Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Интеграл ~ ~у~ ср, ~(У 163 отличен от нуля только при й=т. Поэтому из равенства (16.12) следует (16.13) где и „называется матричным элементом оператора возмущения: ш „=~ ~р~ ш ср„п$' (при т = и ш„„=АЕ)п — поправка к энергии в первом приближении теории возмушений). Коэффициенты в разложении найдены. С помощью (16.3) можно записать функцию состояния в первом приближении: (16.14) (В формуле (16.14) полагают С =О, чтобы с той же точностью выполнялось условие нормировки ф..) 1п Задача нахождения поправок в первом приближении теории воамушений решена.
Выражения (16.7) и (16.14) позволяют записать критерий применимости теории возмущений. Формулы (16.7) н (16.14) можно использовать, если ~ „„~ ~~ ~Е ~ (16.15) ~ «(Етм Енв~ При выполнении неравенств (16.15) во многих случаях уже первое приближение обеспечивает достаточную точность. При необходимости процесс уточнения функций состояния и уровней энергии может быть продолжен в следуюших приближениях. Метод теории возмущений важен не только как средство для расчета физических характеристик системы.
Он имеет большое значение для качественного осмысления свойств сложных систем. Как покажет дальнейшее изучение курса, на основе теории возмущений часто без непосредственных вычислений удается понять существо тех изменений в системе, которые возникакп за счет возмущения, накладывающегося на основное взаимодействие.
В этом плане оператор Йо как бы создает исходное состояние, а возмущение придает ему небольшие по энергии, но часто принципиально важные изменения. 16.2. Уровни энергии во втором приближении теории возмущений. Для нахождения уровней энергии во втором приближении теории возмущений используем найденную в $16 п. 1 функцию состояния первого приближения. Подставим в уравнение (16.1) выражения Й=Й.+ ш, ф=р„+ Е с.р., мп Е = Е~~'+ в, + ЛЕ„. Получим (и +то)(гр„+ .г С гр )=(Его+го„„+ДЕ121)(гр„+ Х С гр ). п~п Здесь коэффициенты С определяются выражением (16.13), При раскрытии скобок в уравнении сохраняем слагаемые до второго порядка малости включительно.
Для этого нужно учесть, что множители Но, гр„и Е1„"1 следует считать большими, имеющими нулевой порядок малости; множители го, С и ги.„имеют первый порядок малости, а ХЕ1„'1 — второй. Используя (16.2), получим уравнение Х СмЕ~ )Р +йчйп+ Х СмЮгРе — — Е„щ Х СтРм+агпп~~п+ о~п тЫп тФп +гнпп Х С р +ГхЕ~~)Гь. Умножим его на гр„*и проинтегрируем по всей области изменения переменных. Если далее воспользоваться ортонормированностью функций грпо то приходим к равенству ХЕ1п'1=Х С„,ги „= .г Обратим внимание на следующую деталь.
Поправка второго порядка к наименьшему по энергии (осиовному) состоянию всегда отрицательна. Действительно, АЕ",~= 2 ~ы ' (6, Етю Етп) так как Е1о1=. Е'," при всех пт)!. Итак, во втором приближении теории возмущений уровень энергии определяется формулой Е1о1+ ш 1 'Р~ ы „ш„ (16.16) ,„~п Е% ЕМ 16.3. Теория возмущений прн наличии вырождения. Может оказаться, что уровни энергии невозмущенной задачи вырождены. Зто означает, что одной и той же энергии Е1" соотвегствуег несколько состояний, описываемых волновымн функциямн Е„при и=1, 2, ..., т. Для уровней энергии в нулевом приближении можно снова принять значения энергии невозмущенной задачи: Е..
С волновымн функциямн дело обстоит сложнее, гл так как р<н можно приравнять любой из функций ч илн даже какой-нибудь их линейной комбинации, т. е. положить В последующих приближениях ищутся поправки к уровням энергии и волновым функциям нулевого приближения. Очевидно, что вырождение осложняет задачу, так как помимо поправок следует найти еще н коэффициенты А„,.
166 Для нахождения уровней энергии а первом приближении подставим в уравнение (16.1) выражения Еы=Етм+ЛЕ и тр„,= »»А„, ф.*+! ь ! й=й,+ Индексы л и Л нумеруют определенное состояние вырожденной системы, к которому ищутся поправки ЬЕ» и (». После подстановки имеем с точностью до членов первого порядка малости: т т Но 2~ А.. ф.*+Йо)!йт+ ш Е А„, ф.,= Етот 2 А тр + + Р)„,+ ОХА..... (16.17) Эамечая, что Но »»А„ф =Етот Р»А ф о упростим ранеяство (!6.17).
Оно примет внд т т Й»Я+в У~А ф =е!»т(и»т+бет~ А~А тр (16.18) В дальнейших выкладках предполагается, что функции ф„ортонормнрованиы, так что ~ фй» ф„т()г=6 6»,. Умножим ураинение (16.!8) иа фо» и проинтегрируем по координатам. Получим т ~ фй»Й» ф »Пг+ ХА„, ы„»„,=Етот (трй» гт»т »Пг+ЬЕт»»А„» (16 19) ! Вследствие самосопряженности оператора Йо первое слагаемое в левой части равенства (16,!9) равно первому слагаемому в правой части, После сокращения одинаковых членов приходим к выражению или А»(ъ.».,— ЬЕ'„",~+ Х Айш» .=О. о=! »~» Перебирая все возможные значения й в пределах от 1 до т, получаем систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов А„л < А„> (ы,~ ~ — ЬЕ!т)+А,ош,с»-1- ...-)-А„»ы„, „=О, А.тм.та~+А.оит„лт+...
+А„(ти„,»т — АЕ»т)=О. Такая система имеет решение, если нулю равен определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных: ! 66 и„сю — Ллм и ь ь ~0 ..., м ) т ~п ю т,| =о (16.20) те т,„~ те тет, ю тлт гтЕ т Прн заданных матричных элементах ю, лт можно добиться равенства нулю определителя (16,20), подбирая значения поправок ЛЕОГ. Тем самым найдутся уровня энергии первого прнблнження. С точкн зрення дальнейшего использования для нас особенно важен случай, когда все неднагональные матричные элементы оператора возмущения равны нулю. Если м.ьл.=О (йтьэ), то лля нахождения поправок к энергнн получаем уравнение ю ьы — АЕОг О, О ю.т. — ДЕ<",, О, которое нмеет у корней: ЛЕ~",=ю..., (з=!, 2, ..., у).
Тогда уровни энергнн системы в первом порядке теорин возмущений определяются выраженнямн Е!О=Е!ь!+ю,ьеь (16.21) Еслн все числа ю,т .т разлнчны, то учет возмущенна полностью снимает вырождение Уровень энергии Е~~~ росщелляется на у подуровней Формула (16.21) совпадает с (!68), если допустим, что в(16.8) индекс л нумерует состояния, а не уровня энергнн невозмущенной системы. Это фактически означает, что прн расчете уровней энергии можно не отличать случай, когда вырождения нет, от случая, когда оно есть, но волновые функции невозмущенной системы подобраны так, что матрица оператора возмущения ю..ет является диагональной. Если последнее условие выполняется, то функции я., как раз н будут правнльнымк залповыми функциями нулевого прнблнження.
16.4. Тонкая структура спектра атома водорода. Значення уровней энергнй атома водорода, найденные в $ !1, п. 3, следует рассматрнвать как приближенные, так как оян получены без учета магнитных взвнмодействнй в атоме. Магнитное спин-орбитальное взанмодействне представляет собой релятивистский эффект. Поэтому установить внд оператора спин-орбитального взаимодействия можно только в последовательно релятивистской теории. Здесь же мы введем его посгулатквнш м„д( ььз=) т ~ Г (! 6.22) Выраженне (!6.22) совпадает по форме с класснческнм выражением для потенциальной энергнн взаимодействия двух магннтных днполей, расположенных на расстояннн г друг от друга, если (= — (см. ч, П1, $8).
Иь 4л Поправка к энергнн атома за счет спнн-орбнтального взаимодействня рвана среднему от оператора Йст. Усреднение производится по невозмущенному состоянию, в котором магнитные взаимодействия отсутствуют. Проведем качественный анализ поправки. С помощью (!2.6) н (13.7) оператор (16,22) может быть представлен в следующем виде; !67 Е5 ю~5 — С г г (16.23) Прн учете спин-орбитального взаимодействия в атоме водорода проекции спинового и орбитального моментов уже не являются сохраняющимися величинами. В числе интегралов движения наряду с энергией входят орбитальный момент, похный механический момент н его проекция l,. Постоянство этих величии прямо следует из того факта, что операторы Е', 7 и У, коммутнруют с гамнльтоиианом: Л' яе' Н= — Л вЂ” — +юез, 2р г Сохранение полного момента импульса 7 для изолированного атома связано с нзотропией пространства, т.
е. оно является следствием одного из самых общих законов природы. Уровни энергии остаются вырожденными по квантовому числу т,; есин иа атом не действуют внешние поля, то его энергии не должна зависеть от ориентации полного момента импульса системы в пространстве. Спин-орбитальное взаимодействие невелико и не изменяет величины орбитального момента. Поэтому квантовое число ! остается среди характеристик квантовых состояний атома.
Подтвердим качественные соображения расчетом. Введем оператор полного момента импульса электрона: У= К+5. Из формулы 7 =Еэ+55+2(1, 5) 1 находим Е 5= — (7 — Е' — 5'). 2 (16.24) Тогда для Йез получим выражение 7"-Ет-5' юьд — — — С вЂ” г —. 2 г Ранее найденные уровни энергии атома водорода (11.7) вырождены. Каждому значению энергии Е, соогветствуег 2п' состояний, различающихся величиной орбитального момента, его проекции и проекции спина. Зтнм состояниям соответствуют волновые функции (13.9). Запишем нх а виде Ф„г, (г, В, р), (16.26) где пп н т, — квантовые числа проекций орбитального н спинового моментов. Существуег и другая система состояний электрона в атоме водорода. О ией говорилось в 4 13, п. 3. В этих состояниях имеют определенные значения энергии, орбитальный момент, полный момент импульса н его проекции l, (н, конечно, спин).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
