Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 37
Текст из файла (страница 37)
168 где С вЂ” постоянный коэффициент. Операторы Е и 5 действуют только на угловую н спнновую части полной волновой функции электрона. Поэтому вычисление средних значений сомножителей ! -з- и !. 5, входящих в соотношение (!6.23), можно проязводнть отдельно. г Значение с~зависит от квантовых чисел и н 1, определяющих радиальную часть функции состояния атома водорода.
Среднее значение оператора Е5, найденное с помощью функций состояния неаозмущенной задачи, зависит от взаимной ориентации векторов Е н 5. Поскольку спин по отношению к любому выделенному в пространстве направлению ориентируется двояко, поправка к энергии (за счет числителя) принимает два разных значения. Состояния атома, соответствующие этим подуровням, отличаются величиной полного момента импульса электрона. Итак, (гегэ) «=ЛЕП'(и ! !).
А— ОД ((1()ЕР!) 1(1+!) э(з+!)), 2 прячем И+!) — 1(1+1)- (+!)= ! 1, 1=1+ —, 2 ' — И+ 1), 1=! — ', О, 1 — 0 '1. з 2 ' (~Г).~=А ь Уровни эиергии атома в первом приближении теории возмущений примут значения: Ы=Е4'+6Е47= — -К+ — СйэАып(1+!) — !(1+!) — э( +Ц. (!626) л 2 Поправка ЛЕи зависит от квантового числа 1.
Поэтому вырождение по орбитальному квантовому числу сиимается. Все уровни энергии в р-, Н-, ..:термах расщепляются иа два подуровня, различающиеся квантовым числом 1. На рисунке 16. ! изображена схема возникновения дублета Е,. Уровень энергии 2р распадается иа два 3, 1 подуроаия с (= — и (= —. Для з-состояний расщепления нет. Поэтому переход с 2 2' у'= Згг .)*Ь Рис. !6Л.
169 Оии задаются квантовыми числами и, 1, 1 и ть Соответствующие волиовые функции могут быть получены как некоторые линейные комбинации функций (!6.25). Заметим, что уровии энергии по-прежиему определяются формулой (1 !. 17) и также 2в' кРатио выРождеиы, ио тепеРь по квантовым числам 1, 1' и тг Обозначим иовые функции состояиия через фю) . Оии являются общими собствеид э 2 ными функциями операторов: Нэ= — Л вЂ” —, Е', У и /, (а также 5'). Радиальная 2р г часть волковых функций фав такая же, как и функций фы Выберем фуикции фы1ивв'качестве волновых фуикций йевозмущепной системы. При этом значение (~г) ие изменится. В то же время новые функции состояния являются собственными функциями оператора ЕЗ..
Согласно (16,24) (Е Е) фж1, = — (1 О+ !) — 1(1+ !) — ф+ !)) фв ! г Поэтому матрица оператора возмущения (!6.22) оказывается диагональной по квантовым числам 1) 1, тг Отличные от нуля матричные элементы таковы: Е„,= --т~ Г+-т( — — — )~, !+— 2 (16.27) где е' а=— 4пеосй 1 — безразмерная постоянная, блнзка к —. Она называется постоянной гонкой !37 ' структуры. Во-вторых, спин-орбитальное взаимодействие не единственное магнитное взанмо.
действие в атоме. Нужно учнтывать существование магнитного момента прогона. Обозначнм через Е полный механнческнй момент атома, включающий в себя я спнн протона: Значения Е определяются условнем квантовання: у= 6 з(! (г+!). Квантовое число ! в соответствнн с правнламн сложення моментов принимает два значения: г=г~ —, 2 ' Учет магнитного взаимодействия электрона с ядром атома прнводнт к расщепленню уровней энергии.(16.27) на два подуровня, разлнчающнеся квантовым числом г. 1 Напрнмер, в сосгояннн ! з 1= —.
Поэтому имеем два подуровня с 1=1 и г=0. Они 2 ' соответствуют одинаковой (1= Ц н противоположной (1=0) ориентациям спннов частик. Уровень с 1=1 расположен выше по шкале энергий. Расстоянне между подуровнямн порядка 6 10 ' эВ. Соогветствующнй квантовый переход наблюдается в виде радиоизлучения на волне 21 см облаков межзвездного газа.
Теперь, казалось бы, все взанмодействия в атоме учтены, н особенностн его устройства выяснены во всех деталях. Однако в 1946 г Пэмб н Ризерфорд обнаружнлн сдвиг уровня 2з, не предсказанный теорией. Этот эффект был объяснен квантовой электродннамикой. Дело в том, что согласно современным фнзнческим представлениям вакуум не является абсолютной пустотой, полным отсутствием какой-либо материи. Вакуум есть особое, нанннзшее по энергия состоянне квантовых полей, в том числе электромагнитного.
Сдвнг уровня происходят вследствие взанмодействня злектрома с «фнзнчесннм вакуумом». Трудно сказать, все лн учтено в вышесказанном об атоме водорода: нензвестно, какие еще сюрпризы заготовнла нам прнрода. 170 обоих подуровней 2р в состоянне 1з дает спектральный дублет Е . Удвоение лнннй можно обнаружить только с помощью спектральных прнборов с достаточно высокой разрешающей способностью, так как расстоянне между компонентами дублетов в тонкой структуре уровней очень мало.
Оно составляет 1О '...10 о эВ, тогда кан разность энергий невозмущенных уровней Етр — Еолл!0 эВ. Но н уточненные уровнн энергии (16.26) не совпадают еще с лучшнмн экспернментальными значениями энергии атома водорода. Выясннм причины несовпадения. Во-первых, наряду со спин-орбитальным взаимодействием необходимо учитывать еще несколько поправок на релятнвнстскне эффекты в двнженнн электрона. Еслн выполннть эгст расчет, то получится известная формула тонкой структуры уровней энергнн: Методические указания и рекомендации 1. В пятой главе мы возвращаемся к изучению общих принципов и аппарата квантовой механики, теперь это делается для системы микрочастиц. Центральное положение здесь занимают принцип тождественности и принцип Паули. Вводимые общие выражения симметричных и антисимметричных функций будут использоваться в курсе далее.
Важен для приложений вопрос о моменте импульса системы, сложении моментов. Мы дали в $15 достаточно последовательное его изложение с выводом всех основных формул. Однако возможен и упрощенный вариант: дать правило сложения через соотношение (15.7) и проиллюстрировать его примерами. Конечно, принципиальное значение имеет изложение элементов теории возмущений. В курсе анализ доведен до второго приближения, но возможно ограничиться и первым, сообщая поправку к энергии второго приближения в готовом виде. (Далее в курсе она потребуется.) Материал $ 16, п. 4 предназначен для дополнительного чтения или семинарских занятий, возможна курсовая работа.
И. При изучении материала главы студентам полезно контролировать усвоение, отвечая на вопросы и выполняя упражнения: — Сопоставьте аксиоматические положения механики частицы и системы частиц. Обобщите основные понятия механики частицы на систему. Всесторонне обсудите невозможность различения микро- частиц одного и того же вида друг от друга в одном и том же состоянии. Покажите, как влияет принцип тождественности на операторы и функции состояния.
Запишите общий вид симметричных и анти- симметричных функций состояния для системы из двух, трех частиц без учета спина, с учетом спина. Обсудите различные формулировки принципа Паули. Переформулируйте принцип Паули, используя понятия об энергетическом уровне и ориентации спина. — Выпишите правила сложения моментов импульса и проиллюстрируйте их графически при сложении двух моментов. — Примените теорию возмущений в качественном анализе снятия вырождения уровней энергии некоторой системы за счет возмущения.
Выполните упражнения к главе. Упражнение Ч 1. Правила коммутации проекций моментов импульса Е, и Е~ выражаются формулами (10.2). Покажите, что они справедливы и для проекций суммарного момента: Е= Е, + Еь Р е ш е н и е. Учтем, что операторы, относящиеся к разным подсистемам, коммутируют между собой: Е» = Е !»+ Е2», Еу = Е!у+ Е22, Е» = Е1»+ Е2», [Е„, Еу]=[(Еи+Е2»), (Е~у+Еуу)]= =[Е$», Е!у]+[Е~», Еуу]+[Е2», Е!у]+[Е2», Еуу]=юпЕ!»+уйЕ2»=»»»Е».
2. Покажите, что [Е", Е,]=0, где Е=Е1+ Ег. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатами решения задач 4.11 и 5.1. 3. Докажите справедливость перестановочных соотношений (15.4) и (15.5). Р е ш е н н е. Покажем, что коммутнруют операторы Я и 1 . Оператор И коммутирует с каждой из проекций моментов Е~ и Е2 Отсюда следует 2 перестановочное соотношение [Еь Ем+ Е2»]=0 н еще два, аналогичных ему. Замечая, что Е,Е2=Е~»Е2»+Е~уЕ22+Й»Е2., получаем [Еуь Е,Е2]=0 Это позволяет доказать, что [Еь У~]=0.
4. С помощью теории возмущений покажите, что запрет Паули справедлив и для систем взаимодействующих частиц. Решение. Допустим, что взаимодействие частиц рассматривается как малое возмущение. Состояние невозмущенной системы описывается такими волновыми функциями, которые обращаются в нуль, если две частицы находятся в одном квантовом состоянии. Волновые функции первого приближения представляют собой линейные комбинации функций состояния невозмущенной системы. Поэтому в первом приближении также выполняется запрет Паули.
По тем же причинам он справедлив в любом приближении. ГЛАВА ЧЪ. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ Применим законы механики системы микрочастиц и атомам— системам, состоящим из ядра и нескольких (от двух у гелия до 92 у урана) электронов. Для изучения многоэлектронных атомов характерно применение приближенных методов, в частности теории возмущений.
В нашем курсе даются в основном качественные представления о теории строения многоэлектронных атомов, необходимые для понимания их общих свойств, физических основ объединения элементов в таблицу Менделеева, природы химической связи. 172 й 17. АТОМ ГЕЛИЯ 17.1. Энергия и функция состояния атома гелия в нулевом приближении теории возмущений. Атом гелия с двумя электронами— система уже достаточно сложная; исследовать ее приходится приближенными методами, Если пренебречь магнитными взаимодействиями, которые гораздо слабее электрических, то гамильтониан системы двух электронов, взаимодействующих между собой и с ядром гелия примет вид в2 х2 2хе' 2хе' хе' Н= — — Л2 — — Л2 — — — — +— (17З ) 2т 2т Г2 Гг ГМ ' Здесь Л2 и Л2 — операторы Лапласа по координатам первого и второго электронов; г2 и г2 — операторы расстояний частиц до ядра; гм — оператор расстояния между электронами; п2 — масса электрона (ядро считается неподвижным).
Для уравнения Шредингера с оператором Гамильтона (17.1) точное решение неизвестно. Поэтому применим теорию возмущений. Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих электронов в поле ядра. Ее мы используем для введения нулевого приближения при изучении атома гелия. Итак, уравнение Шредингера для невозмушенной системы: На)= Е1 содержит гамильтониан: х2 а' 2хе' 2хе' НΠ— Л! Л2 2т 2т Г2 Г2 Как известно, волновая функция системы невзаимодействующих частиц может быть представлена в виде произведения: )...,( 2)=ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
