Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Символы операторов рассматриваются кшс самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математических действий: сложение, умножение, возведение в степень, разложение в степенной ряд. Определим сумму и произведение операторов. Оператор С называется суммой операторов А и В, если выполняется равенство Стр = А лр+ В~р. Из определения следуют формулы Ср=(А+В) р С=А+В. Сложение ассоциативно и коммутативно: (А+В)+ С=А+(В+ С), А+В=В+А. Оператор С называется произведением операторов А и В, если справедливо равенство Сср=А (В~р). Скобки указывают порядок действий. Произведение операторов обозначается так же, как и произведение чисел: С=АВ. Операция умножения в общем случае некоммутативна: АВИВА.
Операторы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими. Оператор А — ВА называется коммутатором операторов А и В. Он обозначается символом [А, В]: [А, В]=А — ВА. Для коммутирующих операторов [А, В]=0. П р и м е р 7Л. Произведение операторов. д д д Если А=х и В= —, то АВ=х —, причем АВО=А (Ва)=х — О. дх' дх ' дх — д В то зке время ВА= — х, поэтому дх д д Вло= — (юр1=о+ — о.
дх дх Отсюда заключаем, что А ВДОВА. П р н м е р 7й. Коммутирующие операторы. д -- дт д Если А =х и В= —, то [А, В) я=х — — (хо)=0. ду ' ' дд ду Операторы перестаиовочны, т. е. коммутируют. 7.3. Собственные функции и собственные значения операторов. Равенство Агр=агр, (7.5) где А — оператор; а — число (в общем случае комплексное); тр — функция, называется уравнением для собственных функций и собственньгх значений оператора (если задан оператор А и требуется найти гр и а).
Если функция удовлетворяет рассмотренным выше стандартным требованиям для ф-функций, то она называется собственной функцией оператора А, принадлежащей его собственному значению а. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным. Решения уравнения (7.5) могут оказаться функциями состояния некоторой механической системы.
Поэтому на функции гр либо в процессе решения уравнения (7.5), либо после решения накладываются рассмотренные выше стандартные требования непрерывности, однозначности, ограниченности во всех точках пространства и (не всегда) квадратичной интегрируемости. Собственное значение называется вырожденным, если ему соответствует несколько линейно независимых собственных функций. Кратность вырождения определяется числом таких функций. П р и м е р 7.3. Нахождение собствемных значений и собственных функций оператора и» Возьмем оператор А = — г. Уравнение (7.6) для него имеет вид г(х в'т -рг — — о ге.
(7.6) Положим и= — и'. Уравнение (7.6) при всех действительных и имеет два независимых рещеиия: е'ь" и е ' ', удовлетворяющих требованиям однозначности, непрерывности и ограниченности по модулю. Отсюда видно, что спектр оператора А непрерывен и охватывает все отрицательные действительные числа. Каждое собственное значение двукратно вырождено. Заметим, что любая линейная комбинация С~еж"+Сге '"' также является собственной ~ункцией оператора А, принадлежащей тому же собственному значению: о= — и . Коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций. Это означает, что любая собственная функция одного оператора является также собственной функцией другого оператора, Например, экспонента емг является собственной функцией операд д д торов — , — и — .
дх ' ду дг 7А. Самосопряжениые операторы. Оператор А называется само- сопряженным или эрмитовым, если выполняется равенство ~ ф» (х) Агр(х) дх=~(Аф (х))» гр(х) дх. (7.7) Здесь зр и гр — функции, для которых выполнение всех указанных действий в (7.7) имеет смысл. П р и м е р 7А. Самосопрягкениые операторы. в Самосопряжеииыми операторами являются, например А=к н А=г †.
Для дх 76 оператора умножения иа переменную х зто очевидно. для другого оператора имеем ф'Хт«х=) ~ фа — «х= «е «х =)феи ~ -) ) И вЂ” «х=ареф ~ +, '~ И(Аф)ь«х «х ) —,з Если допустить, что ф и И обращаются в нуль на бесконечности, то приходим к равенству (7.7). Самосопряженный оператор может действовать не только иа затухающие « в бесконечности функции. Рассмотрим оператор А=у — и функции о=хзь", «х н ем*.
Подстановка нк в правую и левую части равенства (7.7) дает ~ Фьлт«х = — р2лб (д — й), $ е(Аф)ч «х= -ййлб(й — д). Выполнение символического равенства дб(р-й) йб(й — д) свидетельствуег о самосопряженностн оператора. Сумма самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор. (То же можно сказать о произведении, если операторы коммутируют.) Применение самосопряженных операторов в квантовой механике обусловливается прежде всего тем, что их собственные значения всегда вещественны. Пусть выполняется равенство (7.5). Подставим функцию <р вместо ф в формулу (7.7): ~ греА<р«х=~ (Аср)е пк(х, или а ~ )ср(т«х=ао ~ )ср)т«х, а=а*.
Собственные значения оказались вещественными числами. Собственные функции эрмитовых операторов попарно ортогональньь Пусть гр~ и грт — собственные функции оператора А, соответственно принадлежащие разным собственным значениям: а~ и аь Тогда Ачн =а~грь А~рт=ат~рт. Подставим ~р~ и грт в равенство (7.7) вместо зр и <р. Получим ~ <р1Агрз«х= ~ (А ср~)егртдх, илн аз ~ грьгртйх=а! ~ гр!грт«х. Отсюда видно, что ~ <р~<ртс(х=О.
Поскольку уравнение (7.5) для собственных функций оператора определяет функции с точностью до постоянного множителя, то их 76 можно нормировать на единицу (или, если функции не затухают на бесконечности, нормировать на б-функцию). Собственные функции самосопряженного оператора, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональиы друг другу. Было показано, что зто справедливо для невырожденных собственных значений. Вырожденные собственные функции, относящиеся к однвму н тому же собственному значению, вообще говоря, неортогоиальны друг лру"у. Пусть ф — такие функции; кратность вырождения равна л.
Составим нз ннх л линейных комбинаций: Функции ф» также являются собственными функциями рассматриваемого оператора и принадлежат тому же собственному значению. Если Аю=ач», то н А»р»= а»рь Числа Ьи подбирают так, чтобы функции»р» были нормированы и ортогональны друг другу. Из сказанного ясно, что собственные функции самосопряженного оператора всегда можно выбрать таким образом, чтобы онн образовали ортонормированиую систему. Важнейшей особенностью эрмитовых операторов, обусловливающих их применение в квантовой механике, наряду с вещественностью собственных значений является полнота системы собственных функций. Это значит, что в случае дискретного спектра по собственным функциям эрмитового оператора может быть разложена любая функция состояния в обобщенный ряд Фурье.
В случае непрерывного спектра разложение производится в интеграл Фурье. Заметим, что индекс собственной функции оператора, одновременно являющийся индексом его собственного значения, часто есть некоторое квантовое число, входящее в формулу собственного значения (см. пример 7.5). В случае непрерывного спектра он играет роль непрерывного параметра, входящего в собственную функцию (см.
функции состояния свободной частицы (3.22)). П р и и ер 75 Система собственных функций и собствеимых значений оператора. Вернемся к системе функций стационарных состояний для микрочастицы в потенциальной яме (4 5, п 2). Если уравнение (5А) зависать в виде Д» б»ф — ~- = Е»фь 2л» Их д' г(' то оно окажется уравнением для собственных функций ф, оператора 2ж»(х принадлежащих различным значениям знергни Е.. Система функций (5.7) является полной, н по ней можно разложить любую функцию ф, ограниченную на интервале 0(х(а. Аналогично положение с задачей об осцнлляторе (см.
$6). Если уравнение (6.2) записать в виде то окажется, что »Р» — собственные функции оператора, заключенного в скобки, 77 принадлежащие различным значениям энергии Е„. Система функций ф„является полной, и по ней может быть разложено общее решение уравнения (6.2). Из примеров видно, что в стационарных состояниях энергия принимает значения, собственные для некоторого оператора.
Забегая вперед, скажем, что определенные значения физической величины — это спектр собственных значений ее оператора. 5 8. АКСИОМАТИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 8.Е Математический аппарат квантовой механики. В каждой фундаментальной физической теории применяются свои специфические математические средства — математический аппарат. В классической механике это векторы и дифференциальные уравнения, в электродинамике добавляется векторный анализ. В квантовой механике математический аппарат заимствован из математической теории линейных самосопряженных операторов.
(С элементами этой теории читатель познакомился в предыдущем параграфе.) Применение математического аппарата в квантовой механике основано на нескольких постулированных утверждениях; опираясь на них, можно хотя бы в принципе решить все конкретные задачи. В данном параграфе рассматривается часть этих положений, далее по мере необходимости к ним добавится еще несколько постулатов. Ниже даки ся такие формулировки, чтобы в дальнейшем их можно было использовать как для изучения одной частицы, так и системы частиц.
(Однако в тексте параграфа слово «система» применяется главным образом к простейшему объекту — микрочастице, находящейся во внешнем потенциальном поле. Распространение всех понятий и законов на системы нескольких частиц обсуждается в главе ту.) Обратим внимание читателя на то, что изложение физических теорий, как правило, отличается от чисто дедуктивных математических построений: в них обычно не выделяется минимальный и полный перечень аксиом. физика всегда апеллирует к опыту и опираегся на оптимальную, т. е. наиболее удобную для практики, систему аксиом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
