Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть ф — волновая функция частицы. Чтобы рассчитать искомые вероятности, представим ее в виде ряда ф(х)=Х Слр;(х), где ~р; — собственные функции оператора А, имеющего дискретный спектр. Тогда вероятность получения а; есть %';= С~С;= ! ~ ~р,фйх!'. (8.5) В случае непрерывного спектра волновая функция разлагаегся в интеграл Фурье. Если р(а, х) — собственная функция, то ф (х)=$ С(а) гр(а, х) йа. Поскольку теперь имеется непрерывное множество значений величины А, то в строгом смысле слова нельзя говорить о вероятностях отдельных значений. Речь идет только об элементарной вероятности й)г'(а) попадания значения величины в интервал от а до а+да.
По формуле теории вероятностей имеем йФ'(а)=в (а) йа. Здесь плотность вероятности, или дифференциальная функция распределения вероятностей и(а), равна квадрату модуля коэффициента С(а): ы (а)=Се(а) С(а)=1~ ср*(а, х) ф(х) йх~'. Нетрудно заметить, что определенного значения у величины нет, если функция состояния не является собственной для оператора этой величины. Особый случай возникает, если волновая функция совпадаег с какой-нибудь собственной функцией оператора. Пусть А~у,=игр,.
Если ф(х)=гр, (х), то С;=1, а все С,,,=О. Тогда при измерении получается только одно значение а,. Следовательно, вз среднее значение достаточно большого числа измерений: а= — ' ! !! Для вычисления среднего значения физической величины на основе теории достаточно знать функцию состояния частицы. (Предполагается, что вид оператора этой величины известен.) Если а! — собственные значения оператора А и Ф! — вероятности нх обнаружения, то по теореме о среднем из теории вероятностей а=Х )г'!а,. ! (Для простоты рассматриваем случай дискретного спектра.) Используя формулу для расчета вероятностей (8.5), получаем а=1 а!С,*С!=Х а!С,~ !р; !р"Ях, ! ! поэтому а = 1 С; $ !рэ (акр!) Нх =Х С; $ !рР (АЧ!!) с(х. Учитывая линейность оператора А и равенство !р=Х С!р» получаем Х С! ~ !р* (Ач!!) с(х = ~ ф' (А Х С; <р!) !(х =~ ф'А!р!(х.
Итак, а=~ ф* (х) А!р (х) !(х. (8.7) Вычисление средних имеет важное значение при изучении микромира. Когда в рассматриваемом состоянии физическая величина не имеет определенного значения, среднее значение в какой-то мере характеризует состояние. Понятно, что если ф=<р!, то а=~ !р*(х) А!р (х) дх=а!~ !р,*<р! с(х=а,.
В заключение вопроса заметим следуюшее. В стационарном состоянии 1р(х, г)=гр(х) е Если оператор физической величины не содержит времени, то его собственные функции и собственные значения также не зависят от времени. Поэтому в стационарных состояниях распределение ве- 85 где !р — волновая функция частицы, а ч!, — собственные функции оператора А. Согласно (7.5) А <р;=а!<р„ г / Г2 ппх'т' а «=)гх тг — з|п — ~ хг(к= —, а =) ~ ')(' п о,т' илх / Л' г)' / 2 .
плх 'т и'Л'л' юп — ( — — т,г — з!п — ) ох= — т-, а (, 2т г)х 'т/ а а,т 2та ~~: — ~- --~- — ) = 2 . ляху И (2 ялх'т — юп — ~ — гй — )г — Мп — ) цх=ц а а ~ и'хна а / Д Истолковаяие результатов очевидно: по графикам плогиости вероятиости (см. рис. 5.2) усматривается их симметрия отиосительио средней точки ямы, что и приводит к иаидеияому среднему зяачеиию координаты. Энергия имеет определенное значение, а импульс с равной вероятностью направлен и вправо, и влево. П р и м е р 8хн Обпсиоваиие выбора операторов коордииаты и импульса с помощью формулы среднего зиачеиия. Выбор исходиых операторов 2 и Р„определеииый аксиомами ($8, п. 2), яе является случайным.
Ои согласован со статистической трактовкой фуикции состояиия. В самом деле, выражеиие для среднего значения координаты х=~ ш (х) хпх можно записать в форме (8.7): .х=~ ч яхт г)х, откуда и вытекаег, что х=х. для получения оператора импульса разложим произвольиую функцию состоя. иия по плоским волнам (фиксируя момент времеии): — Р ф(х, г)=~ р(Р, г) .. е г(Р, чг2пй коэффициеиты разложеияя обозначены через р(Р, Г).
В соответствии с постулатом $8, п. 4 величияа ригу выражает плотность вероятности зиачеиий импульса в состоя иии ф(х, Г), поэтому можно иайти среднее зивчеиие импульса: Р =~ Я ь (Р) Р (Р) РПР. Так как параметры ф(р) являются коэффициеитами разложения фуикции т(ф в яитеграл Фурье, то оии вычисляются по формуле р(р)==) ф(х) е пх. (8.7а) ь(2 а Подставляя значения р(Р) из соотношения (8.76) в формулу (8.7а), после вычислеиий приходим к равенству д 'т Р = ) Иь (Р) РФ (Р) ПР =) и* (Х) ( )Д д ) т ( ) ил 86 роятностей для значений рассматриваемой величины также оказывается стационарным, независящим от времени.
Постоянно и среднее значение. Для доказательства достаточно подставить в выражения (8.5) и (8.7) волновую функцию стационарного состояния и учесть, что временные множители за счет комплексного сопряжения при умножении дают единицу. П р и м е р 8.8. Вычислеиие среднего значения величииы.
Найдем среднее зиачеияе координаты, энергии и импульса для частицы в потеициальяой яме. Используя функцию состояиия (5.7), соответствующие операторы и формулу (8.7), имеем откуда и следует, что оператор импульса (ироекция на ось Ох) выражается формулой р,= — !а —. д (8.8) дх' Таким образом, трактовка волновой функции, гипотеза де Бройля, принцип соотвегсгвня между классической и квантовой механикой определяют виды операторов в математическом формализме теории. 8.6. Коммутация операторов — условме существования определенных значений двух физических величин в одном и том же состоянии системы.
Пусть заданы операторы двух физических величин А и В. Достаточным условием для сугцествования определенных значений их является наличие общей собственной функции, совпадающей с функцией состояния системы: Аф=аф, (8.9) Вф=Ьф (8. 10) Выясним связь между операторами в этом случае. Действуя на обе части равенства (8.9) оператором В, а на (8.10) — оператором А, получим ВАф=аЬф, АВф=Ьаф. Отсюда следует, что АВ=ВА, т.
е. операторы коммугируют. Коммутирующие операторы имеют общие собственные функции (см. $7, п. 3), т. е. условие коммутации двух операторов также и необходимо для существования определенных значений соответствующих величин. Итак, если операторы коммутируют, то возможно существование одновременно измеримых точных значений соответствующих величин. П р и м е р 8.10.
Коммутация оператора импульса и кинетической энергии. Выполнением действий убеждаемся, что рт= тр, откуда следует совместная нзмернмость этих двух величин. Так, в свободном состоянии у мнкрочастнцы определенные значения имеют импульс и энергия. П р и м е р 8.! !. Вычисление коммутатора для координаты н импульса. Коммутатор ( д д [х, р,]= — гв х — — «). дх дх !' Поэтому [х, р 1 е= — !а~« — хр) =!8<р.
./ар а дх дх Отсюда видно, что [х, р*)=ж операторы 2 и р„ие комму«преют. Значит, ие существует состояний, в которых были бы вместе точно заданы координата «и проекция импульса р,. (Это положение отражено также в соотношениях неопределенностей.) Свойство коммутативности не является транзитивным. Если А коммутирует с В и С, то это не значит, что В и С коммутируют между собой. Поэтому несколько величин могут вместе иметь определенные значения, если только операторы этих величин попарно коммутнруют.
П р н м е р 8.12. Измерение трех величии. Из операторов р, Т, Й коммутнруют между собой только р и Т. Лля других пар коммутаторы не равны нулю. Поэтому состояний с определенными значениями импульса, кинетической энергии и полной энергии не существует, за иснлюченнем случая свободной частицы, когда Й=Т. В квантовой теории используется понятие полного набора физических величин, которые для данной системы могут иметь одновременно определенные значения.
Например, для свободного движения одной частицы — это импульс и энергия. Задание полного набора однозначно определяет волновую функцию системы. Это можно понять из следующих рассуждений. Волновая функция есть решение уравнения Шредингера. Последнее же представляет собой не одну, а целое семейство функций. Выбор из них делается с помощью заданного набора величин.
В полный набор не могут входить все величины, характеризующие состояния соответствующих классических систем. Существуют, например, состояния с заданными моментами импульса и полной энергией. Однако в таких состояниях нельзя указать точные значения для координат частицы, ее потенциальной энергии. Поэтому говорят, что полный набор охватывает не более половины тех параметров, которыми характеризуются состояния классических систем. Следует учесть, однако, что в квантовой физике имеются и такие величины, как, например, спин и четность, которые вообще не имеют аналогов в классической физике. 8.7. О свяэм математического аппарата вваитовой механика с опытом н классической механикой. Аксиоматическое определение связи операторов с измеряемыми значениями физических величин, постулнрование вида самих операторов и основного уравнения квантовой механяки, выполненные выше, в 4 7 и 8, могут привести к предстанленням о каком-то произволе в этой теории, отрыве ее исходных положений от эксперимента.
На самом деле это не так: в квантовой механике отталкиваются от экспериментальных фактов, как и в других разделах физики, хотя связь между измерением н символом физической величины здесь не такая непосредственная, как в классической физике. Обсудим математическую природу физических величин несколько подробнее. Физическая величина есть количественная характеристика свойств физического объекта. В простейшем случае физические свойства исчерпываются положительными действительнымн числами.
Таковы, например, масса, длина, объем тела. Величины: температура, теплота, смещение по траектории и др.— принимают положительные и отрицательные значения. Имеются также величины (ускорение, скорость, сила и др.) — векторные, и для каждого значения такой величины нужно получить прн измерении три числа. Сказанное позволяет заключить, что различные свойства физических объектов отображаются различными математическими средствами. При этом известных нам средств, используемых в макромире — чисел, векторов, тензоров, — для описания микромира оказывается недостаточно, и на сцену выходят операторы, сопоставляемые физическим величинам. Раисе говорилось, что любое измерение в микромире производится макроскопическнм прибором (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
