Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 24
Текст из файла (страница 24)
104 Объясните, что происходит при реальном измерении в таком случае. — Запишите операторы производных по времени для координаты, импульса при заданном Й и дайте трактовку соответствующих уравнений. Выведите теоремы Эренфеста и дайте качественный анализ их содержания. Назовите законы сохранения в квантовой механике и условия, в которых они выполняются.
Проанализируйте связь между законами сохранения и уравнением Шредингера, с одной стороны, симметриями пространства-времени — с другой. Найдите непосредственно по функциям состояния чегность состояний частицы в потенциальной яме и гармонического осциллятора. Рассчитайте четность кванта, испускаемого при переходе между соседними уровнями для ямы, для осциллятора. Упражнение Ш 1. Покажите, что оператор интегрирования является линейным. 2. Покажите, что сумма и произведение линейных операторов являются линейными операторами. 3. Покажите, что [(.„, Ец)=1И.„где ,„( з з) дз ду Е„= — 1а(г — х — ), Е,= — !й(х — у — ) . 4. Найдите квадрат оператора: А=х+ —.
кх Ответ: А =х+х — + —,+1. 2 2 з д ~ь лх' 5. Найдите собственные значения и собственные функции операд тора; 1„= — ( —, где р — угол вращения вокруг оси Ог. дч' У к а з а н и е. Однозначность собственных функций требует выполнения равенства 1(гр+2я)=) (гр). От в е т.
1.,=гпл, т =О, ~1, ~2, ..., )' = — е'"з. -~2л 6. Покажите для случая невырожденных собственных значений, что коммутирующие операторы имеют общие собственные функции. Р е ш е н и е. Дано АВ=ВА. Пусть Агр=а~р. (1) Требуется доказать, что В~р=й~р. Для доказательства умножим на оператор В обе стороны равенства (1): В (А~р)=В (агр). Используя коммутативность операторов и линейность оператора В, получаем А (Вгр)=а (В~р).
Сравнивая с (1), видим, что функции «р и В<р должны совпа- 105 дать с точностью до постоянного множителя. Отсюда Вф=бф, что н требовалось доказать. 7. Покажите, что сумма самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор. 8. Покажите, что произведение самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор, если операторы коммутируют. 9. Покажите, что система функций ф = — 'е'"", л=О, ~1, ~2, ~/2к является ортонормированной на интервале ( — и, я]. 1О. Покажите, что разложение в ряд по системе функций ф„ предыдущей задачи эквивалентно разложению в тригонометри- ческий ряд Фурье. 11. Разложите в ряд Фурье функцию (А, 0(х<п, 10, — <х<О по системе собственных функций задачи 9.
Вычислите сумму ряда в точках О, ~ —, ~л. 2 У к а з а н и е. Для вычисления суммы используйте разложение агс1пу=! — — У + У э ! а 3 з 0" ° . 1~*| — "+м х -' — "~-~.н- 2 в,=0 25+! 12. Покажите, что ~ ~~ (х) — Х С„ф„(х)!~дх=~ 1~)~Ох — Х ) С 1~, где ф„— ортонормированная система функций; сумма Х С,ф. (х)— и разложение в ряд функции 1(х). 3 а м е ч а н и е. Если ~ 1((х) — Х С„ф (х)~'дх=О, то говорят, что ряд Х С„ф„(х) сходится в среднем к функции 1(х).
Соотношение и ~ !~~хдх=Х !С,!' называется условием замкнутости системы функций ф„. Оно в рассматриваемых нами случаях эквивалентно условию полноты. 13. Нормируйте на б-функцню собственные функции оператора проекции импульса р„(см. выражение (8.2)). У к а з а н н е. Используйте формулу б (х) = — 1 ~'"дх. 2в З 14. Покажите, что система собственных функций оператора 1., является ортонормированной, а сам оператор — самосопряженным (см. задачи 5 н 9).
106 15. Система находится в состоянии, описываемом волновой функцией !р= — з!п !р, где !р — угол вращения вокруг оси Ог. Опре! ~л делите, с какой вероятностью измерение даст различные значения проекции момента импульса й, (см. задачу 5). ! От нет. (.,=тЬ, (г'„=0 при !пФ ~1, а )Р' 16. Пользуясь операторами координаты и импульса, определите среднее значение этих величин для осциллятора с функцией состояния (6.19). 17. Повторите вывод формулы (8.7), предполагая спектр оператора А непрерывным. 18. Объясните, почему невозможны состояния с определенным вектором момента импульса (см.
задачу 3). 19. Возможны ли состояния с определенным модулем момента импульса и его проекции на ось Ог? У к а з а н и е. Используйте данные задачи 3 к главе Ш и задачи 1! к главе 1Ч. 20. Запишите квантовое уравнение движения для гармонического осциллятора. 2 О т в е т. !пх = — о!!х. Возьмем теперь очевидное неравенство ~ ~ ахзр+Д-2~ дх)0, где а и 6 — любые действительные числа. Преобразуем подынтегральное выражение: ~ ахф+р-~~ = х 0*~+а()х — (Ч'!р)+Р -~ — 2. (2) !от 21. Запишите преобразование инверсии в сферических координ атах.
От в е т. г -~. г'=г, 0 — ~- 0'=и — О, ср — ~- (р'=ср+2л. 22. Выведите соотношения неопределенностей (4.8), используя основные положения квантовой механики. Р е ш е н и е. Будем характеризовать неопределенность в значении какой- либо величины а средним квадратичным отклонением: 6 1'! — Щ ~'У вЂ” (Щ . Найдем бх и бр„. Без ограничения общности можно положить х=О и Р=О. (Это достигается подходящим выбором системы отсчета.) Согласно формуле (8.7) х'=1 Ч*х'ф(' р'=$ ф*(р") ф( =-й'5 ф* —",2-(' Используя соотношение (2), представим неравенство (1) в виде Аа' — Вар+ СР') О, (3) где А =~ х2)ф~2 Дх=хт, В = — 1 х ~ (фф ) пх, Нх С=~ -т- — т йх Интегрируя по частям, получим В= — Ф*Ф! .
„+~ф*М =1, С = ф* -""- ~ — ~ ф' — Т- Нх — ~ ф' — ~- г(х = — ' р,'. Для выполнения неравенства (3) при любых а и р необходимо и достаточно, чтобы 4АС) В'. Отсюда бхбр„- — . 2 ГЛАВА 17. АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ Основная область применений квантовой механики — строение и свойства вещества на атомно-молекулярном уровне, происходящие там процессы, излучение и поглощение света. Поэтому центральная задача теории — задача об атоме вещества. Для простейшего атома — атома водорода — получается исчерпывающее решение.
Изучение его не только даст нам конкретную информацию о данном атоме, но и вооружит сведениями, нужными для изучения других, более сложных атомов. Но начать придется с дополнения сведений о математическом аппарате, нужном для исследования свойств атомов. $10. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 10.1. Свойства оператора момента импульса и его проекций. Одной из важнейших величин, характеризующих вращательное движение макроскопических тел, является момент импульса. Еще большее значение он приобретает в квантовой механике, особенно в физике атомов и молекул, где часто момент импульса отдельных частиц или систем имеет определенные значения наряду с энергией.
~пв Чтобы детально исследовать строение атомов, необходимо прежде познакомиться с квантовыми особенностями момента импульса. Напомним вид оператора этой физической величины: 1. = — !В [г т7 [. (!О.!) Запишем операторы проекций момента импульса на оси декартовых координат: В„= — й (у — г — ), д дт дг ду 1.р = — !В (г — — х — ), дх дг Г.,= — !В(х д — у д) . Можно показать, что операторы Е„, (.„и Е, удовлетворяют пере- становочным соотношениям: [!.„, У.у]=й1-г [1р !г[=!В~к, [)- У.к[=!В!у.
(!0.2) Так как они не коммутируют друг с другом, то не существует состояний с тремя определенными проекциями момента импульса (за исключением случая !.„=(р=(.,=0). Оператор квадрата момента импульса: (2 коммутирует с операторами проекций 1,„, Г„и 1, Это означает, что возможны состояния с определенным модулем момента импульса (с определенным значением величины !.') и какой-нибудь из его проекций. При изучении движения частицы в центральном поле целесообразно использовать сферические координаты г, 0 и ср. Перейдем в формулах для проекций момента к переменным г, 0 и ~р. Известно, что х=г яп и соз ~р, ур х яп 0 з!и в, гг г соз и В сферических координатах получаем (см. задачи ! „2, ! ! к главе !'р') дт й,= — й(з!и ~р — +с!а 0 соыр — ), да дч) * ! „= — й (соз ср — — с!и 0 яп гр — ), д .
дт дв дч) ' ( 10.3) Е,= — й — '. дч Поскольку ось Ог выбрана в качестве полярной оси, равноправие трех декартовых осей координат Ох, Оу и Ог при переходе к сфери- ческим координатам теряется: теперь некоторое направление в про- странстве выделено, и удобно рассматривать состояния с определен- ными значениями !.' и 1, 10.2.
Собственные значения н собственные функции операторов К' и К,. Коммутирующие операторы Р и Е, имеют общую систему !ее собственных функций. Для того чтобы найти эти функции, нужно решить уравнение (10.4) 12! ( ) Ььф( ) В сферических координатах Ь л зь (10.5) где д/ д1 | д' Л,= — — ~! Π— ~~+ —, ь!п8 да (, да ь!п'8 дч' Поэтому уравнение (10.4) сводится к дифференциальному уравнению в частных производных: (10.6) ь!п 8 дв (, дв) Мп'8 дзь Ь' хорошо известному в математике (см.
любой курс методов математической физики, раздел «Уравнение Лапласа в сферических координатах»). Оно имеет однозначные, непрерывные и всюду ограниченные решения при условии Ь'=й'! (!+!), 1=0, 1, 2, ..., (10.7) которым определяются собственные значения оператора квадрата момента импульса. Искомые решения уравнения (! 0.4) называются сферическими функциями. Сферическая функция индексов ! и т обозначается символом у|„.
Она имеет вид *г'! (О, |р) = Мо, Р! ' (соз О) е' ь, (10.8) где Р) '(соз О) — присоединенный полипом Лежандра от аргумента соз О. Приведем выражение для полиномов Лежандра х=соз О: | д!+ ьм |т! Р| ||(соз О)= — (1 — хь) ' (х' — 1)'. 2'П ! ч- ! ьп Если сферические функции нормированы условием ь Ьь ! ! ип! 3!и О о(О ь(т= 1, о о (10.9) (10.10) то нормировочный множитель в формуле (!0.8) таков: (! — ~я|~1 2|+ ! (|+ |пь!)! 4п ||8 (Произведение з!и ОыО|(гр есть элементарный телесный угол |1(ь. Следовательно, в интеграле (10.10) производится интегрирование по всем возможным направлениям в пределах полного телесного угла, равного 4я.) Функции с неодинаковыми индексами ! или т ортогональны друг другу: и 2и ~ ~ У,*,„,уь .3!и 02(0 46Р=бьь б,„г о о Выпишем несколько сферических функций: У„= —,- У,,= ~~ — (1-З О), !' 3 2 !/4~т У!о= 2(( — соз О, У2 = у — соз О 3!п Ое 3 13 +и У4 ' ' Уз У, ~!= (( — 3!и Ое е, У2 е2= 2! — яп Ое — 3 ее l!3 .
2 е2!е У Зн У 32н (10.11) Квантовое число!определяет модуль момента импульса. Состояния с небольшими значениями 1 часто обозначаются буквами латинского алфавита. Буквенное обозначенне Говорят, например, что частица находится в р-состоянии, или, другими словами, что ее момент импульса равен 1. Это означает, что 1=1 и й=й |'2. Состояния с заданным моментом импульса вырождены по квантовому числу л2. Физический смысл второго квантового числа раскрывается при решении задачи о собственных функциях и собственных значениях оператора проекции момента импульса Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
