К вЂ” 2 т (7 (г) г' + 2 т Ег' = — Р У. ?? г «2у й у й' — 'Л,й — 2тг'6 (г)+2тЕг'=).. Я Первое из них есть уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата момента импульса.
Его решение нам известно. Используя данные предыдущего пункта, заключаем, что угловая часть волновой функции ?р(г, О, ~р) выражается одной из сферических функций У«(0, ч?), а й=й'1(1+1). Учитывая значения Х, запишем второе уравнение в виде 2 д (г2 Т~+МŠ— 17(г) — ЮУ+,'~] Ю=О. (10.16) Это уравнение называется радиальным. Для его предварительного анализа сделлем подстановку: )7=й~) г (10.17) Новая искомая радиальная функция д (г) удовлетворяет уравнению -„-й+ — „, ~Š— (7 (г) — — -(-ф-)] д=О. (10.18) Оно по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для движения частицы в поле с эффективным потенциалом: и =и(.)+ — "и((+(). «Ф « (10.19) Дальнейшее решение задачи о движении частицы в центрально- симметричном поле требует знания вида потенциала (7(г).
Соберем воедино все найденные сведения по вопросу о движении частицы в центральном поле: 1) Возможны стационарные состояния с определенными значениями энергии, момента импульса и его проекции на ось Ог. 2) Указанные состояния различаются квантовыми числами и т, определяющими момент импульса частицы и его проекцию.
!!4 Правая и левая части этого равенства есть функции разных независимых переменных, поэтому они должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим ее через ?,. Теперь исходное уравнение Шредингера распадется иа два уравнения 3) Энергия стационарного состояния зависит от конкретного вида центрального поля и должна быть определена вместе с радиальным множителем в формуле (10.15) в процессе решения уравнения (10.16) или (!О.!8).
Полезно заметить, что эти выводы справедливы для любого постоянного тилового поля с центральной симметрией. Далее их используем для решения конкретной задачи об атоме водорода, задаваясь для радиального уравнения кулоновским потенциалом: (/= — —. Г $ !1. ЗАДАЧА ОБ АТОМЕ ВОДОРОДА П. !. Постановка задачи об атоме водорода. Энергия ионизации атома водорода примерно 13,б эВ, что намного меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ) . Следовательно, задача об атоме водорода может решиться в рамках нерелятивистской квантовой механики — выполняется закон сохранения числа частиц, а также можно применять нерелятивистское уравнение Шредингера.
Если пренебречь весьма малыми магнитными взаимодействиями, о которых речь пойдет дальше, то можно считать, что электрон находится в поле кулоновской силы электростатического притяжения к ядру. Потенциальная энергия электрона выражается классической формулой (1! .1) где г — расстояние электрона до ядра, а х= — — постоянная ве! 4лы личина. Поле является центрально-симметричным, и мы можем воспользоваться всеми результатами предыдущего параграфа.
Г!ри решении задачи об атоме водорода интерес представляет движение электрона по отношению к ядру; ядро считается неподвижным. Это оправдано, так как масса ядра почти в 2000 раз больше массы электрона. Однако для сопоставления теоретически найденных уровней энергии с экспериментальными, измеряемыми с точностью до 8 и более значащих цифр, необходимо учесть, что ядро тоже движется вокруг центра масс атома. Как в классической механике, так и в квантовой учет движения ядра в формулах для динамических параметров системы прост; нужно лишь заменить в уравнениях движения массу электрона на приведенную массу: т,+м (о классической задаче двух тел см. ч.
1, $15). Поэтому уравнение Шредингера приведет к формуле энергии электрона, где вместо т стоит ц. Что касается функции состояния, то можно считать, что она характеризует движение электрона относительно ядра в систе- ы5 ме, связанной с движущимся в пространстве ядром (подробнее о квантовой задаче двух частиц см.
$14). Ниже полагаем, что ядро находится в начале координат. Массу электрона — приведенную или обыкновенную — обозначаем через )г. Угловая часть волновой функции электрона уже известна: это сферическая функция У~ (О, гр). Для нахождения радиальной части нужно решить радиальное уравнение (10.16) или (10.!8) с кулоновским потенциалом В данном случае эффективный потенциал имеет вид нет аг1(1+1) 'Ф г 2 им 2 Яу' 2а' (! 1.3) Постоянная йу имеет размерность энергии: ее значение Яд= 13,6 эВ дает порядок энергии электрона в атоме. Нашей целью является изучение связанных состояний электрона, для которых Е(0, а й')О, причем 6 — величина безразмерная и действительная.
После подстановки р и 6 в уравнение (!1.2) получаем новое уравнение (11.4) Это уравнение и необходимо решить для нахождения искомой радиальной функции в поставленной выше задаче об атоме водорода. Уравнение является дифференциальным уравнением второго по- 116 Общий ход кривой (1, дан на рисунке 5.1. При г- 0 (/, ведет себя как —,, на больших расстояниях функция (1, (г) приближается к нулю как — со стороны отрицательных значений. Для нас наибоГ лее важна область потенциальной ямы. Здесь при отрицательных энергиях движение частицы происходит в ограниченной области пространства и возможны связанные состояния с дискретными значениями энергии. 11.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
