Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Решение радиального уравнения. Запишем радиальное уравнение (10.16) с кулоновским потенциалом (11.1): 1, + — + ф [ Е+ — ' — — 02( — +; — ~ ~ И = 0 (1! .2) Для упрощения уравнения перейдем к безразмерной переменной Г ау р= —, где а= —, — постоянная, называемая боровским радиусом. И хне' Расчет дает на основании известных констант Ь, )х, я, е следующее ее значение: а=0,52 10 " см 0,5 А. Эта величина определяет порядок расстояний в атоме.
Введем также обозначения: рядка, причем коэффициенты при — и гг в нем — функции р. Ревл ня шение таких уравнений с переменными коэффициентами — довольно сложная математическая задача, разрешаемая с помощью метода степенных рядов. Приведем сначала результаты решения (ниже оно прослежено в основных чертах). Уравнение (11.4) имеет удовлетворяющие необходимому условию квадратичной интегрируемой функции состояния решения, если выполняется равенство (11.6) Из формулы (11.5) с учетом (1!.6) и обозначения р в формуле (11.3) следует формула энергии: (11.7) Энергия стационарных состояний квантуется главным квантовым числом и.
Оно же входит и в функции стационарных состояний через радиальный множитель — решение уравнения (11.4). Мы записываем его, возврашаясь к исходной переменной г: Здесь /. — полиномы переменной величины —, вычисляюшиеся 2г ла по полиномообразуюшей формуле: если — =х, то 2г ла (11.9) (они называются полиномами Лагерра). Функции Я„~ нормированы на единицу условием $ Р„'г "д.= !. (! 1.10) Приведем в качестве примеров радиальные волновые функции для основного и ближайших к нему возбужденных состояний: г / г ! 2а"' Чб (1!.! 1) ы7 и,+!+! = —, р' (11.5) где п,=0, 1, 2,... носит название радиального квантового числа.
Обычно вводится главное квантовое число и соотношением п=п,+1+1, откуда с учетом значений ! видно, что п=!,2, 3, Это асимптотическое уравнение имеет решение, обращающееся в нуль на бесконечностии; )7=е Далее оно будет приннто во внимание прн поисках вида решения уравнения (1!.4).
Надо также исключить возможную сннгулярность — бесконечно большое значение )7(р) прн р О. Если р-ьо, то уравнение (11.4) может быть записано приближенно: г(~)7 10+1) -„— )7=0. р Р Это асимптотическое уравнение имеет два решения: )7 =р' "" ", )7 =р', (11.12] причем первое следует отбросить, так как прн р 0 Р~ со Итак, аснмптотика решения уравнения (1!.4) определнется найденными функциямн. Основываясь на этом, ищем функцию Р (р) в виде !7 (р)=е ~р'! (р), где ! (р) — новая неизвестная функции. Подстановка предполагаемого решения (11.!3) в уравнение (11.4) приводит к следующему в нашей цепи уравнению для неизвестной функции ) (р); .( 2(! ! 1 — Ор) — +2(! — й — РВ(=0 пг) б! ор с(р (11 14) Сделаем замену переменных в уравнении (! 1.14), упрощающую его: х=ййр Получается х — +(21+2 — х) — +( — — ! — 1) )=О.
г) т) г() l ! г(хт (й (! 1.15) Это уравнение н решаем по методу степенного ряда, т. е. ищем решение в виде ! (х)=Х Ь,хь (11.!6) Подставляя ряд (11.!6) в уравнение (! 1.!5), имеем Х )(! — 1) З, х! '+Х(5,»' '(21+2 — х)+Х йх'( — ! — 1)=0. /1 ! , '(й (!1.17) Чтобы ряд (11.16) был решением уравнения (11.15), необходимо выполнение равенства (1!.17) при всех значениях х, т. е. обращение его в тождество.
А последнее возможно, если сумма коэффициентов при любой степени переменной будет равна пулю. Выпишем все слагаемые в левой части равенства (11.17), содержащие х' 1!8 Можно показать, что радиальные функции имеют и — ! — 1 уз- ЛО — ПЕРЕСЕЧЕНИЙ С ОСЬЮ Г В ИитЕРВаЛЕ (О, оо). Проследим эа прннципиальнымн этапамн решений радиального уравнения. Прежде чем искать функцию йг(р) в виде степенного ряда, обеспечим достаточно «хорошее» поведение решения при р оо: нужно, чтобы )7(р) стремилось к нулю. Если р-~-со, то уравнение (11.4) аснмптотическа стремится к виду с(с)7 —,— 6'р=о.
Ыр' (1 =0, 1, 2, ...). В первой сумме это слагаемые с ! й й+ 1, во второй — с сомножителем (2!+2) — также с !й й+1, все остальные члены берем с )=йп х" [(й+1) ЬЬэе +2(!+1)(й+1) Ь,е, — ЬЬ~+( — — ! — 1) Ь, 1=0. !'1 (,8 Отсюда вытекает условие, которому должны удовлетворять коэффициенты ряда (!!.16): ! л+!+! —— (11. 18) * ' (4+1)(й+2!+2) Итак, решение уравнения (! 1.5) найдено: это бесконечный степенной ряд, коэффициенты которого вычисляются по рекуррентной формуле (11.18), а Ьс берется произвольно н играет роль постоянной интегрирования. Но анализ показывает, что ряд (11.1б) с коэффициентами (11.18) при х сь расходится, и притом настольно быстро, что функция )1(г), задаваемая соотношением (! 1.13), тоже обращается в бесконечность. Поэтому решение в виде бесконечного степенного ряда не удовлетворяет физическим условиям — функция состояния электрона должна быть всюду ограниченной и затухающей на бесконечности.
Решения, удовлетворяющие требованиям ограниченности, можно получить из бесконечного ряда: часть его (полипом некоторой степени л,) также является решением уравнения (!1.4), так как его коэффициенты удовлетворяют рекурреитной формуле. Поэтому обрываем ряд на члене Ь„х"', т. е. Ьм~О, а все последующие коэффициенты: Ьт=О.
С помощью формулы (11.18) имеем условие обрыва ряда: л,+!+1= —, 1 8' (!1.19) где л,=О, 1, 2, ... носит название радиального квантового числа. Далее, как об этом уже говорилось, формула (!!.!9) приводит к квантованию энергии. Здесь же покажем, как вычисляются искомые полиномы. Рекуррентная формула с учетом условия (1!.19) приобретает внд *" (й+!) (й+2!+2) (11.20) Здесь Ь вЂ” текущий индекс рассчитываемого коэффициента, а л, — индекс (и степень) старшего члена. Задаваясь произвольным значением коэффициента Ьь для каждого л, находим все коэффициенты Ьь Записываем полипом: Ьа+Ь~х+Ьзх'+...+Ь„хл =(.,', (х). Он определяется двумя параметрами.
л, н !. Но есть и другой путь. Если подставить значение 8, найденное из условия обрыва ряда (1!.19), выраженное через главное квантовое число ! — =л в уравнение (1!.!5), то получим уравнение х — г+ (2!+2 — х) — +(л — ! — 1) )=0 цт! г(! лх с(х Оно может быть сведено к известному в математике уравнению Лагерра, а решение его — полнномы Лагерра (.,"ч.р(х) — определяется сравнительно простой в использовании для вычислений полнномообраэующей формулой (11.9), приведенной выше. Понятно, что они с точностью до постоянного множителя совпадают с ранее рассмотренным (.'„г (Множитель значения для иас не имеет, так как функции будут нормироваться.) Для получения окончательного результата — решения радиального уравнення— 119 надо перейти к первоначальной переменной г с помощью использованных подстановок: г к=2йр и р= —.
Отсюда с учетом формул (1!.19) и (!1.6) а 2г а=в па Теперь, предусматрнваи в решении (!1.!3) исходного радиального уравнении (11Л) нормировочный множитель М !, имеем окончательно Эта формула и приведена ранее — (11.8) — с вычисленным нормировочным множителем. Радиальное уравнение решено. 11.3. Итоги решения задачи об атоме водорода. Задача об атоме водорода выше решена в общем виде. На основе полученных результатов можно детально описать стационарные состояния электрона. Они определяются тройкой квантовых чисел и, ! и т. Квантовые числа позволяют рассчитать для каждого состояния значения трех физических величин, имеющих одновременно определенные значения. Это энергия, момент импульса и его проекция: Ел = — )т!у —,, (.
= Ь -т,)) (! + 1), й, = т й. Согласно формуле (11.6) п=п,+1+1, т. е. и)1+1. Поэтому при заданном главном квантовом числе орбитальное квантовое число пробегает п разных значений от 0 до и — 1. При фиксированных л и ! может быть 21+1 состояний, отличающихся значениями магнитного квантового числа. Нам потребуется в дальнейшем знать количество состояний с одним и тем же и, но различными ! и т. Оно определяется суммированием состояний с различными т по всем значениям 1: л — ! Х (21+ !)=1+3+ ..+[2(п — 1)+1). г=о Используя формулу суммы арифметической прогрессии, имеем л — ! Такова кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме водорода, так как все эти состояния имеют одну и ту же энергию.
Имеется и все необходимое, чтобы записать полную функцию состояния атома водорода — радиальный и угловой ее сомножители известны и определяются формулами (11.8) и (10.8). Итак, (г, О, ср)=Ял1(г) у! (8, гр), (11.21) 120 Согласно выражениям (10.10) и (11.10) функции состояния (г, О, ~р) нормированы условием я Ст 5 1 1 ~ф~"' !.Ы.10( =!.
о о а 11.4. Водородоподобиые системы. Водородоподобными называются все системы, состоящие из двух противоположно заряженных частиц, связанных электростатическим взаимодействием. К иим относятся одноэлектронные ионы всех атомов, позитроиий (система из электрона и позитрона), антиатомы, состоящие из антипротонов и позитрона, мюоний (протон и мюон) и т. д. Так же как и для водорода, относительное движение частиц сводится к движению одной частицы с массой, равной приведенной массе системы р, в центрально-симметричном кулоновском поле неподвижного притягивающего центра. Потенциальная энергия частицы задается выражением Г Запишем радиальное уравнение (!О.!6) для водородоподобной системы: а'~~+ 2 Ы+Ж~Е+,~ ' х'1(1:г1)] й 0 (! ! 22) Оно только значениями постоянных отличается от аналогичного урав- нения для атома водорода. Если ввести обозначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
