Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если, кроме того, оператор (9.4) равен нулю, то определенное значение сохраняется. (Величина а, является интегралом движения.) 3 а к о н с о х р а н е н и я э н е р г и и. Оператор Гамильтона может зависеть от времени, но может и не зависеть от него. Во всех решенных ранее задачах встречались стационарные поля, для них ь"=О. Кроме того, очевидно, что [Н, Н]=0.
Следовательно, а Й=0, а Е=сопз1. Если функция состояния системы в стационарном поле собственная для оператора Гамильтона, то энергия имеет определенное сохраняющееся значение. О таких состояниях уже говорилось ранее как о стационарных. Энергия микрочастицы в стационарном поле сохраняется. Понятно также, что оператор Гамильтона для свободной частицы не содержит времени: энергия свободной частицы — величина постоянная. Осталось рассмотреть весьма важный случай замкнутой системы частиц.
Замкнутость означает учет всех взаимодействующих частиц, т. е. потенциальная энергия зависит от расстояний между ними (см. ч. 1, $14, п. 6), гамильтониан системы не содержит времени. Поэтому энергия замкнутой системы микро- частиц сохраняется. 3 а к о н с о х р а н е н и я и м п у л ь с а. Оператор импульса частицы; р = — й'з7 — не содержит времени н коммутирует с опера- Ь' тором Гамильтона для свободной частицы: Н= — — Л.
2ЗВ Следовательно, импульс свободной микрочастицы сохраняется. Если частица находится в силовом поле, то оператор Гамильтона содержит координаты, на которые действует оператор импульса, т. е. р и Й не коммутируют в общем случае. В силовом поле импульс не сохраняется. Для замкнутой системы частиц доказывается (см. $ 9, п. 6), что оператор импульса коммутнруег с оператором Гамильтона— импульс замкнутой системы микрочастиц сохраняется.
Закон сохранения момента импульса. Оператор момента импульса для частицы: Е= — )Ь [т з7] не содержит времени и коммутирует с оператором Гамильтона свободной частицы. Следовательно, момент импульса свободной частицы сохраняется (т. е. существуют состояния, в которых он постоянен наряду с энергией). В общем случае в силовом поле момент импульса не сохраняется, 4 Заказ ВВЗ однако, как и в классической механике, здесь имеют место важные частные случаи. В центрально-симметричном поле, например, момент сохраняется. (Особенности квантового случая по сравнению с классическим рассматриваются ниже, в главе [Ч.) Оператор момента импульса для системы частиц коммутируег с оператором Гамильтона для замкнутой системы, поэтому момент импульса замкнутой системы микрочастиг( сохраняется (см.
$ 9, п. 6). Итак, законы сохранения энергии, импульса, момента импульса в квантовой механике по форме и содержанию аналогичны классическим. 9.б. Связь законов со»равенна с ннварнантяостью оператора Гамнльтонв отяосятельно преобразоваянй снмметрня. Покажем, что законы сохранения фязнческнк величин связаны со снойствамн снмметрнн пространства н времени. Здесь н далее лод симметрией понимается неизменность свойств пространства при сдвига», поворота», отражениям приводящая к инвариантности некаторы» величин и вьсраясений относительно соответствующи» преобразовакий координат.
В основном уравнеянн квантовой механики — ураененнн Шредингера — система представлена через оператор Гамильтона. Поэтому симметрия снстемы проявляется в ннваряантностн гамяльтоняана относительно какнх-лабо преобразованнй коордннат н времени. Рассмотрим некоторое преобразованяе коордннат: г .г', (9.1а) выражающее либо перемещение снстемы как целого в пространстве — сдвнг, лабо поворот, либо отраженне в зеркале. Его удобно записать на операторном языке так: г'=57. (9.19) Обратное преобразование выражается оператором 5 '. Последнее означает, что »=5 1г . Пусть состояние снстемы опнсывалось до перемещения фуякцней т(й). Пронзведем преобразованяе (9.19), которое изменит я г, н вяд ф Но если существует соответствующая симметрия пространства, то в точку г' перейдет значенне волновой функцнн, ранее бывшее в точке г.
Поэтому новая волновая функцня ((г') удовлетворяет равенству )(гр)=)(5г)=9 Я. (9.20) Введем оператор Я, нзменяющнй внд функции в рассматрнваемом преобразовании: ЙФ(г)=) (г) (9.21) где Й может быть оператором преобразовання для сдвига, поворота н отраженна снстемы в зеркале. Докажем, что если гамяльтоняан ннварнаятен стноснтельно преобразовання (9.!9), то оператор Й коммутярует с оператором Гамильтона. Согласно формулам (9.20) я (9.21) Ь (г)= ф (5 'г).
(9.22) Введем обозначение»"=5 '»для результата преобразования в равенстве (922). Тогда для произвольной функция н имеем рн~ч=Й(Йч)=Й(гя) е(гя), (НЙ) 9=Й(Йф)=Й(г) ф(»Я). Если Й(г)=Н(г»), т. е. преобразованяе 5 не изменяет гамнльтоннан, то правые частн равенств совпадают. Следовательно, КЙ=ЙЙ. Утверждение доказано. 99 Если оператор физической величины не зависит от времени н коммутнруст с гамнльтопнаном, то эта физическая величина сохраняется. Коммутативность операторов Й и Н означает наличие закона сохранения величины )!. Чтобы указать се физический смысл, нужно задать явный внд оператора )с.
Во многих случаях конечное преобразование координат можно представить как совокупность последовательных бесконечно малых преобразований. Рассмотрим, например, бесконечно малый сдвиг — трансляцию системы в пространстве: г'=г+бг. Обратное цреобраэованне: г=г' — бг. С точностью до членов второго порядка малости: ф (3 Я= Ф (г — бг) ф (г) — бг (7 ф.
Согласно соотношению (9.22) )сф (г) =ф (г) — бг7 ф Отсюда )г = 1 — бр!7. Это оператор бесконечно малого смещения (сдвига или трансляции) в пространстве. 9.6. Связь закопав сохранения импульса, момента импульса н энергии са свойствами првстраистиа н примени. Пусть преобразование координат есть сдвиг на отрезок а: где и У=ар, =1 (9.25) — оператор импульса системы. Из коммутатнвностн оператора импульса (9.25) с оператором Гамильтона (9.24) следует закон сохранения импульса замкнутой системы. Может показаться, что операторы р и Н не коммутируют вследствие наличия в гамильтоннане слагаемого, соответствующего потенциальной энергии, Но это не так.
Для системы нз двух частиц и (у„гг)= и (г), где г= г(кг — к~) +(Уг — У~) +(кг — к~) . Найдем коммутатор ]р., и]: г'=с+а. (9.23) Вследствие однородности пространства состояние замкнутой системы не должно изменяться при сдвиге. Это обусловливает выполнение равенства (9.20). Как будет показано в дальнейшем, оператор Гамильтона для системы частнц имеет вид й=Х " +и(гьгь...,г,,), (9.24) , 2т, — д д где р, — операторы импульсов отдехьных частиц, р,= — гб'7, '7 =( — +! — + — д д~~ ду, +А —, а и (гь гг, ..., гл) — потенциальная энергия нх взаимодействия. Все известдж ' ные типы взаимодействия между частицами таковы, что потенциальная энергия зависит только от расстояния между частицами.
Поэтому оператор (9.24) не меня- ет вида, если сделать замену переменных (9.23). Оператор бесконечно малого смещения )! в данном случае имеет вид и Н = ! — ба к х7, = ! — бар, б дг дг В результате получаем нуль, так как — — = — . дх~ бхг ' Вывод закона сохранения импульса с учетом однородности пространства раскрывает в определенном отношении природу импульса: импульс можно ввести как величину, сохраняющуюся в силу однородности пространства.
При повороте системы вокруг некоторой оси на бесконечно малый угол бв всякая точка смещаегся на отрезок бг=(бм~~. В этом случае Й=1 — (бе~~ ту. Используя свойства смешанного произведения векторов, получаем Ф=1 — бв)гту)=1 — бфб, д где ь — оператор момента импульса частицы. Состояние замкнутой системы, а значит, н ее гамильтониан ие изменяются при поворотах вокруг осн вследствие изотропии пространства; следовательно, оператор Й коммутнруег с Й, что приводит к коммутации Е н Й.
Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса. Математическая сторона вопроса о наличии интегралов движения мало изменится, если вместо координат речь пойдет о каком-нибудь параметре, входящем в гамнльтониан. В частности, таким параметром является время. Введем оператор т смещения во времени на интервал т: н=тг=г+т. Оператор, действующий на функцию В прн сдвиге во времени, обозначим через Т. В соответствии с выражением (9.22) имеем Те=в (г — т).
Найдем конкретный внд оператора Т для сдвига на бесконечно малый промежуток времени бт; д Т=1 — бт —. д! Если воспользоваться уравнением Шредингера (8.3), то можно выразить нз него д оператор —, после чего получим дг' Т = 1+ — бтй. б Если оператор Й не зависит от времени, то операторы Т н Й коммутнруют. для замкнутой системы оператор Гамильтона не зависит от времени, энергия сохраняется. Существенно, что энергия как физическая величина связана с однородностью времени, ибо ее сохранение обусловлено однородностью времени. 9.7.
Чстность и закон сохранения четности. Кроме однородности и изотропности, имеется еще один вид симметрии пространства; соответствующую ему операцию нельзя свести к совокупности бесконечно малых преобразований координат. Речь идет об операции инверсии, заключающейся в изменении знака всех трех координат х, у и ьч (9.26) / — ь г'= — г, или Х = — Х, Д = — Д, 2 = — 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
