Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3.2. Стационарные состояния. Очень важным в теоретическом и практическом отношениях является случай движения частиц в стационарном потенциальном поле, когда потенциальная энергия не зависит от времени: (/= У (х, у, г). Если это условие выполняется, то уравнение Шредингера допускает разделение временной и пространственных переменных: уравнение распадается иа два независимых уравнения.
Для доказательства последнего утверждения сделаем подста- новку — ( — й Л+(7) гр=Е. (З.б) Теперь исходное уравнение распалось на два независимых уравнения для временной и координатной частей волновой функции. Уравнение (3.4) легко решается. Его общее решение имеет вид (=Се "', оз= —. (З.б) Обратим внимание на то обстоятельство, что зависимость от времени для функции состояния частицы, находящейся в стационарном потенциальном поле, всегда одна и та же: функция 7 не зависит от вида поля. Уравнение (З.б) называется стационаркым уравнением Шредикгера или уравнением Шредингера без времени.
Его обычно записывают в виде бф+ ~(Š— Ь'(х, у, г)) ф=О, (3.7) При такой записи отчетливо видно, что параметр разделения переменных Е имеет размерность энергии. Его отождествляют с полной механической энергией частицы. (Доказательство этого положения будет дано позднее.) В постоянном поле энергия является сохраняющейся во времени величиной: Š— константа и не зависит от времени. Состояния частицы с определекной энергией называются стациокаркыми.
Они описываются волновыми функциями вида — — к! ф (х, у, х, г)=ф (х, у, г) е (3.8) В таких состояниях плотность вероятности для положения частицы оказывается постоянной, не изменяющейся со временем: гв=|ф~з= р П р ни ер ЗЛ. Стационарное куаоновское поле. Рассмотрим электрон в поле ядра атома водорода. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром выражается формулой хе' тг(к, р, г)= —, Г Полезно заметить, что в нестационарных состояниях определенного значения энергия не имеет. З.З.
Плотность потока вероятности. Движению микрочастицы соответствует перераспределение плотности вероятности щтр~з в пространстве. Вероятность как бы перетекает из одних мест в другие. Движение частиц в пространстве характеризуется с помощью специальной величины — плотности потока вероятности, которую можно найти, опираясь на основное уравнение квантовой механики. где г — расстояние от электрона до ядра. Эта стационарное поле: в нем возможны состояния с определенной энергией.
Так уравнение Шредингера приводит к след- ствию, совпадающему с постулатам Бора о стационарных состояниях. Определим, как изменяется величина и!= !ф!~ с течением времени: д! ) д! д! (3.9) Из уравнения Шредингера следует выражение для производной: Выполняя операцию комплексного сопряжения, имеем -"-= — — ' !'Ф*+ — ' 1!!Р*.
д! 2т в Подстановка производных — х- и ~х- в формулу (3.9) приводит к д! д! выражению — = — (Ф* лФ вЂ” ФИ*) д! 2т (3.10) Легко проверить, что справедливо тождество х7 (ф х7 Ф вЂ” !р* ~7 Ф) = Флф* — !р*лф. Поэтому формула (3.!О) может быть представлена в виде дт — = — Йч 1, а! (3.11) где 2т (~ гд (3.12) а с другой— ~ Йт !тй)!=ф! и'о.
Получаем равенство (3.13) Отсюда следует, что убыль вероятности нахождения частицы в объеме Р равна потоку вектора ! через поверхность, ограничивающую объем. В физике уравнения типа (3.11) выражают закон сохранения 2а Эта величина и есть вектор плотности потока вероятности, так как выражение (3.1!) совпадает по форме с законом непрерывности тока (см. ч. П1, (!.6)).
Смысл названия становится ясным, если проинтегрировать уравнение (3.!!) по некоторому объему 1' и применить теорему Гаусса. С одной стороны, д! д! ~ какой-нибудь величины. В данном случае речь идет о вероятности. В силу условия нормировки количество вероятности во всем пространстве сохраняется, вероятность лишь может перераспределяться между отдельными областями. 3.4.
Закон сохранения чисаа частиц. Сохранение вероятности можно трактовать как сохранение числа частиц. В наиболее наглядной форме этот закон выступает, если допустить наличие в пространстве М независимых друг от друга одинаковых микрочастиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Все частицы описываются одной и той же волновой функцией. Если М>)1, то величина М 1ф1' равна плотности частиц в каждой точке пространства; интеграл )У~ ~р~2дУ определяет число частиц в объеме Г; производная —,'„()У ~ ~Ф'др) описывает изменение числа частиц в указанном объеме за единицу времени.
Интеграл М су) сВ '5 равен потоку частиц через поверхность, ограничивающую объем, а вектор М(т есть плотность потока частиц. Поэтому равенство —,',(й1 ~ Ч~'ду)= — )УЬ1Б, (3.! 4) 5 следующее из соотношения (3.13), выражает закон сохранения числа частиц в процессах, описываемых уравнением Шредингера: частицы не исчезают и не появляются в любой области пространства, они лишь могут входить в заданную область и выходить из нее. Произведение Ж1д5 есть число частиц, проходящих в единицу времени через площадку д5, поставленную перпендикулярно потоку. Отношение — 1 — определяет вероятность прохождения частицей ММ5 МФ5 единичной по размерам площадки, поставленной перпендикулярно потоку (за единицу времени).
Мы видим, что указанная вероятность равна модулю вектора плотности потока вероятности. Таким образом, этот вектор может содержать непосредственную информацию о движении частицы. В заключение данного пункта укажем полезное соотношение. Любая комплексная функция может быть записана в виде (2.3): 29 зр = Йе'", где )т и а — действительные функции от координат и времени. Мы предоставляем читателю возможность доказать, что функции состояния (2.3) соответствует вектор плотности потока вероятности: М' 1= — йтао а. м (3.15) Формула (3.15) будет неоднократно использована в дальнейшем. 3.5.
Волновая функция свободного движения частицы. Решим уравнение Шредингера для свободной частицы. В микромире частицу считают свободной, если внешние воздействия отсутствуют, т. е. (7(х, у, г, 1)=0. Это тоже одно из стационарных полей, следовательно, энергия частицы сохраняется. Можно сразу перейти к уравнению Шредингера без времени. Для свободной частицы оно имеет вид лр+й'р=о, где йз 2тЕ Положим р (х, у, г) = ~р1(х) срз (у) <рз (г). После подстановки имеем (3.16) Лз кз доз $з с~з -„-~+ ~р ~ (рз -++ 717г — ++ й чз1срзсрз = О. (3.17) Чтобы разделить переменные, делим уравнение (3.!7) на произведение ср~грз~рз.
Получаем (3.18) ф~ Ихз вз ну %3 Нзз Поскольку функции ~рь рз и ~рз зависят от разных переменных, ра- венство (3.18) выполняется только при условии, что все слагаемые постоянны. Примем тз ау' яз Изз (3.19) Оно имеет два линейно независимых частных решения: Сзе'" и зо причем йз 1 йз 1 йз йз (3.20) Все три уравнения (3.19) однотипны. Поэтому достаточно решить одно из них. Выпишем уравнение для функции ~р~.. ~г ', +й„р,=о.
Йзз Сте *'*". Отсюда видно, что исходное уравнение (3.16) допускает частные решения вида р = Се' (ь*'ч ""+ '**'= Се'". Здесь (т — постоянный вектор. Введем другую сохраняющуюся величину — вектор импульса р=йй. В таком случае решение (р(х, у, г)=Се» (3.21) описывает частицу с импульсом р и энергией Е.
Связь энергии и импульса дается формулой (3.!6). Как и в классической механике, Š—.Г 2»т ' Если учесть временной множитель (3.6), то получим полную функцию состояния; — (ру — е(! (3.22) (р(х, у, г, ()=Сегпй '(=Се" Это плоская монохроматическая волна, которая совпадает с волной де Бройля (1. !5). Такое совпадение, конечно, не случайно, поскольку при разработке квантовой механики с самого начала использовалась гипотеза де Бройля. Плотность вероятности для координат частицы при свободном движении равна: н(= !С!', т.
е. имеется равная вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства. Особенность волновой функции (3.22)( для нее не выполняется условие нормировки (2.5). В данном случае ~ (, (З,~р Физически зто может быть вызвано тем, что абсолютна свободных частиц не существует в природе. Позтаму понятие о свободном движении — некоторая идеализация реального положения дел, допустимая потому, что всегда возможны состояния, весьма близкие к свободному. В принципе мы моглн бы записать функции состояния для «почти свободного движения» и пользоваться только нми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
