Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 18
Текст из файла (страница 18)
8.2. Операторы и допустимые значения физических величин. Мы уже видели на примере решения простейших задач квантовой механики, что энергия микросистем принимает дискретные значения, т. е. определенным образом квантуется. Это значит, что использовать для энергии и ряда других физических величин просто вещественные (действительные) числа или векторы, как это делалось в классической механике и электродинамике, нельзя: не все точки числовой оси для энергии допустимы (например, см.
задачу о гармоническом осцилляторе). Связь между физической величиной и ее математической моделью устанавливается постулатом: в квантовой механике основным физическим величинам сопоставляются линейные самосопрялкенные операторы. Обычно оператор обозначается той же буквой, что и величина в классической физике. Исходным являются операторы координаты и импульса. Посту- 78 лируется, что оператор координаты х есть действие умножения на эту переменную: г=1х+!у+кг=г, (8.1-1) импульс р = г р„+ 1' р е+ К р, = — (й х7, (8. 1-2) момент импульса К=[к р[= — 1й [г~г[, (8.1-3) кинетическая энергия Т=г — = — — Л, 2т 2ы (8.1-4) потенциальная энергия й=и(., г)=и(х,у, г, г), (8 1-5) полная механическая энергия Й= Т+ й= — 2 Л+ и (х, у, г, 1).
(8.1-6) Оператор полной энергии называется оператором Гамильтона илн гамильтонианом. Он обозначается символом Н, так как в общем случае это квантовый аналог классической функции Гамильтона. Далее мы увидим, что оператор Гамильтона играет особо важную роль, ибо его собственные функции оказываются волновыми функциями стационарных состояний. Кроме того, он входит в основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера.
Связь между оператором и наблюдаемыми при измерениях значениями физической величины дается постулатом: физическая величина может принимать ге и только те значения, которые совпадают с собственными значениями ее оператора. П р н м е р 8Л, Собетвенные фунацнн н собственные анаоеннн оператора нмнуавеа Имеем уравнение 79 х=х. Оператор проекции импульса р„выражается формулой р,= — 16 — ' (8.1) ах Операторы других физических величин можно найти, руководствуясь простым правилом, вытекающим из принципа соответствия между классической и квантовой физикой: соотношения между операторами физических величин такие же, как и между этими величинами в классической физике (если в результате действий получается самосопряженный оператор).
Правило позволяет сразу написать формулы для операторов важнейших механических величин: радиус-вектор или р, ф (х) = р, ф (х), дф — !Ь вЂ” =р ф. дх Произведем разделение переменных: — = — р, дх. ф д Отсюда 1п ф= — р,х+1и С д ф=Сет Козффнцнеит С определяется условием нормировки на б-функцию, после чего -х- Р,к ф= —. е (8.2) у2пб Чтобы функции (8.2) были всюду ограничены, значения р должны быть действительными числами. Отсюда видно, что спектр оператора проекции нмпульса— зто совокупность всех действительных чисел.
П р н и е р 8.2. Собственные функции н собственные значемня оператора координаты х. Уравнение х ф„, (х) = ха ф„(х) не имеет решений среди обычных функций. Исходя из свойств б-функции легко проверить выполнение символического равенства хб (х — ха) =ход (х — ха). Дей ~ х б (х — ха) а1х = хо ~ б (х — ха) дх = хо.
Позтому собственные функции оператора х суть фо(х)=б(х — хо), где ха — любое действительное число. Вид оператора импульса и операторов ряда других величин не зависит от свойств частиц н тех физических условий, в которых происходит их движение. Поэтому спектр этих операторов всегда один и тот же. Но вид оператора Гамильтона и его собственные значения различны для различных частиц и зависят от вида силового поля, действующего на частицы. В связи с вопросом об операторах физических величин важно заметить, что не все физические величины представлены операторами. Такие характеристики микрочастицы, как масса, электрический заряд, важнейшие физические постоянные в нерелятивистской квантовой механике являются не операторами, а вещественными числами, входящими в формулы и уравнения в качестве параметров. Можно сказать, что величина, построенная по принципу соответствия из операторов координат и импульса, сама есть оператор.
В противном случае (в нашем курсе за исключением не имеющейся в классической физике величины — спина микрочастицы) это число. 8.3. Описание состояния квантовой системы и его изменения со временем. Следующий постулат относится к функциям, которые мы ранее назвали волновыми или функциями состояния. Наиболее полное описание состояния квантовой системы достигается заданием соответствующей этому состоянию волновой функиии.
В ней заключена вся информация о системе. Функция состояния позволяет определить плотность вероятности для положения частицы (нли совокупности частиц) в пространстве и ее изменение во времени. С помощью волновой функции осуществляется расчет возможных результатов физических экспериментов и измерений физических величин, определяются средние значения физических величин в заданном состоянии и извлекается другая информация. Изменение волновой функции со временем отражает эволюцию состояния квантовой системы под действием внешних сил. Для определения функции состояния в каждом конкретном случае мнкросистемы и взаимодействия в ней или с внешними объектами постулируется основное уравнение. Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера: (8.3) Записанное в таком виде уравнение пригодно для любых квантовых объектов. В зависимости от того, изучается ли отдельная частица, атом или кристалл в целом — изменяется вид оператора Гамильтона Й, структура же уравнения остается одной и той же.
С частным случаем уравнения Шредингера мы уже знакомились раньше. Подставляя в уравнение (8.3) гамильтониан (8.1 — б), получаем уравнение (3.1). Можно говорить об аналогии между основной задачей классической механики — по силовому полю с помощью второго закона Ньютона найти кинематическое уравнение движения материальной точки г=т(т) — й основной задачей квантовой механики — по заданному гамильтониану системы с помощью уравнения Шредингера найти функцию состояния ф(г,1). Оператор Гамильтона характеризует микросистему с динамической стороны; его вид зависит от масс частиц, их электрических зарядов, взаимодействия между ними. Ему принадлежит особая роль в квантовой механике, ибо знание гамильтониана необходимо для составления основного уравнения.
В принципе гамильтониан должен быть задан в конкретных задачах квантовой механики подобно тому, как задаются сила в классической механике при использовании уравнения второго закона Ньютона нли же функции Лагранжа и Гамильтона при использовании соответствующих уравнений аналитической механики. В ряде случаев гамильтонианы строят по принципу соответствия, используя классические выражения и заменяя в них координаты и импульсы на соответствующие операторы.
Волновые функции — решения уравнения Шредингера — являются комплексными функциями вещественных переменных. Аргументы волновой функции — координаты частиц и время, причем для многих действий над функциями время является параметром. Если силовое поле стационарно, то уравнение (8.3) допускает реше- ния вида ф (х, у, г, 1)= гр(х, у, г) е Координатная часть функции состояния гр(х, у, г) является собственной функцией гамильтониана, т. е.
удовлетворяет уравнению гре агре' (8.4) Поэтому действительная величина Е является полной энергией системы. Уравнение (8.4) называется стационарным уравнением Шредингера. Подставляя в него гамнльтониан (8.1), получаем уравнение (3.7), с помощью которого выше изучались стационарные состояния одной частицы в потенциальных полях простейшего вида. П р и м е р 8.3. Собственные функции н собственные значении оператора Гамильтона для свободной частицы. дэ Энергия свободной частицы описывается оператором; Т= — Тц следова2ш тельно вместо 8.4 имеем ( ) — — Лв=Ев.
2гл Решение этого уравнения найдено в гл. 1, $3, п. 5; б= Се'Ь, 1 где а= — 12тЕ. Решение ямеет смысл при всех пааожнтельпых значениях Е. Таким а образом, е — собственные функции оператора Т с непрерывным спектром (положительных) собственных значени»: О СЕ( со. П р и м е р 8.4. Собственные функции н собстиенные значеинм оператора Гамильтона дли осцмллятвра. Оператор Гамильтона в данном случае имеет вид дг дэ щмтхэ Й= — — — т-+— 2т Дх 2 Уравнение (8А) при подстановке в него этого оператора конкретизируется: д' о'ф гл'х' т + 2яг бх 2 ф=Еф. Но это уже решенное ранее уравнение (6.2); собственные функции оператора И— умноженные на экспоненту полииомы Чебышева — Эрмита (6.16), а спектр его собственных значений опРеДелаетса фоРмУлой (6.18); Еж=Вы(л+ — г), л=о, 1, 2,. 1т 2) Поскольку уравнение (8.4) есть уравнение в частных производных, то его конкретное решение ф существенно зависит от граничных условий.
Так, дискретный характер спектра энергии состояний во многих случаях определяется требованием затухания ф-функции на бесконечности. В случае нестационарного поля общее решение уравнения (8.3) есть некоторая функция времени. Для ее определения необходимо знание начального условия, т. е. вида волновой функции в на- 82 чальный момент времени. Дальнейшая эволюция состояния определяется уравнением Шредингера через найденную в процессе его решения зависимость: ф=ф (1). 8А.
Вероятности отдельных значений физической величины. Состояние квантовой системы описывается волновой функцией, но это еще не говорит о том, какими значениями физических величин система характеризуется. До измерения такой информации не существует. Результат же измерения не всегда однозначен. Обнаружение на опыте того или иного значения физической величины в некоторых случаях является случайным событием. Тогда и говорят, что величина не имеет определенного значения. Однако можно теоретически заранее рассчитать вероятность или частоту появления данного значения при многократных измерениях, располагая функцией состояния. Она определяется постулатом: вероятность того, что при измерении получится значение а, физической величины А, равна квадрату модуля соответствующего коэффициента Фурье в разложении волновой функции в ряд или интеграл Фурье по собственным функциям оператора этой физической величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
