Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Разобранный пример 2А в какой-то мере отражает фактический предел той степени наглядности, которая возможна при описании движения частицы с помощью волновой функции. В рамках квантовой механики, в сущности, бессмысленно задавать следующие вопросы: в какой точке находится частица, движущаяся с определенной скоросгып? По какой траектории происходит ее движение? Чему равно в данный момент значение ее координаты к? Природа такова, что на микроскопическом уровне достоверных ответов на такие вопросы получить нельзя. Можно только указать распределение вероятностей для координат и его изменение со временем, если плотность вероятности зависит от времени. 2.4.
Принцип суперпозиции состояний. Своеобразие описания состояний и движений микрочастиц с помощью тр-функции проявляет- ся в правилах сложения волновых функций, выражающихся принципом суперпозиция состояний. Принцип суперпозиция в том илн ином виде характерен для всех фундаментальных теорий. Так, в классической механике он приводит к векторному сложению ускорений материальной точки, вызванных одновременным действием нескольких независимых сил.
В электродннамнке имеет место закон векторного сложения напряженности полей, созданных различными источниками. Допустимы н обратные действия разложения сил н напряженностей на составляющие. Принцип суперпозиция в квантовой механике состоит в следующем: пусть в данных условиях возможны различные состояния частицы (или системы частиц), вписывающиеся волновыми функциями цч, грь ..., тогда возможно и состояние частицы (системы), описываемое ее линейной комбинацией: ф=Х с;р., (2.6) где С, — комплексные числа, удовлетворяющие условию Х ~С,~'=Е Равенство (2.6) допускает и несколько иную физическую интерпретацию, которую мы будем считать второй частью содержания принципа суперпозиция: пусть в данных условиях частица (система) описывается волновой функцией ф и при этом справедливо равенство (2 б).
Тогда частица (система) с вероятностью В'„равной ~ С ~т, находится (может быть обнаружена) в состоянии ~р,. Согласно этой формулировке, которая, по существу, является обратным чтением равенства (2.6), состояния гр, прн данных условиях' образуют альтернативный ряд состояний н частица находится в том нли ином нз ннх с определенной вероятностью Фь Покажем, в каком отношении между собой находятся волновая природа мнкрочастиц и принцип суперпозиция состояний.
Для этого снова обратимся к мысленному опыту и рассмотрим дифракцию частиц на двух отверстиях. Причем опыт произведем следующим образом. Пусть сначала открыто верхнее отверстие н закрыто нижнее— получается одна днфракцнонная картина на экране. Затем закроем верхнее отверстие и откроем нижнее — получим другую днфракционную картину. Третья дифракцнонная картина получается при обоих открытых. отверстиях. Если бы речь шла не о мнкрочастицах, а о движущихся по законам классической механики малых телах— корпускулах, то каждое тело проходило бы через одно отверстие вне зависимости от наличия другого. Поэтому днфракцнонная картина прн обоих открытых отверстиях была бы простым наложением друг на друга картин дифракцнй, полученных на каждом нз отверстий по отдельности.
Однако для микрочастиц опыт обнаруживает дифракцню на двух отверстиях с картиной распределения максимумов н минимумов, от- личной от простого наложения картин дифракции только от первого отверстия и только от второго. Это новая дифракционная картина. Результаты опыта в квантовой механике объясняются с помозцью принципа суперпозиции. Пусть фз — функция состояния, соответствующая одному открытому отверстию, а фт — другому. Плотности вероятности, определяющие дифракционную картину в каждом случае, определяются функциями и11=фзф1 и12=ф2фт.
При обоих открытых отверстиях функция состояния находится как сумма гр1 и грт. ф — 1Р1+ ф2. Но теперь ей соответствует новое распределение вероятности: ф ф ф! ф1+ф2ф2+ф1фз+ф2ф1, причем Ы ча ш1+ и12. Именно потому, что складываются волновые функции, а не вероятности, и возникает новая днфракционная картина — результат интерференции волн фз и фт. Сложение волновых функций, а не вероятностей — важнейшая особенность суперпозиции состояний в микромире.
Благодаря этому волновая функция является исходньгм математическим средством описания состояния микрочастиц. Видоизменим опыт по наблюдению дифракцнн электронов на диафрагме с двумя отверстиями. Поставим за каждым яэ ннх источник света. Регистрируя фотоны, рассеянные на частицах, мы в принципе можем установить, через какую щель прошел электрон, попавший затем в данную точку экрана. В результате оказывается, что каждый электрон проходит толька через одно отверстие. Но и картина днфракцин на экране теперь иная: не та, что была в опыте, где не фиксировалось, через какое отверстие прошел электрон. Теперь дифракцнонная картина представляет собой простое наложение картин днфракцни на каждом отдельном отверстия.
Причина изменения картины состоит в там, что в новых условиях электроны взаимодействуют не только с диафрагмой, но и с детекторами, регистрирующими прохождение щели электронами. (Второй опыт не позволяет ответить на вопрос: через какую щель прошел электрон в условиях первого опыта?) Обсудим результаты опытов, применяя принцип суперпознцни состояний. В опыте с двумя отверстиями без детекторов альтернативные события — прохождение того илн иного отверстия — неразличимы, и вероятность попадания электрона в некоторую точку экрана находится по формуле мз= ~ р|+ рз~'.
В опыте с детекторами альтернативы различаются н эгз=! Р Р+ М', так как интерференции волновых функций нег. (Условия для интерференции нарушены столкновениями электронов с фотонами при работе детекторов.) Приведенные результаты наглядна свидетельствуют, чта волнован функция содержит в себе лишь ту инфармацию, которая соответствует наличному взаимодействию. В опыте с двумя щелями не предусмотрено получение информации о прохождении электронам определенного отверстия, и картина соответствует взаимодействию 24 с обоими отверстиями. В опыте с детекторами отверстие специально выделяется посредством дополиительиого взаимодействия, и картина соответствует взаимодействию с обоими отверстиями в отдельности.
3 3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА — ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 3.1. Вид уравнения и общие свойства его решений. В классической механике кинематическое уравнение г=г (1) описывает механическое состояние материальной точки в каждый момент времени. В квантовой механике ему следует сопоставить волновую функцию тр=тр(г, 1). Важная задача классической механики — расчет движения материальной точки под действием заданных сил, т.
е. нахождение кинематического уравнения. Она решается с помощью основного уравнения классической динамики — уравнения второго закона Ньютона. Аналогичным образом функция состояния (и-измененне функции состояния) микрочастицы, движущейся в заданном силовом поле, находится с помощью основного уравнения квантовой меха- кики — уравнения Шредингера.
Оставляя в стороне историю его открытия, запишем уравнение Шредингера для рассматриваемого случая сразу в готовом виде: 13+= — —,' б"р+ ( у, г )р (3.1) Это дифференциальное уравнение в частных производных. В нем г — мнимая единица; Л вЂ” оператор Лапласа; т — масса частицы; тр(х, у, г, 1) — волновая функция; (.г(х, у, г, 1) — потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле. Функция (г' (х, у, г, 1) берется из классической механики для каждого силового поля.
Конкретные задачи различаются тем или иным видом зависимости потенциальной энергии от координат и времени. При заданной функции (г'(х, у, г, 1) ищется общее решение уравнения Шредингера (3.1). Решение содержит некоторые произвольные функции координат и времени.
Эти произвольные функции находятся и исключаются из общего решения в конкретных случаях с помощью начальных и граничных условий. Начальное условие тР (х, у, г, О) = 1(х, у, г) определяет вид тр-функции во всех точках пространства в момент времени 1=0. В свою очередь граничные условия задают значения волновой функции во все моменты времени иа границах некоторой области пространства или на бесконечности.
Совокупность начальных и граничных условий вместе с условием нормиров- 25 ф(х, у, г, 1)=ф(х, у, г)1(1) в уравнении (3.1). Получаем (дгр — (-=(( — ~ А+0) р, (3.2) Разделим уравнение (3.2) на произведение р1. Оно примет вид ( ' д+(~)„ (3.3) Левая и правая части равенства (3.3) зависят от разных независимых переменных. Поэтому соотношение (3.3) выполняется тогда и только тогда, когда указанные части равны одной н той же постоянной.
Полагаем — -~~-= Е, ш (3.4) ки определяет волновую функцию — теперь уже частное решение уравнения Шредингера. После того как ф-функция найдена, возникает возможность статистически предсказать поведение микрочастицы. Так преломляется в микромире принцип причинности, известный из классической физики: однозначная динамическая закономерность существует для ффункиии, а через нее определяется статистическая закономерность для микрочастиц, Основное уравнение квантовой механики является линейным и однородным дифференциальным уравнением в частных производных. Отсюда следует важное в физическом плане заключение: если функции ~р; — некоторые частные решения уравнения, то любая их линейная комбинация тоже возможное решение уравнения.
Это положение полностью согласуется с принципом суперпозиции, изложенным в $2, п. 4. Можно сказать, что принцип суперпозиции есть следствие линейности и однородности уравнения Шредингера. Свойства уравнения (3.1) проявляются также в том, что его решения оказываются определенными с точностью до произвольного постоянного множителя. Эта неоднозначность устраняется с помощью условия нормировки (2.4). (Но решение и после нормировки можно умножить на произвольный постоянный фазовый множитель.) По причинам, указанным выше, физический смысл имеют только непрерывные, однозначные и квадратично-интегрируемые решения уравнения Шредингера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
