Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из классической механики известно, какое важное значение имеют в ней законы изменения величины с течением времени. Достаточно напомнить формулу (см. ч. 1, (9.!)) 91 Й л ш выражающую основное уравнение динамики материальной точки, или формулы (см. ч. !, (10.4), (12.1)) — (.=М, ~ Т=оГ, ш ' и дающие законы изменения момента импульса и кинетической энергии. Естествен вопрос об описании изменений с течением времени физических величин в микромире. Поскольку в общем случае ве- личина не имеет определенного значения, следует обратиться к ее среднему значению.
Среднее значение величины зависит от времени, если состояние системы нестационарно или если в ее оператор входит время. Это видно нз формулы (8.7) а(1)=~ ф" (х, 1) А (х, 1) ф(х, 1) г(х, где в обозначениях показана зависимость от времени оператора и волновой функции. Найдем полную производную от а по 1: =~Я*— Аф-)-ф* —,ф+ф А — '«) Щ (9.1) Из уравнения Шредингера (8.3) следует, что А = ~ + — ' 1Й, А ). д~ а (9.4) При независящем от времени операторе А для сохранения величины достаточно, чтобы операторы Й и А коммутировали.
По- -'-2-'= — '(~И)', -'2-= — — 'Йф д~ а ' д! В После подстановки выражений для производных от функции сос- тояния в формулу (9.!) имеем — — фдх+ а ~ ((Йф)"Аф — ф*АЙф г(х. (9 2) Оператор Й является самосопряженным. Поэтому ~ (А~р) (Йф)в Нх =~ фьй (Аф) г(х, и выражение (9.2) принимает окончательный вид да ~ „рэ( дА + ~ [Й, )~ рг(х (9.3) Найденное соотношение решает вопрос об изменении средних значений физических величин со временем. Из него, в частности, вытекает, что среднее значение постоянно, если равен нулю оператор: — =~ фаАфдх. оа Ж (9.5) Подведем итог.
Для определения характера изменения физической величины с течением времени нужно построить, используя оператор Гамильтона и оператор данной величины, оператор производной, а для него найти среднее в соответствующем состоянии. Характерно, что в квантовой механике исходнымн для всей теории были операторы импульса и координаты, отнюдь не связанные между собой классическим соотношением р=шг. Располагая теперь правилом для построения операторов производных величин, нетрудно найти оператор г, который можно назвать скоростью, а оператор г — ускорением. Однако онн определяются через оператор Гамильтона, а не мепосредственным дифференнированием (практического значения в квантовой механике не имеют). 9.2.
Уравнения движения в форме Гейзенберга. Формула (9.3) или эквивалентное ей операторное соотношение (9.4) выражают на математическом языке изменение физических величин — динамических переменных — со временем, и поэтому они называются квантовыми уравнениями движения. Если операторы физических величин.не содержат времени, то равенство (9.4) принимает вид А = — '[Й, А]. (9.6) Оно называется уравнением движения в форме Гейзенберга и может быть положено в основу квантовой механики при другой схеме ее изложения вместо уравнения Шредингера (см. приложение ГП. Чтобы раскрыть смысл уравнений (9.6), запишем их для важнейших операторов координаты и импульса (для простоты возьмем одно измерение): х= — (Н, х], Ь гй р] ° (9.7) (9.8) Полученные уравнения могут быть сопоставлены с классическими 93 скольку оператор Й коммутируег сам с собой, то для сохранения средней энергии необходимо, чтобы — =О.
Это выполняется в поай дг стоянных силовых полях. Оператор (9.4) называется оператором производной физической величины по времени, что подчеркнуто в его обозначении. Операторная формула (9.4) и выражает закон изменения величины во времени. Располагая оператором некоторой физической величины А и функцией состояния системы ф, можно вычислить производную от среднего значения этой величины, воспользовавшись оператором А: уравнениями Гамильтона (см.
ч. 1, $23, п. 3) — они называются квантовыми уравнениями Гамильтона. Поскольку в них фигурируют операторы, то для перехода к измеримым средним значениям физических величин х и Р„необходимо располагать конкретной функцией состояния и оператором Гамильтона. Рассмотрим для примера движение микрочастицы в силовом поле (/ (х, у, г). Как известно, Ь' Г д' д' д' т Н= — — ( —, + —, + —, ) + У (х, у, х).
2е дс' ду' дг' т д' д —,, х 1ф= —, (хф) — х — ~=2 — ф, д, ] д. д»' дА. или В' д га (Й, х]= — — — = — — Р . т дх щ Согласно уравнению (9.7) имеем окончательно 1 х= — Р.. м (9.9) Смысл соотношения (9.9) ясен: средняя скорость микрочастицы определяется отношением ее среднего импульса к массе, т.
е. формула дает классическое определение импульса через скорость для средних значений. Для раскрытия уравнения (9.8) представим оператор Гамильтона в виде Н= —,' (Р!+Р~+Р')+(7(х у з) Оператор Р„коммутирует с первым слагаемым — оператором кинетической энергии — и не коммутируег со вторым слагаемым — оператором потенциальной энергии: ((7, Р„] ф= — 18((7-х — — ((7ф) ) =18 — ф. Поэтому [Й, р„]=1Ь'— Из уравнения (9.8) вытекает ди Р»= —— дх (9.10) Точно так же можно показать, что в трехмерном случае 94 Подставим этот гамильтониан в (9.7), Операторы (7(х, у, г), д' д' —, н —, коммутируют с оператором координаты х.
Поэтому нужно ду' дг' д2 вычислить только коммутатор 1 —, х ~: ] дк' ' р= — ~и, (9.11) что соответствуег второму закону Ньютона в операторной форме. Итак, квантовые уравнения движения для координат и импульса привели нас к операторной форме основного уравнения динамики. Это одно из проявлений принципа соответствия: связь между операторами такая же, как между величинами в классической механике.
9.3. Уравнении Эренфеста. Переход от квантовых соотношений к классическмм. Воспользуемся теперь найденными правилами вычисления производной по времени от среднего значения координаты и импульса. Согласно формулам (9.9) и (9.10) имеем х= — р„ (9.12) д(У Р = (9.13) д» Соотношения (9.12) и (9.13) носят название теорем Эренфеста. Из них вытекает уравнение Ньютона для микрочастиц: ои гпх= — — =гю (9.14) дх где г"„— проекция силы, действуюшей на частицу.
Это некоторая функция координат точки пространства. Если мы захотим практически использовать уравнение (9.14), то потребуется по заданной функции и (х, у, г) найти среднее значение силы в некотором состоянии тр. После этого должно определиться среднее значение ускорения, а по нему можно будет судить о кинематике некоторого среднего движения микрочастицы в силовом поле.
Но этот путь непосредственно для описания движения микрочастицы не применяется. Дело в том, что в практически важных и интересных случаях состояний микрочастицы (стационарное состояние) среднее значение координаты частицы от времени не зависит, а уравнение (9.14) информации о движении не содержит. Смысл уравнения в другом: оно устанавливает связь между квантовым и классическим описаниями движения и соответствуюшими уравнениями. П р н м е р 9.1. Использование теорем Эреифеста. Рассмотрим переход от квантового уравнения (9.14) к основному закону классической механики в случаях, когда средние значения имеют смысл. дли етого представим себе, что волновая функция заметно отлична от нуля лишь в малой области пространства Лх. Как известно из $ 4, п.
2, такое состояние описывается волновым пакетом. Значение х можно принять равным координате середины наката. Если Лх мало, то р (х) г„(х). (9.15) Поскольку сила определяется градиентом потенцнальмой знергнн, равенство (9.15) выполняется с достаточной точностью только в медленно и плавно изменяющихся полях. Наш случай тохсе относится к плавным полям. Если учесть соотношение (9.15), то иа основании формулы (9.14) имеем шх = г", (х). 95 Это по форме уже класснческое состношенне, так как прн малом Аг пакет можно сопоставить материальной точке. Однако условие (9.15) еще недостаточно для перехода к класснческой механике, так как частица должна иметь определенный импульс.
Пакет образуется набором монохроматнческнх волн с нмпульсамн, лежащнмн в ннтервале р рВАр. Еслн Ар Кр, (9.16) то можно положить ряэр. Условие (9.16) заведомо выполняется, еслн кннетнческая энергия достаточно велика, так как правую часть равенства можно сделать сколь угодно большой, увеличивая энергию частицы. Таким образом, квантовое двнженне прнобретаег класснческне черты прн переходе к большим энергням в плавно нзменяющнхся снловых полях. Вопрос разобран еще не до конца. С течением временн пакет расплывается, Аг растет н, вообще говоря, соогветствне класснческой картнне двнження теряется.
Можно показать, что время, за которое ширина пакета удванваегся, по порядку величины равно: )г й (9.1 7) где прн вычнсленнн мужно взять начальное значенне Ах. Для частиц атомных размеров масса т !О " кг, Аг 1О " м н формула (9.!7) дает Г 1О " с. В газе ярн нормальных условиях среднее время свободного пробега 1О "с, поэтому представление о молекулах газа как о класснческнх корпускулах, вообще говоря, является неправомерным.
Из соотношення (9.17) следует, что переход к классической механике есть переход к частицам достаточно большой массы. 96 9.4. Законы сохраиеиия физических величии в квантовой мехаиике. Как и в других разделах физики, в квантовой механике важнейшее значение имеют законы сохранения ряда динамических величин, характеризующих состояние микрочастицы или системы микро- частиц и изменение этого состояния. Таковы законы сохранения энергии, импульса, момента имиульса — величин, имеющих универсальное применение во всей физике. В микромире к иим добавляется закон сохранения четности — величины, специфической для квантовой физики (и ряд других — см. (19) ).
В классической механике и электродииамике законы сохранения получают, преобразуя основные уравнения теории — уравнения Ньютона, Максвелла. Из иих получают законы изменения с течением времени импульса, момента импульса, энергии, а затем рассматривают специальные условия, при которых данные величины ие изменяются во времени, т. е. сохраняются. Этими условиями служат замкнутость и изолированность изучаемой системы: в механике — тел, в злектродииамике — поля и заряженных тел. Аналогичен подход к законам сохранения во времени и в квантовой механике. Уравнение Шредингера привело иас к формуле (9.4) для оператора производной физической величины по времени: А' ал+ ' (о А) бг д Применяя его для вычисления производной по времени от среднего значения величины, заключаем, что при условии А=О, а=сопз(, среднее значение физической величины сохраняется во времени.
Рассмотрим условия сохранения определенного значения физической величины. Если функция состояния а[В, в котором находится система, совпадает с собственной функцией ~, оператора А, то величина имеет определенное значение: а,. Из формулы для среднего (8.7) в этом случае получаем а=а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
