Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4 4, п. 4) и приводит, как н в макромире, к некоторому действительному числу. Числа, полученные при измерениях, становятся конкретнымн значениями скалирных величин, проекциями векторов, собственными значениями операторов с помощью тех или иных формул. Но не всякая величина, характеризующая мнкрочастицы, выражается опера- тором.
Заиисывая сами операторы, мы используем некоторые значения физических величин, играющих роль параметров в решаемых задачах. Таковы масса, заряд, 1 момент инерции частицы, физические постоянные — с, —, й и др., входящие в ' 4лзо формулы операторов. Эти же параметры входят в уравнение Шредингера и вытекающие нз него соотношения.
Перечисленные сейчас величины находятся экспериментально и имеют определенные значения. Особо следует остановиться на координатах точки пространства и момента времени, являющихся аргументамн функции состояния. Квантовая механика пользуется обшей с другнмн фундаментальнымн теорнямн моделью пространства— времени: пространство непрерывно, однородно, нзотропно, евклидово, время непрерывно и однородно (см. введение, ч. 1, 4 2). Система отсчета в квантовой теории ннерциальна. Это означает, что, задавая функцию состояния микрочастнцы, мы исходим из точных значений координат х, у, з каждой точки пространства и момента времени Г (разумеется, в пределах достигнутой при измерениях точности). Инымн словами, координаты точки пространства н момента времени в теории (нерелятивистской) имеют определенные значении.
Состояния с неопределенными значениями величин обусловлены квантовым характером взаимодействия в микромире и отражены в соотношениях неопределенностей (4.8), подтверждающихся экспериментально (4 4, п. 4). Микрочастица не имеет определенной координаты в смысле воспроизводимости ее значения прн повторении измерений, оказываясь каждый раз в разных точках пространства с коордннатамн х, р, з. То же лля импульса. Особенность координат мнкрочастицы и ее импульса как измеряемых илн рассчитываемых в теории величин и отражена в том, что нм сопоставлены операторы, а ие непосредственно числа. Теория, следуя за опытом, не позволяет до опыта приписать частице какие-то конкретные значения координат н импульса.
Прн всей кажущейся произвольности выбора операторов х н р, в аксиоматике (см. 4 8) нх внд тесно связан с вероятностно-статистической трактовкой ф-функции. Если мы признаем, что ююрдината мнкрочастицы принимает случайные значения, то положение частицы в пространстве определяется через плотность вероятности: являющуюся функцией координат точки пространства и онисываюшую механическое состояние частицы: гп (х, 1) — различна в разных силовых полях, лля разных систем н т. д. Исходная и важнейшая аксиома квантовой механики состоит в том, что силовое поле, или взаимодействие между частицами, определяет не функцию ш(к, у, х, Г), а другую — ф(х, у, з, г), причем ю=чьф, Экспериментальное основание аксиомы дают опыты по днфракцни микрочастнц: дифракцнонная картина соответствует интерференции волн, а распределение интенсивности пропорционально квадрату их амплитуды, т. е.
величине ю = 1ф'. С этим обстоятельством (состоннне задается не плотностью вероятности, а ф-функцией) связаны многие принципиальные особенности квантовой механики. Статистическое толкование волновой функции в значительной мере цредопределяет выбор оператора координаты. Если предположнтгь что поле (8.2) описывает состояния с определенным импульсом, то далее нз тех же соображений находится н оператор импульса. Очень важно для понимания и ноги х вопросов усвоить, что благодаря соотношению неопределенностей импульс не определяется, как это было в макроскопической физике, через производную от координаты, т.
е. через скорость. Формула р,=пгх не имеет места, потому что нег кинематнческого уравнения движения: х=) (Г). Отсюда следует, что измерение импульса в микромире не может производиться через измерение скорости, а Ьолжно выполняться другимн, независимыми от измерения координаты способамн, например через связь импульса с энергией, с помощью закома сохранения импульса и т. д. (Что касается координаты точки пространства, то ее измерение в микромире не пересматривается.) Сказанное выше о координате и импульсе позволнет сделать вывод об особой 89 роли координат и импульса как независимых переменных при описании состояний мнкрочастиц.
В нашем курсе функции состояний задаются в обычном пространстве с координатами к, у, з. Однано возможно их оиределеиие и в пространстве импульсов с координатами р„, р„, р, (см. приложение П!), Выбор вида операторов других величин производится с помощью принципа соответствия. Предполагается, что в некотором предельном случае законы квантовой механики допускают переход к законам классической механики. Сами классические величины, такие, как энергия н момент импульса, есть не что нное, как средние значении соответствующих квантово-механических величин.
Принцип соответствия требует того, чтобы связи между средними значениями квантово-механических величин совладали с известными классическими соотношениями. Отсюда следует, что формулы, связывающие операторы соответствующих величин, повторяют классические формулы (об этом подробнее говорится в $9). Таким образом, все величины, которые выражаются в классике через координаты и импульсы, оказываются операторами, причем внд нх легко устанавливается (см. $8, п. 2). В нашем курсе особняком стоит одна величина — спин микрочастнцы.
Он не связан с функцией состояния, не входит в уравнение Шредингера (до 4 !3, и. 3). Поэтому спин мы должны рассматривать как параметр микрочастнцы, подобный ее массе и заряду. В более полной релятивистской теории спин определяется по функции состояния действием на нее оператора спина (см. 4 !3, пп. 3 н 4). Ситуация со спнном позволяет понять, что существуют величины, которые в нерелятнвистской теории выступают как параметры, а в релятивистской являются операторами, ие содержащими координат и импульсов.
К ннм, например, относится оператор электрн. ческого заряда, других зарядов. Но этн операторы выходят за рамки данного пособии. Классическая механика есть предельный случай квантовой механики (см. 4 9, и. 2). В то же время, учитывая роль классической физики прн введении исходных положений квантовой механики, можно заключить, что обе теории имеют особую связь друг с другом. Обратим внимание на то, что все измерения производятся макроскопнческимн приборами, далее, существен принцип соответствия прн определении вида силовых нолей (операторы ()(г)) н операторов ряда величин, таких, кан Т, Е, (г.
Что касается основного уравнения квантовой механннн — уравнения Шредингера, то оно обладает большей общностью, нежели основные уравнения классической механики — уравнения Ньютона, Лагранжа, Гамильтона. Однако есть связь уравнения Шредингера с классической физикой: во-первых, через историю открытия, а во-вторых, переходом к классическим уравнениям (см. 4 9). 8.8.
К вопросу о размерностях в квантовой механике. Кратко остановимся на вопросе о размерностях величин и операторов. Известно, что каждая физическая величина может бьггь выражена классическими формулами через другие величины. Связь величины с основными величинами — длиной, массой, временем — выражают формулы размерности. Но оператор обозначает действие на функцию, а не непосредственно на величину; поэтому неочевидно, какое отношение к нему имеет размерность.
Однако если вспомнить уравнение (7.5) для собственных значений и собственных функций оператора, то из него видно, что размерность оператора должна совпадать с размерностью его собственных значений. Так, например, для оператора импульса имеем т. е. 90 В самом деле, используя явный вид оператора: р„= — 1й— д дх и вспоминая, что постоянная й имеет размерность энергии, умноженной на время, убеждаемся в справедливости сказанного. Совпадают размерности правой н левой частей уравнения Шредингера: 1Ь -д~= ЙФ, д1 если учесть, что оператор Й имеет размерность энергии. Что же каса- ется размерности функции состояния, то она видна из исходного определения вероятности (2.1): ()Р [ р~211, Так как вероятность — величина безразмерная, то размерность ф-функции — обратная величина корня квадратного из объема: [ф!=С ' Например, в одномерном случае потенциальной ямы размерность найденной ранее функции состояний (5.7) определялась нормировоч! ным коэффициентом: С„= ~/ —, [Ф]=! 1 И Такая же размерность у функций состояния квантового осциллятора (см.
формулу (6.17)). В случае свободной частицы функция состояния (3.22) имеет неопределенный коэффициент С, которому а следует приписать размерность: [С[ =7. Как правило, размерность ф-функции и определяется ее нормировочным множителем; без него Ф-функция в процессе решения уравнения Шредингера часто оказывается безразмерной. Постоянный ее сомножитель определяется условием нормировки (2.5): [М[' ~ Ф*ф ай~=1. Из этого же условия получается указанная выше размерность: [У~2 7 — з $ 9. ИЗМЕНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН СО ВРЕМЕНЕМ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 9.1. Изменение средних значений физических величин со временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
