Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 27
Текст из файла (страница 27)
х2 2х2,4 ИхХе' ' 26' ' Ру' и сделать замену переменной г иа р= —,, то придем к уравнению а' (! !.4) в теории атома водорода. Поэтому все результаты решения задачи об атоме водорода полностью переносятся на водородоподобные системы. Следует только во всех формулах заменить постоянные а и )гу на а' и йд'. Например, для иона гелия Не" (л=2), т,+та, Уровни энергии определяются формулой Йу' Д А' 4йу и— Л г и в Стационарные состояния характеризуются теми же квантовыми числами и, 1 и т, и они имеют тот же физический смысл.
Сохраняются общий вид и структура волновых функций (с учетом замены а на а'). 121 $12. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТРУКТУРА АТОМА ВОДОРОДА В СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 12.1. Угловое и радиальное распределение плотности электронного облака. В предыдущем параграфе решено уравнение для движения электрона в кулоновском поле.
Результаты решения дают возможность сделать заключение о пространственной структуре и других характеристиках атома водорода. Запишем выражение для вероятности обнаружения электрона в элементе объема (г(Г=г' з)п 0дгМйга) вблизи точки с координатами г, 0 и ф. ~1%'=!ф(г, О, ~р),'~сИГ=Р~(г) У~(0, ф) У(0, ф) г з)п Ог!гг10йгр (12.1) (Квантовые числа для сокращения записи опущены.) Распределению вероятностей (12.!) сопоставляется представление об электроне в виде облака, имеющего плотность, пропорциональную квадрату модуля волновой функции. При этом величина — е 1ф!' рассматривается как плотность заряда электрона, непрерывно распределенного в пространстве.
(Иногда используется следуюшая корпускулярная интерпретация строения атома: считается, что электрон быстро обегает пространство, занятое атомом, причем время его пребывания в объеме г(Г пропорционально ,'ф!э ) Конфигурация электронного облака задает пространственную структуру атома Ввиду сложности волновой функции целесообразно рассмотреть сначала радиальное распределение плотности облака, а затем — угловое.
Рассчитаем с помощью выражения (11 2!) вероятность обнаружения электрона в шаровом слое между сферами радиусом г и г+г(г. Для этого проинтегрируем распределение (12.1) по углам 0 и гр в полном интервале изменения этих переменных. Получим НВ'=)1э (г) г'г!г Плотность вероятности для значений координаты г описывается функцией ш„~(г) = Й„~(г) г . (12.2) Далее можно воспользоваться найденными ранее выражениями (11.11) для й.~ и найти зависимость плотности электронного облака от расстояния до центра атома для различных состояний.
Диаграммы для шсм шгм шз ~ представлены на рисунке 12 1. Очевидно, что вблизи ядра и на больших расстояниях от него вероятность обнаружить частицу весьма мала. Плотность облака значительна на конечных расстояниях от начала координат. Здесь функция ш.~(г) обрагцается в нуль и — ! — 1 раз, и облако разбивается на слои Вычисление средних расстояний приводит к формуле 122 (=а а 0 1 1 а=О а и! (=Я а=О !.г 1=2 ам а с2 Рис 12 1.
Рис. 12.2 г,~ быстро растет при увеличении главного квантового числа, а при заданном и убывает с ростом орбитального квантового числа Резкой границы у атома нет. Однако плотность электронного облака очень быстро (экспоненциально) спадает при г)г. При г- о вероятность обнаружить электрон практически равна нулю. В состояниях с (=п — ! се !г) г'"е и максимум функции се (г) в этом случае достигается в точке г=ап'. Эти расстояния совпадают с боровскими радиусами круговых орбит. Перейдем к угловому распределению электронного облака. Согласно формулам (12 1) и (11.10) вероятность обнаружения частицы в пределах элементарного телесного угла с(Я, равного и!п Ос(01(~р и взятого в направлении, заданном углами О и ср, определяется формулой сП7(0, ср)=У1и (О, ср) У~ (О, ср) з)п 0 с(0 с(ср.
Соответственно плотность вероятности ю =У (О, ср) У,(0, ср). (12.3) Поскольку зависимость функции У~ от угла р имеет внд е' '", то 12З плотность вероятности углового распределения не зависит от !р, что указывает на осевую симметрию электронного облака. Распределение по полярному углу О часто представляют графически в виде полярных диаграмм. Они строятся следующим способом. На координатной прямой г полярной системы координат от точки О откладывается значение ш! (О, !р).
Через полученные точки проводится линия. Чем дальше точки кривой отстоят от начала координат, тем больше вероятность обнаружить частицу в заданном направлении. Рассмотрим в качестве примера три состояния (см. формулы (1О.! 1) ): ! !з /з Уш= —, К!О=-~( — соз О, У! ~! =-у — з!и Ое 4 ' У4 ' Уа Соответствующие полярные диаграммы изображены иа рисунке 12.2.
В з-состояниях облако имеет сферическую симметрию. В р-состояниях при т=О оно вытянуто вдоль оси Ог, а при т= ~1 облако сгушается в экваториальной плоскости. На полярной оси вероятность нахождении частицы равна нулю. Мы предлагаем читателю в качестве упражнения свести воедино радиальное и угловое распределения для электронного облака в состояниях 1го 2з и 2р(т=О, +.!): изображение атома в разных состояниях показано иа переднем форзаце. Для больших значений п и ! строение атома водорода оказывается довольно сложным. Для ознакомления с этим вопросом следует обратиться к более детальным руководствам или справочникам (см. [2! ] ) .
12.2. кВращеиие» электронного облака. Неравный нулю момент импульса указывает на вращение электрона вокруг ядра. Движение частицы легко представить в рамках классического корпускулярного подхода, однако у электрона определенной траектории и скорости нет. При классическом волновом подходе частице сопоставляется облако, которое сложным образом, отнюдь не как единое целое совершает вращательное движение. Величина, которая на квантовом языке характеризует движение микрочастицы, есть вектор плотности потока вероятности.
Для его вычисления используем формулы (2.3), (3.15) и выражение для оператора ~ в сферических координатах: д " ! д " ! д х7=с, — +е„— +е„ дг "г да гмпадЧ Если волновая функция имеет вид !р„! =НИ„,(г) Р) ' (О)е!», то следует принять в формуле (3.!5): Р = й! Р.! (г) Р; ' (О), а = тгц Массу частицы примем равной !с Тогда получаем Й У2Р2 [Р) ! (О)]2 т»» ЬЮР» 1 12 н ° зева Иг ча 124 (12.4) Рис 123 Рис 12 4 Линии вектора 1 есть замкнутые окружности с центрами на оси Ог срис.
12.3). Оии лежат в плоскостях, параллельных плоскости хОу. Во всех точках окружности модуль вектора один и тот же. Это следствие осевой симметрии и стационарности плотности облака; при вращении его конфигурация не изменяется. В соответствии с классическим образом электронного облака плотность потока массы в нем пропорциональна плотности облака, ио коэффициент пропорциональности в формуле (12.4) — величина, зависящая от переменных и и О. Это значит, что облако вращается не как одно целое; скорости зависят и от расстояний до ядра г, и от угловой координаты пояса О.
В заключение вопроса о форме и размерах электронного облака, вращении его следует заметить, что все сказанное выше имеет условный характер и не должно пониматься в буквальном смысле классического объекта с непрерывно распределенными по пространству массой и зарядом. Облако лишь наглядная модель вероятностно-статистической трактовки функции состояния. Мы рассматривали атом водорода, но в общих чертах полученные результаты относятся не только к водородоподобным системам, но и к многоэлектронным атомам, ибо в иих в первом приближении электроны описываются используемыми выше функциями состояния.
П р и м е р 12.1. Расчет момента импульса электрона в атоме на основе представлений об электронном облаке. Если воспользоваться классическим представлением об электронном облаке как области пространства, в которой непрерывно распределена масса электрона ж то, опираясь на размерность вектора 1, можно заключить, что величина р1 выражает объемную плотность импульса вращающегося облака. Рассматривая элемент объема и"и' на линии тока (рис. 12.4), имеем для его импульса выражение ар = Н1М 1'.
Ему соответствует момент импульса: Д1Е=Р1г)) д~', 125 направлекный по оси симметрии атома, что позволяет далее ограничиваться одной его проекцией на ось Ог: Н.=р)г з(п 0П(г Осталась подставить сюда значение 1 из формулы (12.4) и просуммировать по всему объему: Н.=дт 1фм !г б(г, /.=~ Н.=дт. Получено правильное значение проекции момента на ось Ог (см. $11, и. 3).
Однано наше решение нс является исчерпывающим. Мы пользовались для вычисления веитора Е классической формулой Е=(г р), что привело к утрате важных деталей; вектор К в нашем решении направлен по оси Оз, и модуль его равен модулю проекции на эту ось. Из 4 1О известно, что вектор момента определенного значения не имеет, модуль его не бывает равен проекции, а определяется формулой (10.7) Л=Л ь()(14-!). Итак, классическая модель атома с электронным облаком не вполне адекватна действительности.
П р и и е р 12.2. Расчет магнитного момента атома на основе представлений о непрерывно распределенном в пространстве эвектрическом заряде. Известно, что атом обладает магнитным дипольным моментом. Согласно классической электродннамике движение электрона по орбите эквивалентно замкнутому круговому току, а ток создает магнитный момент, определяемый формулой М =/5, где 1 — сила тока; 5 — площадка, обтекаемая током (рис.
12.6). Электрон, движущийся по окружности, изображенной на рисунке 12.6, создаст магнитный момент: е (ге( еЕ М= — = —, 2 2р' где через е обозначен модуль заряда электрона. Магнитный момент пропорционален механическому (см. ч. П1, примеры 8.2, 8.3). В микромире нельзя рассматривать движение частиц по определенным траекториям в пространстве. Поэтому непосредственно говорить о токе, созданном движением электрона по орбите, ие имеет смысла.
Но можно воспользоваться представлениями о заряженном и вращаю~немея электронном облаке. Вектору плотности потока вероятности (12.4) сопоставляется плотность электрического тока: едт ) =— !01 ее ргюп 0 Имеется только одна составляющая тока; отличная от нуля проекция ейт )„=- Ф', рг з(п 0 линии тока совпадают с кругами широты. Разобьем пространство на элементарные трубки тока с сечением г(о, как это показано на рисунке !2.4. Сила элементарного тона: )г ~~о Соответствующий элементарный магнитный момент по классической формуле равен тону гО, умноженному на площадь, охватываемую этим током: ейт г .. г едт АИ= — !гр! болг з(п 0= — 1ф) г(У, рг з!п 0 2р 126 Рнс 12.5 Рис 12 6 Рис !27 где пР— объем элементарной трубки. Заметим, что все магнитные моменты ггМ направлены одинаково — по оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
