Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому проекция магнитного момента на ось Оз определяется как сумма г)Мг гейш г Г 1 гцР 2р Поскольку интегрирование охватывает все пространство, то интеграл для нормированной волновой функции равен 1 и ейш М= — —. 2Р Магнитный момент оказывается пропорциональным механическому моменту: е М= — — й 2Р в соответствии с классической формулой, приведенной в начале задачи.
Учитывая результаты предыдущего примера, следует ожидать, что решение не является исчерпывающим: магнитный момент не направлен по оси Ох. Недостатки решения проистекают ог применения классической модели непрерывно распределенного в пространстве заряда. (Последовательное квантово-механическое решение вопроса о магнитном моменте движущегося электрона дано в следующем пункте.) 12.3. Орбитальный магнитный момент электрона. Установим вид оператора магнитного момента движущейся заряженной микрочастицы, опираясь на принцип соответствия. Для этого воспользуемся известным из классической электродинамики выражением для маг- 127 нитного момента движущейся по круговой траектории частицы с за- рядом — е и массой рс М е 2и (12.5) (Существенно, что эта формула оказывается справедливой и для распределенного в пространстве электрического заряда электронного облака — см. пример 12.2.) Оператор магнитного момента получим из формулы (12.5), заменяя вектор Е оператором момента импульса: М= — — 'Е.
(12.6) 2и Здесь коэффициент ~ носит название гиромагяитного отношения, 2и А с этот параметр имеет размерность— кг Операторы М и Е отличаются только постоянным для определенного сорта частиц множителем. Поэтому все, что сказано в $10, п. 1 о моменте импульса в квантовой механике, относится и к магнитному моменту. Собственные значения соответствующих операторов М' и г.', М, и К, пропорциональны друг другу, а собственные функции совпадают.
Собственные значения магнитного момента определяются формулами еа г! (!+1) 2и е 2и (12.7) (12.8) М = ~~ =0,927 ° !О ы А.м' а (12.9) носит название магнегона Бора. Обычно орбитальные магнитные моменты электрона и других микрочастиц, а также собственные их магнитные моменты (см. ниже) выражают в магнетонах. Так, формулы (12 7) и (!2.8) для электрона приобретают вид М=м,-д(!+1), М,= — М,~. Поэтому целесообразно ввести магнетон Бора в формулу опера- тора магнитного момента электрона (12.6).
Вводя М, и безраз- мерный числовой множитель д, в формулу (!2.6), имеем МБ М=д,— (., Ь )28 Из последних формул, в частности, видно, что существует своеобразный квант магнитного момента — наименьшее отличное от нуля значение проекции момента на выделенное в пространстве направление, Лля электрона эта величина: где через и, обозначено орбитальное гнромагнитное отношение.
Для электрона д,= — 1, для позитрона дг=1. Если имеем дело не с электронами, а с другими заряженными частицами, например протонами, то масса их больше электронной и магнетон получает иное числовое значение. Часто встречающиеся и физике ядра н элементарных частиц ядерный магнетон: 2 (12.! О) 2ю (где !з, — масса протона) — на три порядка меньше магнетона Бора. Итак, в основном за счет магнитных моментов электронов атомы водорода обладают в стационарных состояниях определенными днпольными магнитными моментами. Магнитные моменты многоэлектронных атомов складываются из магнитных моментов отдельных электронов (с учетом спина).
Магнитные свойства вещества определяются в основном магнитными свойствами входяших в его состав электронов (об этом подробнее говорится в $20). 12.4. Спектр водорода. Линейчатые спектры испускания (и поглощения) атомов содержат богатую информацию о строении их электронных оболочек.
В спектроскопии еще до развития квантовой теории был накоплен обширнейший материал по спектрам атомов, причем точность спектроскопических измерений и тогда уже была велика. В настоящее время она еще повысилась, так что экспериментальные данные по спектрам служат надежным критерием правильности ряда теоретических положений и выводов квантовой теории. Значения уровней энергии атома водорода зависят от главного квантового числа п. Линии спектра соответствуют переходам с излучением и поглощением квантов электромагнитного поля, энергия которых равна разности энергий начального и конечного состояний.
В соответствии с (11.7) частоты спектральных линий теоретически определяются формулой лу 7 ! — — — — (пз = п2), 2ла (, уз лз! находящейся в полном' соответствии с экспериментальными данными о спектре водорода. Вся совокупность спектральных линий делится на серии, отличающиеся значениями нь При п1= 1 получаем серию Лаймана. Частоты линий в серии даются формулой = — (1 — — ), а=2, 3, лу ! 2' Наименьшую частоту имеет головная линия (.„(Лайман-альфа): злу Зза— ай ' По мере роста и частота увеличивается, при этом линии сближа- 5 Заказ 8М !29 ются.
При больших и фактически все линии сливаются с пределом серии, который соответствует частоте: т — Х и ххах 2лв ' Из опыта известно, что к пределу серии примыкает участок непрерывного спектра. Линии серии Лаймана лежат в ультрафиолетовом диапазоне шкалы электромагнитных волн. Рассмотрим, каким квантовым переходам отвечает серия Лаймана. Как будет показано далее, разрешены не все переходы между стационарными квантовыми состояниями. Ограничений на изменение главного квантового числа нег: разность Ли = из — и, может быть любой. В отношении орбитального квантового числа действуег запрет на любые переходы, кроме тех, для которых Ы=1~ — 1,= ~1. Магнитное квантовое число должно оставаться прежним или изменяться только на единицу: Ьт=т2 — т,=О, ~!.
Все состояния делятся на группы, которые называются термами. Терм объединяет состояния со сходными свойствами. Для водорода в соответствии с указанными выше правилами отбора в термы включают состояния с одним и тем же 1. Соответственно говорят о з-, р-, 41-термах и т. д. Переходы возможны только между соседними термами. Квантовые состояния электрона обозначаются символом, состоящим из числа, равного и, и буквы, обозначающей значение например !з, 341, 2р.
Если атомы не находятся в магнитном поле, то уровни энергии вырождены по квантовому числу т, и поэтому оно существенной роли в спектроскопии не имеет и в обозначении состояний обычно опускается. Расположение самых нижних по энергии квантовых состояний атома водорода иллюстрируется диаграммой ! 2.7. Диаграмма очень наглядно показывает, каким квантовым переходам соответствуют те или иные линии в спектре. Серия Лаймана образуется переходами ир — 1з. Другая серия — серия Бальмера— описывается формулой т= — ! — — —,!, и=З, 4, ~у г ! 2ллх,4 и')' Ей отвечают переходы из — 2р, ир — 2з и М вЂ” 2р.
Понятно, что спектры водородоподобных систем обнаруживают сернальные закономерности, характерные для водорода; они подчиняются формуле Частоты здесь отличаются от водородных, так как при расчете постоянной 1гу' используются значения иной, нежели у водорода, приведенной массы р и заряда ядра У 1см. $11, п. 4). $13.
СПИН ЭЛЕКТРОНА 13.1. Гипотеза о спине электрона. Многочисленные экспериментальные данные показывают, что магнитный момент атомов не сводится к одним орбитальным магнитным моментам электронов. Необходимо допустить существование собственного момента импульса электрона — спина — и пропорционального ему собственного магнитного момента. (Далее будем применять обозначения 5 и Мз,) Уже при изучении атома водорода и водородоподобных систем необходимо учесть взаимодействие между орбитальными и спиновыми магнитными моментами, а для многоэлектронных атомов роль этих взаимодействий очень существенна.
Энергия спин-орбитального взаимодействия невелика, и поэтому оно не изменяет общей картины найденных ранее уровней энергии. Небольшие поправки к значениям энергии, возникающие при учете магнитных взаимодействий, зависят от взаимной ориентации магнитных моментов. Если последняя осуществляется несколькими способами, то каждый уровень для состоя. ний с 1~0 распадаегся на соответствующее число близких подуровней.
Это приводит к расщеплению спектральных линий на несколько компонент. Опыт показывает, что линии серии Лаймана (и аналогичных серий водородоподобных систем: иона Не+, щелочных атомов и др.) распадаются на пары-дублеты, что приводит к выводу о двояко ориентирующемся спиновом магнитном моменте. В связи с изучением тонкой структуры спектров Уленбек и Гаудсмит выдвинули в 1925 г. гипотезу о существовании у электрона собственного механического и магнитного момента — спина.
Наличие спина подтверждается также результатами известных опытов Штерна и Герлаха (!922). Если пропустить через неоднородное магнитное поле пучок атомов водорода, находящихся в основном (!э) состоянии, то он разделяется на два пучка. Поскольку в состоянии ! э орбитальный момент равен нулю, то весь магнитный момент атома сводится к спиновому магнитному моменту электрона. (Магнитный спиновый момент протона и других ядер много меньше электронного и не сказывается на результатах эксперимента. Ради точности заметим, что первые опыты Штерна и Герлаха проводились с серебром. В атомах серебра не скомпенсирован спин последнего, оптического, электрона, который находился в з-состоянии.) Эксперименты доказывают, таким образом, и существование спина, и его способность к двойной ориентации по отношению к направлению внешнего магнитного поля.
Измерения в опытах Штерна и Герлаха позволили найти величину проекции спинового магнитного момента. Она оказалась равной магнетону Бора. В других наблюдениях (например, опыты Эйнштейна и де Гааза, которые мы здесь не описываем) было установлено, что гиромагнитное отношение для спина вдвое больше, чем орбитальное (см. $ !2, п. 3).
Спиновое безразмерное гиромагнитное отношение для электрона равно — 2. Наличие спина не связано с каким-нибудь движением частицы в пространстве. Поэтому о спине нельзя получить сведений из урав- !з! пения Шредингера, которое пригодно, строго говоря, для описания только бесспиновых частиц. В настоящее время как сам спин, так н все его характеристики могут быть получены теоретически иэ релятивистского квантового уравнения Дарана (см. 1 26) . Но в рамках иерелятивистской квантовой мехаимки представление о спине вводится как дополнительное полохгеине, поэтому в нашем курсе опора иа экспериментальные даняые необходима. Иногда электрон представляют для наглядности в виде шарика- волчка, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс. С принципиальной стороны эта модель является неверной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
