Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому частица с энергией Е не может подойти как угодно близко к началу координат Может или не может частица иметь координату х- оо, зависит от знака полной энергии. На больших расстояниях от начала координат (l (х) = О, и уравнение (5.1) принимает вид — ®-+ й'ф = О, (5.2) Уравнение (5.2) имеет два линейно независимых решения; ф~ =Се "" и фэ=Се+и". Если Е< О, то физический смысл имеет только решение фь так как ф, расходится на бесконечности. Но 0 при х-+ оо. Это означает, что частицу можно обнаружить только на конечных расстояниях от начала координат.
Такое движение называется финитиым. При Е= 0 одному и тому же значению энергии соответствуют Рис ьл. 47 два разных решения: т(г~ и трг, описывающие частицы, движущиеся от начала координат в бесконечно удаленные точки и нз бесконечности к началу координат. В этом случае движение инфинитно, так как есть отличная от нуля вероятность обнаружить частицу сколь угодно далеко от точки х=0. Итак, аналогично классической механике (см.
ч. 1, $ !2) квантовая механика приводит к фннитному движению в случае, если полная механическая энергия частицы отрицательна, и к инфннитному, если она положительна. Обратим внимание и иа то, что волновая функция отлична от нуля в тех точках, где 0 (х)) Е. Это означает, что микрочастица может быть обнаружена там, где запрещено появляться классическим частицам. Если потенциальная энергия больше полной механической энергии, то по законам классической механики тог — =Š— (l (х)(О, 2 (3.3) ша что невозможно, так как — ) О. С тачки зрения квантовой механики это неравенство 2 смысла не имеет, потому что в состояниях с определенной полной энергией ни кине- тическая, ни потенциальная энергии в общем случае не принимают точных значений.
Поэтому формулу (5.3) нельзя применять к квантовым объектам непосредственно. действительно, указывать потенциальную энергию можно только тогда, когда точно задано положение частицы, Кинетическая энергия соответственно имеет определец- ные значения в состояниях с точно заданным импульсом. Отсюда следует, что в при- роде не существует состояний, в ноторых кинетическая и потенциальная энергии имели бы определенные зинчения одновременно. (5.4) Из условия задачи вытекают граничные условия: тр (0)=0, ф (и)=0. Общее решение уравнения (5.4) известно: ф = С~с"х+ Сге (5.5) (5.6) 5.2. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Потенциальное поле, удерживающее частицу в ограниченной области пространства, можно грубо моделировать потенциальной ямой бесконечной глубины. В одномерном случае полагаем (г' (х) = 0 при 0<х<и и (у(х)= оо при х(0, х>а. Данные условия физически означают, что частица не может покинуть участок оси Ох между точками О и а, так как на границах на нее действуют бесконечно большие возвращающие силы.
Для выхода за пределы отрезка требуется бесконечная энергия, а кинетическая энергия рассматриваемой частицы в яме конечна. Прямоугольная яма в самых общих чертах описывает системы со связанными состояниями частиц. Молекула газа в объеме какого-то сосуда, электрон в атоме или нуклон в ядре — вот примеры систем, в которых частица не выходит за пределы некоторой области пространства.
Уравнение (5.1) для частицы, движущейся внутри ямы, записывается в следующем виде: Возьмем в формуле (5.6) х=О. Из первого условия (5.5) находим С~+Со=О. Следовательно, С~= — Со=С н ф= С з|п йх Чтобы удовлетворить второму граничному условию (5.5), нужно считать й= — "", н=(, 2, а Итак, решение (5.4), удовлетворяющее граничным условиям, найдено: это система функций ф, (х) = С„яп — ""х, а (5.7) описывающих возможные стационарные состояния частицы в яме.
Физический смысл квантового числа и заключается в том, что оно определяет набор стацнонарных состояний н соответствующие нм значения энергии частицы. С помощью формулы (5.4) находим (5.8) 2та' Энергия оказгявается квантованной величиной. Существенно, что квантование получено в процессе решения уравнения Шредингера с учетом требований, налагаемых на волновую функцию (однозначность, непрерывность, ограниченность), н граничных условий (5.5). Для окончательного определения вида волновой функцнн требуется выбрать коэффициент С„так, чтобы выполнялось условие нормировки: а 1 ~зр„~тих=(, о После вычисления данного интеграла для функции (5.7) получаем (5.9) Диаграмма распределения плотности вероятности для коордннаты х в нескольких стационарных состояниях изображена на рнсунке 5.2. Если добавить к найденной координатной части функцнн состояния временной множитель (3.6), то получается стоячая волна с числом узлов, на единицу большим и (счнтая н узлы на краях ямы).
Узлы есть точки, в которых частица никогда не обнаружнваегся. С ростом квантового числа в число узлов н пучностей возрастает, диаграмма приближается к равномерному распределению вероятностей, характерному для классической частицы. Действительно, по законам классической механики материальная точка в яме будет двигаться вперед и назад, имея постоянную зиергию Е и модуль импульса: р=х(2жЕ.
Вероятность ее обнаружения на участке ах пропорциональна времени а х Рис. 5.2. Рис. 5.3. йх ~т ирабыааиия аь Так как Ж= — = т! — йх, то йФ'=сопя! пх, т. и. ы=сопа!. и Ч2Е Таким образом, нз сравнения поведения мнкрообъекта с макро- объектом в том же склоном поле усматривается общее правило: ло мере роста энергии или квантового числа п движение микро- частица становится все более близким к классическому.
На рнсунке 5.3 изображена энергетическая диаграмма. Обратим внимание на отношение Е„,! — Е 1 Е и Оно стремится к нулю прн п — пп, т. е. в пределе получается практически непрерывная последовательность уровней энергии. Характерно, что самый нижний уровень энергии не равен нулю. Такое положение типично для любой связанной частицы. Согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга неопределенности коордннаты частицы Лхс а соответствует неопределенность импульса Лр= —, а значит, н энергнн КЕ= ' . Это минимальное значе- 2пЛ ап' а 2т нне энергии частицы, связанной в области с протяженностью а, по порядку величины соответствует г5.8).
Важно, что чем меньше область пространства, в которой локализуется частица, тем больше ее минимальная энергия. Дискретность уровней энергии, наличие состояния с неравной нулю минимальной энергией являются общнмн чертами всех финитных движений. Сейчас познакомимся с новой характеристикой состояний микро- 50 частиц. Она выявится, если перенести начало координат в решенной выше задаче в точку х= —. В новой системе отсчета волновая а 2 ' функция принимает вид ф„(х)= ~(~ — з1п — ""(х+ а )= л ( — 1) '-~/ — з!и — """, и=2, 4, 6, ... а а ( — !)" ' ~ — соз — """, и=1, 3, 5, . т а О (5.
1О) Функция состояния для четных н нечетных значений квантового числа п по-разному ведут себя прн изменении направления осн Ох на противоположное. Состояния с нечетным п опнсываются четными функциями; состояниям с четным и соответствуют нечетные функции. В первом случае частице приписывается равное единице значение новой для нас физической величины — четности, во втором случае ее значение равно минус единице. Четность есть сохраняющаяся для замкнутой системы частиц величина, не нмеющая аналога в макромире.
(Подробнее четность обсуждается ниже в$9 п. 7.) 5.3. Прямоугольный потенциальный барьер. Введем понятие о потенциальном барьере. Для этого рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия двух протонов, диаграмма которой показана на рисунке 5.4. На расстояниях, больших радиуса действия ядерных сил: г4= 1,7 10 " см, — проявляется кулоновское отталкивание (участок диаграммы прн г)г4). При г г4 основную роль играет сильное (ядерное) взаимодействие, обусловливающее притяжение нуклонов (протонов н нейтронов).
На расстояниях, меньших г,= =0,3 1О "см, притяжение вновь сменяется отталкиванием (но те- Рис. 5.5. а — поток частиц, падающих на барьер; Ь вЂ” поток частиц, отраженных от барьера; с — поток частиц, прошедших барьер. перь это сильное, а не электромагнитное взаимодействие). Таким образом, диаграмма потенциальной энергии представляет собой потенциальную яму, ограниченную слева прямоугольным потенциальным барьером (ход графика здесь не уточнен, высота порядка 200 МэВ), а справа — барьером высотой порядка 25 МэВ, плавно спадающим при росте г.
Если протонам удастся сблизиться до расстояний г(га, то происходит реакция ядерного синтеза, нуклоны образуют связанную систему — ядро атома дейтерия. (Связанному состоянию соответствует модель частицы в потенциальной яме.) Но такому сближению частиц препятствует потенциальный барьер. Для выяснения возможности реакции требуется решить задачу о прохождении частиц через барьер при различных энергиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
