Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Рис 9! Рис 9 2. Операцию инверсии можно провести в два этапа, комбинируя отражение в зеркале и поворот на угол )80'. На рисунке 9.! точка А при отражении в зеркале, поверхность которого совпадает с плоскостью хОу, переходит в точку А'. Если совершить еще и поворот вокруг оси Ог, то точка А' совместится с точкой А", координаты которой связаны с координатами точки А преобразованием инверсии. Поэтому симметрия систем относительно инверсии непосредственно связана с симметрией относительно отражения в зеркале — с симметрией «правого» и «левого».
Всякое преобразование координат можно трактовать двояко: как следствие перемещения системы (при неизменных осях координат) и как следствие изменения положения осей координат (при этом физическая система остается неподвижной). До сих пор мы использовали только первый способ. Однако второй способ эквивалентен первому. При нем преобразование (9.26) рассматривается как изменение направления осей координат: правая декартова система координат переходит в левую.
Это показано на рисунке 9.2. Предположим, что состояние физической системы не изменяется при инверсии. Пусть до преобразования она описывалась волновой функцией ф(г), Волновая функция г(г'), описывающая систему после преобразования, должна удовлетворять равенству ф (г)=! (г')=~ ( — г). (9.27) Введем оператор, изменяющий вид функции при изменении знака у координат, и назовем его оператором инверсии: Рф (г) = !' (г) Согласно равенству (9.27) имеем Рф (г) = ! (г) = ф ( — г).
(9.28) Если оператор Р коммугирует с гамильтонианом, то существует цп закон сохранения некоторой физической величины, которая получила название четность. Для указанной коммутации оператор Гамильтона системы должен быть инвариантным относительно инверсии координат, а это его свойство вытекает из предположения, что состояние физической системы не изменяется при инверсии. Для определения допустимых значений четности запишем уравнение для собственных функций и собственных значений оператора инверсии: Р2р(г) = ргр (г) (9.29) Применяя оператор Р к обеим частям соотношения (9.29), получим (9.30) Но согласно определению оператора инверсии (9.28) последовательное применение его к любой функции дважды даст исходную функцию: Р (Р~р (т))= Ргр ( — г) = ф (т).
(9.31) Сравнивая уравнения (9.30) и (9.31), находим, что р'=1, а р= = ~1 — собственные значения оператора инверсии: +1 и — 1. Эти два числа и принимаются за значения новой физической величины — четности состояния микрочастицы или системы микро- частиц. Если функция состояния не изменяется при инверсии осей, то состояние четное, а четность равна +1; если изменяет знак — нечетное, четность — 1. В отличие от аддитивных сохраняющихся величин, рассмотренных ранее, четность — величина мультипликативная, т. е.
четность системы равна произведению четностей ее частей. Это становится понятным, если, забегая вперед, сообщить, что функция состояния системы невзаимодействующих частиц равна произведению одно- частичных функций: ф (ХЬ К2) =2Г! (Х~) ф2 (Х2). Если Р и Й коммутируют, то существуют состояния с определенной энергией и определенной чегностью. В качестве примера укажем на найденные ранее состояния гармонического осциллятора и частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками: четность стационарных состояний имеет определенное, не изменяющееся во времени значение — плюс или минус единица.
Все гамильтонианы электромагнитных взаимодействий не изменяются при пространственной инверсии, поэтому справедлив закон сохранения четности замкнутой системы при электромагнитных взаимодействиях в ней. Мы рассмотрели четность состояния микрочастип, обусловленную пространственным движением, описываемым волновой функцией. Однако результаты анализа многочисленных экспериментов— реакций с элементарными частицами — на основании закона сохранения четности заставляют приписывать элементарным частицам собственные (внутренние) ' значения четности„не связанные с движением частиц в пространстве. Так, например, электронам, нейтронам, протонам следует приписать внутреннюю четность +1, а пи-мезонам и позитронам — четность — !.
Фотоны же могут иметь ту и другую четность. В классической физике понятие о четности состояния не рассматривается в связи с тем, что изменение направления осей координат не приводит в силу применяемого там способа описания движений и взаимодействий к новой сохраняющейся величине. В квантовой механике понятие о четности возникает в связи с описанием состояния с помощью ф-функции, а закон сохранения четности наряду с законами сохранения энергии, импульса, момента импульса оказывается связанным с фундаментальными свойствами пространства, Рассматривая условный выбор либо «правой», либо «левой» систем, нет никаких оснований ожидать, что от этого выбора могут зависеть свойства изучаемых физических объектов — замкнутых систем микрочастиц.
Однако возможен и другой взгляд на преобразования инверсии: можно предположить, что существуют два вида пространства — «правое» и «левое», не эквивалентные друг другу; связь между ними отражена в формулах инверсии осей координат. В таком случае гамильтонианы необязательно коммутируют с оператором инверсии и четность может не сохраняться. В 1956 г, было обнаружено, что процессы распада ядер и элементарных частиц, происходящие за счет слабого взаимодействия, происходят с нарушением закона сохранения четности. В настоящее время экспериментально подтверждено, что четность сохраняется в электромагнитных и сильных взаимодействиях и не сохраняется в слабых.
Но до сих яор не вполне ясно, обусловлено ли нарушение закона сохранения четности только фундаментальными свойствами пространства и времени или связано с другими причинами. Методические указания и рекомендации !. В третьей главе объединены, по сушеству, два различных вопроса: математический аппарат и обшие теоремы квантовой механики, изложенные на его основе. По теории операторов кратко сообщаются самые необходимые сведения. Их можно при желании расширить, пользуясь литературой (например, [3], [5], [1!] ). Важную роль играют аксиомы или постулаты квантовой механики, так как они устанавливают соответствие между идеальными математическими и реальными физическими объектами — функциями и операторами, с одной стороны, и системами микрочастиц, измеримыми величинами, физическими явлениями — с другой.
Необходимо подчеркнуть модельный характер применяемых для математического описания реальных систем функций состояния, операторов величин и разобрать отображение реальных объектов на математические. Непосредственная связь физической величины с числовым !оз множеством значений ее в классической физике нередко приводит к отождествлению физического свойства с количественной характеристикой. Отсутствие прямой связи между числом и величиной в квантовой механике может быть понято только при углублении общего понятия о физической величине. Операторы координаты и импульса постулированы.
Это сделано с целью упрощения и придания важному материалу необходимой для первоначального изучения вопроса компактности. Однако обращаем внимание лектора и читателя на возможное обоснование выбора этих операторов, связанное с толкованием ф-функции и определением среднего (см. пример 8.9). Следует иметь в виду, что в главе не помещены все сведения по математическому аппарату, нужному для изучения программного материала: изложение стало бы слишком тяжеловесным и оторванным от физического содержания. Поэтому некоторые математические вопросы рассматриваются далее в курсе по мере необходимости, а в третьей главе аппарат применяется для изучения законов изменения и сохранения величин с течением времени. Помимо прикладного предназначения математические вопросы весьма содержательны в познавательном отношении.
Установить возможно полнее связь классической механики с квантовой — значит прояснить много трудных мест квантовой механики, углубить понимание исходных принципов всей физики. Законы сохранении изложены в связи со свойствами пространства и времени. Такой подход (углубленный уровень) осуществлялся в рамках лагранжева формализма в классической механике (см.
ч. 1, $23). В квантовой механике с помощью операторов изложение особенно лаконично. Однако и здесь $9, пп. 5 и 6 относятся к углубленному уровню. 11. При изучении материала рекомендуется иллюстрировать теоретические положения примерами, опираясь на конкретный материал второй главы (некоторые примеры даны в тексте). Студентам полезно самим составлять примеры. Для успешного усвоения материала надо выполнить и упражнение к главе. Полезно проконтролировать усвоение в поиске ответов на следующие вопросы: — Дайте определение ортонормированной системы функций.
Определите 6-функцию и назовите ее основные свойства. Укажите правило вычисления коэффициентов Фурье. Дайте определение оператора, линейности операторов, самосопряженности. Приведите примеры сложения и умножения операторов. Запишите операторное уравнение для собственных функций и назовите все входящие в него математические символы, Дайте определение собственной функции оператора, собственного значения. Приведите примеры собственных функций и собственных значений. Сформулируйте (и выпишите вместе) постулаты, связывающие математический аппарат квантовой механики с физическими объектами. Обсудите физический смысл ситуации, при которой величина не имеет определенного значения. Дайте математическое описание этой ситуации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
