Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Разделенне переменных в уравнения Шредингера приводит тогда снова к уравнениям (77,11), в которых надо положить Е = — 1/2, ш = О, в параметры разделения удовлетворяют теперь условию в,+ в.-о. Параметр В, надо положить равным 1/2 (так, чтобы зависимость ф с ое удовлетворяла первому нз уравнений (Т?,!!) — приближенно, при малых $д')1 тогда Вэ = — 1/2 н для определенна зависимости ф от т! имеем урэвиенне даХ / 1 1 1 д' — +(- — — — + — + — ч)х=о. х=ф*г'ч дЧэ ~ 4 2Ч 4Ч 4 Решая его так же, как решалось уравнение (2), получим теперь вместо (3) -,(, .(,.—.). 4Ат(дэ( прячем 1 ! 1 йгЧ р(ч) "! + У 4 2Ч 4Чх 4 ° ') Так, если радиус ямы и настолько мал, что ак ~ 1> тоА = (2п) 1/э1 см, подробнее в 6 133.
нли, в обычных едннинах, 4те(е(э 2тт!е(э ЕЛ 'хР ( ЗгГ ) ° 2. Определить вероятность вырывания электрона электрическим полем нз потенциальной ямы короткодействуюшнх сил, в козерог) электрон. находятся в связанном з-состояннн. Электрическое поде предполагается слабым в том смысле, что !е(Е ц Лхк"/ш, где к = )'2и~(Е )/Л, '1Е( — энергия связи электрона в яме, ш — его масса (/О. //.
Лелхпз, Г. Ф. Друхарее, 1964). Р е ш е н н е. Как н в задаче 1, в случае слабого элентрнческого поня существенны большие расстояния от центра (кг ~!). На згнх расстояниях волновая функцня связанного состояния электрона в яме (без полн У) имеет асимп. готический вид А Р'й. -нг г АтОм водорода в элпктричпскот поля й тт) 353 Далее, вместо (4) получается Азд , 2 ) Х)' = ехР 1Ч вЂ” 4 —— удг„) ~ зг ) и, наконец, вместо (5) в = пА д'ехр ~ — — ~ 2 3Е У' Е Е= — ~В(р, ")д" +цр+А, В(р, ) =4(р+ — „з)п() ), (8) тз ') Речь может идти, например, об ионизации однозарядного отрицательного иона сильной сиетовой волной; потенциальная яма создается и этом случае изаимадействнем злектрона с нейтральным атомным остатном.
Условие йю ~ ) Е ) обеспечивает прн этом допустимость классического рассмотрения поля электромагнитной волны. или, в обычных единицах, 3. Оценить с экспоненциальной точностью вероятность вырывания элек- трона из потенциальной ямы пад действием однородного переменного электри. чесната поля Е = егз совы(; предполагается, что частота и амплитуда поля удовлетворяют условиям йы ь ) Е (, )е) Юз ~ йзхз(т где х = )Х2т (Е у'й, ) Е) — энергия связи электрона в яме (Л.
В. Келдыш, 1964) з). Р е ш е н и е. При поставленных услоинях вероятносп вырывания т экспо. иенциально мала. Для вычисления одного лишь поназателя экспоненты (беэ предэкспонеицнального множителя) достаточно рассматривать движение нак одномерное — в направлении поля, ось г. Здесь будет удобным описывать электрическое поле ве скалярным, а век- торным потенциалом: А, = А = — (сдэ(ы) з)п ы(. Тогда гамильтониан элект- рона и области вне ямы йримет внд Н= — ( — (й — + 1 г , д )г)дтз Хг з1п ы() 2т 'Ч дг ю (см, ниже (111,3)) н ие содержит координаты г.
Введя безразмерные переменные и безразмерные параметры йх' 2ты йы (е) т8'з ч = — К з) = 2хг, () = —, = —, Е = — ч — з-, 2т ' ° йхз )Е) з — й ззз з напишем уравнение Шредингера в виде дЧг г д (Е та — = — ~ — + — 51П Ж) Чз. 4 дт 'т дз) И Граничное условие к этому уравнению состоит в требовании, чтобы при Ч -ь О его решение Ч" (т), т) совпадало с невозмущенной полем волноиой функцией элек- трона (с энергией Е = — )Е 1) и яме: Ч.' -ь егз при з) -ь О. (у) Ввиду квазиклассичнасти задачи ищем решение (с эхспоненциальной точ- ностью) и виде Ч' = ехр 1Я, где 5 (т), т) — классическое дейстиие.
Так как гэ- мильтониан не заиисит ат координаты з), обобщенный импульс рч = р сохра- няется вдоль классической траектории, так что ятом (гл. я где А, те — постоянные. Прн этом, по смыслу дейсгвпя как фуякпва щюрдпват (см. 1, $ 43), мадо под р понимать аяаченпе, прпводящее траехторню а задан- ную точку т) в момент т, т. е. счятать р фуякпней от т) и т, определяемой урав- неннем двнженпя дд!др = сопзс, т. е. г(т дН (р, т') др (9) т> (постоянная выбрана так, что т! = О прп с = т>). Формулы (8), (9) дают действие, эаннсящее от двух постоянных: т> и А.
Чтобы получнть решенпе, удовлетворя. ющее условию (1), надо (как прн нахожденпн общего ннтегралз уравнении Га- мнльтона — Якоби — см. 1, $47, примечание на стр. !9!) считать А функппей от тч, а гз — 'функпней коордннаты и времени, определяемой условием д5 — = О. ИО) дт'> Очевндпо, что надо положив А (г>) ге! тогда пРн >1 = О вместе с т тз бУдет н 3 = тз, т. е. д т в согласии с условием (7). Равенство (!О) теперь перепн- сывасгся как Н (р, те) + ! О.
(П) Уравнення (9) н (11) совместно определяют фуняппн г (>1, т) и р (>1, т), а тем самым (после подсгаяовкп з (8)) и волновую функппю Ч'(т), т). Искомая вероятность и пропорппопальна плотпостн потока вдоль осн г. В классически доступной обласгн зта плотное>ь есть о, )Ч')>. Начало вюй сб. ласти определяется точкой, где перестает возрастать )щ 5. В этой точке (д!щд(д>))т О, а поскольку ддlдц= р, то 1щр О; яз (9), (!!) следует тогда, что здесь же в ((е р О.
Иэ этого условия определяется зпаченне те: положпн н (1!) р= О, ппвучям 4Р> — з!и> ()т = — 1, > — — ° откуда ()тв ГАгзйу, 'у= — ' и () 2Р (мннмость >момента времеян> т, выражает собой классическую неосуществимость првпесса). Окопчятелыю Гт> и ехр — 21щ~ ) ~ з!и ()т пт'+т» Г 4Рч прячем в качестве т можно ваять любое вещественное эначенпе О>явная часть нгаеграав от него пе эазнснт). Вычнслнв пнтеграл, пелучпм и ехр( — ~ ((7)) ((7) = ~1+ 2 > ~ Агз)>7 — 2 (12) У1+ )л Предельные выражеяня функпян Г (7): ( (7) я> — прн 7 «С 1, ( (7) >в!и 27 — — прп 7 > 1. 27 1 3 2 Предельнее выраженпе и пря 7-> О отвечает вероятности вырывавня частппы пэ потеапнальяой ямы постоянным полем, Формула (12) врнменпма.
ескп показатель экспоненты велик. Для этого во всяком случае должно быть йи щ ) Е ). ГЛАВА Х1 ДВУХ АТОМ НА Я МОЛЕКУЛА й 78. Электронные термы двухвтомной молекулы В теории молекул основную роль играет тот факт, что массы ядер атомов очень велики по сравнению с массой электронов. Благодаря такой разнице в массах скорости движения ядер в молекуле малы по сравнению со скорое;ями электронов. Это дает возможность рассматривать злектропное движение при неподвижных ядрах, расположенных на заданных расстояниях друг от друга.
Определяя уровни энергии 71„такой системы, мы найдем, как говорят, электроиныв термы молекулы. В противоположность атомам, где энергетические уровни представляли собой определенные числа, здесь электронные термы являются не числами, а функциями от параметров — расстояний между ядрами, в молекуле, В энергию У„включается также и электростатическая энергия взаимодействия ядер друг с другом, так что У„представляет собой по существу полную энергию молекулы при заданном расположении неподвижных ядер, Мы начнем изучение молекул с наиболее простого типа — двухапюмных молекул, допускающего наиболее полное теоретическое исследование.
Электронные термы двухатомной молекулы являются функциими всего одного параметра — расстояния г между ядрами. Одним из основных принципов классификации атомных термов была классификация по значениям полного орбитального момента Ь. В молекулах же вообще не имеет места закон сохранения полного орбитального момента электронов, поскольку электрическое поле нескольких ядер не обладает центральной симметрией. В двухатомных молекулах, однако, поле обладает аксиальиой симметрией относительно оси, проходящей через оба ядра. Поэтому здесь сохраняется проекция орбитального момента на эту ось, и мы можем классифицировать электронные термы молекул по аначенням этой проекции.
Абсолютную величину проекции орбитального момента на ось молекулы принято обозначать буквой Л; она пробегает значения О, 1, 2, ... Термы с различными значениями Л обозначают большимн греческими буквами, аоответству1ощимн латинским символам атомных термов с различнымн Е. 1гл. к! двухлтомнля молвкулл 356 Так,' при Л = О, 1, 2 говорят соответственно о Е-, П-, Л-термах; ббльшие Л обычно не приходится рассматривать.
Далее, каждое электронное состояние молекулы характеризуется полным спином 5 всех электронов в молекуле. При отличном от нуля 5 имеет место вырождение по направлениям полного спина кратности 25 + ! '). Число 23 + 1, как и в атомах„называется леудьтиплетностью терма и пишется вверху слева от символа терма; так, 'П обозначает терм с Л = 1, 5 = 1. Наряду с поворотами на произвольный угол вокруг оси, симметрия молекулы допускает также и отражение в любой плоскости, проходящей через эту ось.
Если произвести такое отражение, то энергия молекулы останется неизменной. Получающееся же в результате состояние не будет, однако, вполне тождественным с исходным. Именно, при отражении в плоскости, проходящей через ось молекулы, изменится знак момента (аксиальный вектор)) относительно этой оси. Таким образом, мы приходим к результату, что все электронные термы с отличным от нуля значением Л двукратно вырождены — каждому значению энергии соответствуют два состояния, отличающиеся направлением проекции орбитального момента на ось молекулы.
Что же касается случая Л = О, то здесь при отражении состояние молекулы вообще не меняется, так что Х-термы не вырождены. Волновая функция Х-герма в результате отражения может лишь умножиться на постоянную. Поскольку двукратное отражение в одной и той же плоскости сводится к тождественному преобразованию, то эта постоянная равна ~1. Таким образом, надо различать Х-термы, волновая функция которых не меняется вовсе при отражении, и термы, волновая функция которых меняет знак. Первые обозначаются посредством Х', а вторые — как Е .
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то появляется новая симметрия, а с нею и дополнительная характеристика электронных термов. Именно, двухатомная молекула с одинаковыми ядрами обладает еще и центром симметрии относительно точки, делящей пополам линию, соединяющую ядра (иачало координат выбираем в этой точке) '). Поэтому гамильтониан иивариантен относительно одновременного изменения знака координат всех электронов в молекуле (при неизменных координатах ядер). Поскольку оператор этого преобразования ') комму- ') От тонкой структуры, саязаниой с релятивистскими взаимодействиями, мы здесь отвлекаемся 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
