Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Такие элементарные частицы, как электрон, по современным данным считают бесструктурными н точечными, а поэтому их спиновые свойства не могут иметь наглядного толкования. Появление спина у элементарной частицы — квантово-релятивистский эффект того же плана, как энергия покоя. Спин такой же неотъемлемый атрибут частицы, как ее масса или заряд. Однако в отличие от массы или заряда понятие о спине является чисто квантовым и не имеет каких-либо классических аналогов.
При переходе в классическую область спин исчезаег уже потому, что модуль вектора 5 по порядку величины равен Ь, а в классической области следует положить Ь=О. (Орбитальный момент импульса Š— (Ь. В классическом пределе Ь- О, а (- о, поэтому произведение РЬ остается конечным.) Поэтому попытки свести спин электрона к каким-то собственным его вращениям оказались бесплодными. В настоящее время твердо установлено наличие спина не только у электронов, но и у большинства других элементарных частиц. Величина спина и связанное с ней число различных ориентировок по отношению к некоторой оси могут быть различными.
13.2. Математическое описание спина электрона. В квантовую теорию динамические переменные входит через соответствующие им операторы. Для описания спина используются оператор спина 5 и операторы его проекций 5„, 5„и 5,. Даже не рассматривая явный вид указанных операторов, можно многое узнать о спине из правил их коммутации. Для спинового момента, как и для орбитального момента импульса, выполняются соотношения [5„5,)=си" А, 54=гЬ5., (5., 5.1= И„. (133) Поэтому не существует состояний с определенным (по модулю и направлению в пространстве) вектором спина. Из соотношений (13.!) следует, что коммутируют операторы 55 и 5,. Следовательно, возможны состояния с заданной величиной модуля спина и его проекции на одну ось — Ог. Из правил коммутации вытекают также условия квантования: 5=Ь |Из(з+!), (13.2) 5,=Ьггг„т,=з, з — 1, ..., — з, (13.3) где з — спиновое квантовое число; т, — квантовое число проекции спина.
!32 Между значением спинового числа з и числом проекций спина существуег то же соотношение, что и для орбитального момента: т, принимает 2з+1 значение. Но нз опытов Штерна и Герлаха известно, что число проекций равно двум, т. е. 2з+1=2, откуда для электрона (13.4) а квантовое число т. принимает только два значения: ! ! ПВ~ = —, 2* 2 Итак, для электрона спнновый механический момент в соответствии с выражениями (13.2) и (13.4) выражается формулой з=дф (13.5) а проекция его на ось Ог: (13.6) что соответствует в рамках векторной модели двум возможным ориентациям вектора спина. При гл,= — условно говорят, что спин на! 2 ! правлен по оси Оз, вверх, а прн т.= — — — против оси Оз, вниз 2 (рис. 13.1).
Для нахождения магнитного момента электрона следует считать, что связь между операторами механического и магнитного моментов общая для орбитального движения и спина: ~Б ~ь М 3 зЯ (М) 3 ьс ь * '' в (13.7) Отсюда для проекции спинового магнитного момента электрона имеем формулу еа (13.8) 2и (Теоретическое значение магнитного момента электрона, рассчитанное в квантовой электродинамнке и подтвержденное экспериментом, таково: (М,),= ~1,001!6М .) Спин, как говорилось выше, присущ не только электронам, но н другим микрочастицам — ядрам, элементарным частицам.
Специфическая особенность спина состоит в том, что спиновое число !зз з для разных мнкрочастнц принимает как целые, так и полуцелые значения: э=О,—, 1,—, з 2' ' 2' Частицы с полуцелым спином — з= —, —, — н т. д.— объединяютз з 2' 2' 2 ся в один класс и называются фермионами. Частицы с целым спином — э=О, 1, 2, ...— относятся к бозонам.
(Как правило, спнновое число невелико по сравнению с единицей.) Как для целых, так и для полуцелых значений з квантовое число проекции спина п4 изменяется от з до — з с шагом, равным 1. Для всех микрочастиц справедливы формулы (13.2), (13.3), выражающие механический спиновый момент через спиновые квантовые числа. Что же касается магнитного момента, то гиромагнитные отношения других частиц могут быть иными, нежели для электрона, а магнетон при этом зависит от массы частицы. Квантовое число проекции спина т, должно включаться в набор квантовых чисел, задающих состояние электрона.
Так, при движении частицы- в центрально-симметричном поле для волновых функций прн учете спина следует использовать выражение ф~ (г, й, с~)=й„у(г) у! (е', ~р) (у (13. 9) где (у — так называемая спиновая функция, внд которой прн элементарном рассмотрении ряда важных вопросов может оставаться нераскрытым (см.
$13, п. 3). Функция (13.9) описывает квантовое состояние электрона с определенной энергией Е, орбитальным моментом импульса Е; его проекцией Е, н проекцией спина 5, (н, конечно, с определенным спином 5). Этн величины образуют полный набор для электрона в атоме водорода. Поэтому задание квантовых чисел л, 1, лт и гп,- полностью определяет квантовое состояние электрона в атоме. Энергия атома водорода в приближении, когда не учитывается магнитное взаимодействие, от спина не зависит.
Поэтому уровни энергии, задаваемые формулой (11.7), имеют дополнительное вырождение по ориентации спина. уточняется н число различных состояний атома прн заданном и ($ 11, п. 3). Конкретному значению энергии Е„ соответствует 2п' различных квантовых состояний электрона, отличающихся квантовыми числами 1, т и лт, При заданных и и 1 имеется 2 (21+1) состояний с различными т и т,. Подводя общий итог решению водородной задачи, можно заметить, что атом водорода уже рассматривался в полуклассическойполуквантовой теории Бора. Но с помощью последовательной теории, основанной на уравнении Шредингера, мы получили более глубокую н исчерпывающую информацию о строении и свойствах атома.
!34 оэ=( ), о„=(0 ), о„=(, ), о,=( ) . (13.10) Спиновые операторы связаны с матрицами (!3.10) соотногпениями д - ь 5 = — о = — (о,у+ о„! + о,й), 2 2 А Д й " ЗЬ' 5.= — и, 5 = — и, 5,= — а„5 = — оэ. э= * г 2 т' 2 (13.11) Нетрудно убедиться, что для операторов (13.11) справедливы формулы (13.! ) вместе со всеми вытекающими из них следствиями (13.2) ... (13.6).
Спиновые функции — это математические выражения, описывающие спиновое состояние электрона Их физический смысл и свойства определнются, с одной стороны, общими положениями квантовой механики о функцних состояния. С другой стороны, они не могут быть обычными функциями от координат частицы, так как спин не связан с движением частиц в пространстве. Спиновые операторы задаются через матрицы. Поэтому и спиновые функции также представляются в виде матриц. В более полных (нежели нащ) курсах ( (3), [21) и др.) в теории представлений пона- зано, что матричное представление операторов и функции состояния, в сущности, не является чем-то особенным, наоборот, такой математичесний аппарат удобен для описания многих квантовых систем.
При общем подходе спин не выделяется среди других величин. Но сейчас придется о спиновых функциях говорить отдельно. Разъясним только те стороны описания спина, с которыми встретимся в курсе ниже. Сливовая функция и — матрица-столбец: и=( ), где с| и ст — некоторые комплексные числа. Действие операторов (! 3.10) на такую функцию производится по правилу умножения матриц. В частности, имеем "=Т(")(:,') = — '"'(:,') Таким образом, любая спиновая функция есть собственная функция оператора 5', зй' принадлежащая единственному собственному значению — . Уравнение 4 5,и=5,и в матричной форме имеет вид Ф(~ ~Н,)='(:,') Перемножая матрицы, получаем Отсюда видно, что в общем случае спиновая функция не является собственной для 5, Спиновая функция !35 Существенно, что часть положений Бора подтвердилась: о стационарных состояниях, об уровнях энергии и их квантовании.
Однако теперь это не постулированные положения, а выводы квантовой механики, результаты решения одной из ее задач. 1З.З. Спиновые операторы н функции. До сих пор явный вид оператора спина ке использовался. В соответствии с двумя значениями проекции спина на ось Ог, операторы спина могут быть выражены через матрицы Паули: Ь оппсываег состояпне с 5,= —, а фупкцня 2 ' =(.',) д — состояние с 5,= — —. 2 ' Введем функцию и~, эрмптово сопряженную с функцней и. Это матрнца-строка: и ~ =(с~с,). Спнповые функции пормнруются условием и+и=1, (13.12) плн (с,сгт) = !с~(' + !ст! = !. (ст) Нормнрованные спнновые функцнп, описывающие состоянне с положительной н отрицательной ориентациями спина, обозначим через и(лг.): и( — )=( ),и( — — )=( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
