Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В частиости, это справедливо для изолироваииой системы. Что же касается величии У.1, У.,» и т. д., относящихся к отдельным частицам (или частям системы), то оии, вообще говоря, не имеют определенных значений (за исключением, модулей спиноз частиц) и ие являются интегралами движения. Если взаимодействия внутри системы, зависящие от моментов частиц, достаточно слабы или отсутствуют совсем, то в некотором приближении или точно наряду с постоянством суммарного момента сохраняются моменты подсистем. Понятно, что допустимые значения полного момента как-то зависят от величины моментов частей системы.
Этот важный вопрос нуждается в подробном анализе. Заметим, что в классической физике подобной проблемы нет. Задача там решается сложением соответствующих векторов по правилам векторной алгебры. В квантовой теории физическим величинам сопоставлены операторы. Поэтому при введении новой величины — момента импульса системы — заново рассматривается вопрос о спектре ее наблюдаемых значений. 15.2. Двр способа опнсанмя системм, состоящей нз двух невзанмодействующнх частей. Пусть система состоит из двух невзаимодейстиующих частей, находящихся в состояниях с заданными значениями момента импульса Е, и Ег. Первая подсистема описывается волновой функцией чь „являющейся собственной функцией операторов П н Ещ и принадлежащей их собственным значениям: Л.Д Д+1) и ать Аналогично для описания второй подсистемы введем функцию гр, (хг), яиляющуюся собственной функцией операторов Ет и !.щ и принадлежащую нх собственным значениям: Л-~/1~(!у+1) н Лглт.
Любые два оператора, относящиеся к разным подсистемам, коммутируют друг т г с другом. Поэтому все четыре оператора: Еь Ег, Е, и Е, — попарно коммутируют. Функции (15.3) ф„ щ щ (х!хт)щ фг щ (х,) тг (хг) янляются их общими собственными функциями. Они описывают такое состояние системы, в котором каждая из ее частей имеет определенное значение момента импульса н его проекции. Состояние системы полностью определяется четверкой квантовых чисел: !ь !т, т, и тт При заданном квантовом числе !> может быть 21~+! состояний с различными значениями квантового числа гпь Точно так же при фиксированной величине б может быть 2!г+1 состояний, различающихся проекцией момента, т.
е. квантовмм числом глт. Поэтому при заданных моментах Е| и Ег имеется (2!>+1)(2!г+1] различных квантовых состояний всей системы. Они отличаются друг ог друга квантовыми чнсламк т< и глг. для оператора суммарного момента импульса; У=Е~+Ег операторы проекций имеют вид У,=Ещ+Е„г г'г=Еу,+Еуг 1,=)-в+1-щ а оператор квадрата полного момента импульса— )э=(Е,+Ег)т=Е[+ Е[+2 (Е|Ег), !о+! у ! уг+Ег (щ.
Непосредственная проверка расчетом коммутации операторов ~У и У, с оператора- ми, относящимися к подсистемам, даст следующие результаты. Оператор г" ком- мутирует с операторами Е< и Еь но не коммутирует с операторами Е, и Ещ: [У' Е[)=О, [Д Ез)=О, [(1, Ещ[ФО, [У, Ещ)теО. Оператор У. коммутнрует как с операторами Е[ и Й, так и с операторами Е, и Ещ; [ущ Ь[=0, [Ущ К[[=0, [/щ Ещ)=0, [Ущ Ещ)=0. (!5.5) Отсюда видно, что не существуег состояний системы, и которых одновременно имели бы определенные значения все шесть величин: А Ущ Еь Ег, Ещ, Е,, но имеются состояния с онределенныли значениями пяти величин: Еь Ет, Ещ, Е„, г', и состояния с онрвделенными значениями четырех величин: Д Ущ Еь Еь Сосгояиия первого типа описываются вохновыми функпиями (15.3). Уже говорилось, что эти функции являются собственными функциямн операторов Е[, Е[, Е„и Егг Но они также н собственные функции оператора г'к ург!(1+1)ягщ(х)гуг(хг)Л(гн+)фггщ Рнс 15.1 Рнс 152.
Таким образом, оказалось, что функция (15.3) соответствует собственному значенню: У,=дтэ причем щ!=т~+ть Состояния второго типа характернзуются квантовымн числами Уь Уз, ),тг Обозначнм соотвегствующне нм волновые функцнн через фьь„„,(хь хт). Онн являются собственными для операторов У, У., ь1, Я Две группы коммутирующих операторов: 5ь Ц, У.„, 1.„, 1, н ьь У.ь 1, У*— пересекаются; трн оператора: О, ь! н 1, — входят как в ту, так н в другую группу.
Поэтому число общих собственных функций для двух указанных наборов операторов должно быть одно н то же. Отсюда следует, что прн одних н тех же значениях 1~ н !з число квантовых состояннй второго типа равно числу квантовых состояний первого типа, т. е. (21~+1)(2(т+1). Два разобранных способа опнсання системы находят наглядное отображение с помощью так называемой векторной модели. Первому нз ннх соответствует независимая прецессня векторов Е~ н У.з вокруг осн Ох, нзображенная на рнсунке !5.1. В этом случае величины Ьь ьь 5гг Ум н 1, являются интегралами движения. Кроме того, У,=оп+1, Прн втором сйособеем предполагается, что вокруг осн Ог прецесснруег вектор 7 (рнс. !5.2).
Прн этом сохраняются величина момента 1 н его проекция на ось. Вектор У получается путем сложення векторов Уч н ьт по правнлу параллелограмма, Слагаемые векторы постоянны по модулю н располагаются под постоянным углом друг к другу (н к вектору 7). Онн также прецесснруют вокруг направления вектора суммарного момента. 15.3. Задача о сложении моментов импульса. Оператор полного механического момента, или момента импульса, системы определен ранее формулой (15.1), которая аналогична классической формуле У=1 Е,. ь=! Для замкнутой макроскопической системы материальных точек суммарный момент У сохраняется во времени, а векторы Е» — величины переменные.
Поэтому для вычисления У следует знать мгновенные значения Еа в один и тот же момент времени. Измерение У упрощается, если его можно произвести до начала взаимодействия в системе; искомая величина У остается неизменной далее при любом внутреннем взаимодействии. 157 Закон сохранения момента импульса замкнутой системы справедлив и для микрочастиц; поэтому полный момент можно находить по измеренным моментам ее невзаимодействующих частей, а результат использовать и после «включения» взаимодействия. Однако суммирование векторов У.» в квантовой механике осложняется новыми свойствами, приобретаемыми моментом импульса в микромире.
Определенные значения имеют модуль и одна проекция, они квантуются; определенные значения указанных величин для суммы и слагаемых имеются не во всех квантовых состояниях системы. Задача на сложение моментов импульса в квантовой механике такова: заданы модули моментов частиц системы; требуется определить допустимые значения модуля и проекций полного момента. Так, в теории многоэлектронных атомов возникает вопрос о нахождении момента импульса электронной оболочки по известным (из задачи о частице в центральном поле) моментам отдельных электронов. Аналогично ставится вопрос о суммарном спине нескольких электронов в атоме, о спине ядра, состоящего из протонов и нейтронов. Для получения правил сложения моментов импульса рассмотрим систему, состоящую из двух частей, не взаимодействующих между собой.
По условию задачи они находятся в состоянии с определенными значениями У,ь У.ь Нас интересуют значения модуля и проекции момента импульса системы У, У,. Следовательно, нужно рассматривать фикции состояния системы, собственные как для операторов У.'1 и Уь так и для операторов У и У,. Нетрудно показать, что операторы У,ь У.(, У, У, коммутируют между собой, т. е.
существуют состояния системы с определенными значениями указанных четырех величин: заданных У.~ и У.1 и искомых У м У, (или заданных (~ и !» и искомых /ит;). Однако в таких состояниях проекции складываемых векторов У.ы и У.ы не имеют определенного значения, так как операторы У.ы и У.м с оператором У не коммутируют. Поэтому ориентация векторов и У.» неопределенна, а их сумма может принимать несколько значений. Если мы найдем !,„и /,„, то остальные значения ! заключены между ними и отличаются друг от друга на единицу; это следует из общих правил квантования момента импульса (см.
$ (5, п. !). Для нахождения крайних значений ! воспользуемся нестрогим, но наглядным методом векторных диаграмм, приводящих к верному результату. На рисунке (5.3 систему складываемых векторов У.~ и 1.» надо считать вращающейся вокруг сектора У, а сам вектор У вращающимся вокруг оси Ог. Поэтому проекция У, постоянна, а У.ы и бы нет. На рисунке (5.3, а показан случай наименьшего угла между векторами (.1 и У.ь У принимает наибольшее значение; соответственно на рисунке )5.3, б — наименьшее. Следовательно, искомые значе- 188 а )у Рис 15.3 ния ! удовлетворяют неравенствам, справедливым для сторон треугольника: !.) — !-2(У(1-1+!2 (15.6) Проверим, что неравенства (15.6) выполняются, если !) ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
