Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(14.20) 151 Если данные частицы являются бозонами, то как координатный, так и спиновой множители должны иметь одинаковую симметрию, т. е. волновая функция такой бозонной системы имеет структуру ср и„или ф и (индексы С и А означают симметричные или антисймметричные функции). Только в этих двух случаях она будет симметричной в отношении перестановки частиц. Волновая функция фермионной системы антисимметрична относительно перестановки двух любых частиц, и поэтому она должна иметь структуру ф„ис или !р и .
Вид координатной и спинозой частей волновой функции легко находится для системы невзаимодействующих частиц. В общем случае введенные ранее функции (14.16), записанные как произведения одночастичных функций состояния, определенной симметрией не обладают, поэтому непригодны для описания состояний системы одинаковых частиц. Однако можно взять их линейные комбинации, состоящие нз слагаемых, отличающихся перестановкой частиц, сделав их симметричными или антисимметричными. Так, для системы двух частиц из Чю(х) и ф„(х) — одночастичных функций — образуем произведения, а из них получаем нужные функции состояния: Если использовать не совсем строгое, но наглядное толкование, то можно сказать, что симметричный спиновый множитель и (пт„гп,) соответствует одинаковой ориентации спинов электронов (ТТ), а айтисимметричный относится к случаю, когда направления спинов противоположны (~~).
Точный смысл функций (14.20) выяснится в следующем параграфе. Коэффициент — нормирует функции 1 э(2 системы (14.19) и (14.20) на единицу (при нормированных одно- частичных функциях). Обобщим теперь прием симметризации, примененный для системы двух частиц, на систему М частиц. Рассмотрим снова систему не- взаимодействующих частиц. Пусть символ ф„(х;) обозначает волновую функцию одной частицы с учетом ее спина. Индекс ги характеризует квантовое состояние.
Запишем симметричную волновую функцию системы из М частиц; ф. = —,~', тр„(х ~) трю (хх), ..., ф„(хл). Сумма берется по всевозможным перестановкам переменных хь хх, ..., хл н содержит М! слагаемых. Антисимметричная функция имеет вид т)г„, (х1) фч (хх), ..., ф„~ (хл) трю (х~) ф„, (хх), ..., 'р., (лл) ф =— ! А 1- (14.21) эр„(х~) ф„(хт), ..., ф„(хл) Перестановке частиц соответствует перестановка двух столбцов определителя (14.21) . Известно, что определитель равен нулю при совпадении любых двух строк.
Это будет иметь место в формуле (14.21) при равенстве какой-нибудь пары квантовых чисел п( и ам Волновая функция фермионной системы обращается в нуль, если состояния двух частиц совпадают. Следовательно, такие случаи в системе фермионов никогда не осуществляются.
нс н~( 2) нтт 2) "' лл( 2) ' 152 Зтот вывод справедлив независимо от того, разделены в ф-функции координаты н спиновые переменные или нег. рассмотрим отдельно случай, когда функция состояния системы может быть построена в виде произведения координатного и спннового множителей. Обратимся к системе из двух электронов и допустим, что взаимодействия между частицами нет.
Если спины электронов ориентированы одинаково, та спиновый множитель полной волновой функции системы симметричен, а координатная часть аитисиммегрична и может быть представлена выражением (14.!9). Если при этом п~ = пь то фх†- ц Наборы квантовых чисел л< и пт (не включающие спиновое) могут совпадать, если спины электронов ориентированы противоположно друг другу.
Но тогда квантовые состояния обеих частиц являются различными. Допустим, что имеется М невзаимодействующих частиц с полуцелым спином. 1 Пусть, например, все т = —. Тогда 2 ' Зто означает, что спины всех электронов направлены вверх. Коордннатная часть волновой функции в таком случае антнснмметрнчна. Ее можно взять в виде определителя (!4.2!), где сейчас фх (х) — функция только от координат частиц. Волновая функция системы будет отлична от нуля только тогда, когда среди квантовых чисел и, нет одннаковых. Итак, существует правило, которое можно называть запретом Паули: в системе, состоящей из одинаковых фермионов, не может быть двух и более частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. (Иногда полезно ориентацию спина рассматривать отдельно, т. е. добавлять в текст слева «и имеющих одну и ту же ориентацию спина».) Запрет Паули справедлив и для систем взаимодействующих частиц, если взаимодействие не исключает возможности введения квантовых состояний отдельных частиц.
Как было показано ранее, запрет Паули вытекает из утверждения, что волновая функция системы фермионов непременно анти- симметрична по отношению к перестановке местами координат и спиновых переменных каких-либо двух частиц. Поэтому такого запрета не существует для бозонов.
Число бозонов в любом квантовом состоянии не ограничено. !4.6. Обменное взаимодействие. Необходимость описания системы частиц функциями состояния определенной симметрии, запрет Паули и другие следствия тождественности частиц означают наличие между одинаковыми частицами своеобразного взаимодействия, которое непосредственно не учтено каким-либо силовым полем и поэтому не включается в гамильтониан системы. Это взаимодействие не имеет классического аналога. Оио называется обменным и выражается в корреляции между спинами и движением частиц. Обменное взаимодействие зависит от ориентации спинов. Обменное взаимодействие проявляется прежде всего в том, что две частицы не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
Но этим взаимодействием можно пренебречь, если области пространственнойлокализации микрочастиц не перекрываются. Так, не нужно учитывать тождественность электронов в различных молекулах какого-либо газа, но нужно учитывать тождественность самих молекул при изучении газа, так как они могут «встретиться в одной точке». Точно так же совершенно необходим учет тождественности электронов в объеме всего кристалла, где электроны движутся, или протонов в ядре атома.
Конкретные критерии на этот счет зависят от характера задачи, строения системы, наличия тех или иных взаимодействий и т. д. Далее мы увидим, что обменное взаимодействие приводит к возникновению дополнительных сил, действующих на микрочастицы. Сам термин «обменное взаимодействие» связан с видом функций (14.19). При учете тождественности частиц теряет смысл утверждение, что в системе первая частица находится в состоянии л!, а вторая — в состоянии л,. Можно лишь утверждать, что одна из частиц находится в состоянии л!, а другая — в состоянии лх без конкретизации, к какой частице какое состояние относится.
Так как при использовании указанных соотношений отдельным частицам уже нельзя сопоставлять конкретные квантовые состояния, то предполагается, что происходит непрерывный обмен состояния- ми. Первая частица переходит из состояния и! в состояние ат, а вторая совершает обратный переход. Далее они снова меняются состояниями, и так на протяжении всего взаимодействия. (Обмен состояниями не следует понимать буквально и представлять как процесс, происходящий в пространстве и времени.
Это, скорее, услов- ный образ, чем наблюдаемое перемещение.) Подробнее об обменных силах говорится ниже, в $17, 19. Н р н м е р !4.4. Завнснмость плотностн вероятностя пт орнентацнн спннов. Система двух одинаковых частнц со сонном (/2, находящихся в потенцнальной яме, описывается в зависимости ат ориентации спина двуми различными коордн- натнымн функциями (см.
пример )4.3): 2)2 ф = (ЫП Й1Х1 ЫП Й252+5)п Й252 ЯП йзх1), 5)2 ф)(= (51П й1Х! Ып Й252 51П Й152 51П йзх1). и Найдем плотность вероятности попадання обеих частиц в одни н те же точки пространства (х1=хз): 8 Ф! ! 551п Й1хз)п йтх, и Я5! —— О. Различные плотности распределення.частиц отвечают н разлнчному взаимодейстаню нх в случае, если частицы заряжены.
Таким образом, ориентация спинов вызывает существенное влияние на выбор функции состояния, а через нее — на энергию взаимодействия частиц в системе. $15. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ МОМЕНТОВ 15.1. Свойства оператора момента импульса системы. В приложениях квантовой механики к атомам и молекулам особое значение приобретает оператор момента импульса. Анализ его свойств выливается в целое учение о моменте импульса системы и ее частей. В данном параграфе будут кратко изложены только те положения, без которых невозможно понять изучаемые ниже закономерности строения многоэлектроииых атомов.
Запишем оператор полного механического момента системы в виде суммы: Символами У.. здесь обозначены как орбитальные, так и спиновые моменты импульса отдельных частиц. Нашей ближайшей задачей является определение коммутационных свойств операторов У, У„и У,. Правила коммутации для проекций представляют собой наиболее важную, характерную черту момеита импульса в квантовой механике. Существенно, что и для орбитальных, и для спииовых моментов оии одинаковы. Поэтому можно не выделять два вида слагаемых в (15.1). Все операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют друг с другом, так как они действуют иа различные переменные. Отсюда [У.„У. [=0, [У.„, 5, [=0, (15.2) Используя коммутационные соотношения (10.2), (13.1) и (15.2), можно показать, что [У, Т)=УйУ~, [У„, У [=ВУ», [У, У [=УИ». Таким образом, перестаиовочные соотношения для операторов проекций момента импульса системы те же, что и для моментов отдельных частиц.
Отсюда следует совпадение и других свойств операторов. Во-первых, операторы У и У, коммутируют. Это означает, что существуют состояния с определенной величиной момента У и его проекции У,. Во-вторых, по аналогии с (10.7), (10.12) устанавливаем правило квантования полного механического момента системы и его проекции: У=Ь 40+ 1), У,=дшь гп! — — О, ~1, ~2, ...,:Ь1. Если операторы У' и У, коммутируют с гамильтоииаиом, то возможны стационарные сосгояиия системы с сохраняющимися значениями полной энергии, момента и его проекции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
