Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Во втором приближении имеем, согласно общим формулам теории возмущений, 1"- ~. Х р1" (,) — р(1" 151 а;~л 1 интегралы, входящие в матричные элементы ($2)„„, вычислены 1 ! в Э 1 математического дополнения. Отличны от нуля только элементы О!,...— -(Г!.,—.,- —,; О 2-! !)~' ! -';!"!! ° (е )а~ т 2 = (е )т 2. т = 2 п$(п! 1)(п1+ ~т !)(п7+ !7п~ 1) ! Стоящие в знаменателях разности равны Ц о ! ( 7 7 ) Я о ! ( П ) О ( и 7 7 ) В результате вычисления получается 01" = — — 2(~ п7!+ 2п7+ 1) [4т'+!7 (2 ~ о! ~ 777+ + 2п', + ( т ( + 2п!) + 181 (выражение для Ц2! отличается заменой п, на и,). Собирая полу- ченные выражения и подставляя в соотношение )), + ()2 = 1, получим уравнение еп — —, 1! 7п' + 51 (пх — по)2 — 9т'+ 19) + 3 л + о д —,(пх — по) = 1 ° (гл.
х АТОМ Решая его последовательными приближениями, получим во втоез ром приближении для энергии Е = — — выражение 2 Е = — — + — Еи(л,— л,)— ( 3 йлэ 2 — — и' ( 17п' — 3 (л, — л,)' — 9т'+ 19). (77,8) Второй член представляет собой известный уже нам линейный эффект Штарка, а третий — искомый квадратичный эффект (О. йгеп(ее1, Е "гйаИег, Р. Ереме(л, 192б), Отметим, что эта величина всегда отрицательна, т. е. благодаря квадратичному эффекту термы всегда смещаются вниз. Среднее значение дипольного момента получается дифференцированием (77,8) по полю; в состояниях с и, = и, оно равно г)э = — (17и' — 9т'+ 19) д'. (77,9) Так, поляризуемость атома водорода в нормальном состоянии (и = 1, т = О) равна 9/2 (см.
также задачу 4 2 7б). Абсолютное значение энергии водородных терман быстро падает с увеличением главного квантового числа п, а штарковское расщепление возрастает. В связи с этим представляет интерес рассмотрение штарк-эффекта сильно возбужденных уровней в полях настолько сильных, что произведенное ими расщепление сравнимо по величине с энергией самого уровня и потому теория возмущений неприменима '): Это можно сделать, воспользовавшись квазиклассичиостью состояний с большими значениями п. Подстановкой 6 ==.
6-= уз Хч У У уравнения (77,4) приводятся к виду г('х г Е В, щэ — ( —,'+( — + — ' — '. — — ~1х,=О, чэх ге б щ — ( — '+( — + — '-= — + — В) Х,=О. олэ 'ч 2 Ч 4т) 4 Но каждое из этих уравнений имеет внд одномерного уравнения Шредингера, причем роль полной энергии частицы играет Е74, ') Применимость теории возмущений к высоким уровням требует малости возмущения лишь по сравнению с энергией самого уровня (энергией связи электрона), а не с интервалами между уровнями.
Действительно, в кваэиклассическом случае (который как раэ представляют сильно возбужденные состояния) возмущение может считаться малым, если вызываемая им сила мала по сравнению с силами, действующими на частицу в иевозмущеииой системе; ио это условие эквивалентно указанному выше. $222 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ а.,роль потенциальной энергии — соответственно функции йй+ айа + аз (77,12) 42а (21) = — — '+ — — 2) йч вчз в На рис. 25 В 26 изображен примерный вид этих функций (для т > 1), Согласно правилу квантования Бора — Зоммерфельда (48,2) пишем 2 ~ 4 У,(й)1 Щ = (лг+ з ) и, ь (77,13) ч~ ~ ~/2 ~ф — и,())~ (ц=(.+ —,' )н ч (лт, лз — целые числа) ').
Эти уравнения определяют в неявном виде зависимость параметров ры ра от Е. Вместе с равенством рх+ ()а 1 они определяют, следовательно, энергии смещенных У г ггл Рис. 25 Рис. 26 электрическим полем уровней. Интегралы в уравнениях (77,13) могут быть приведены к эллиптическим; решение этих уравнений возможно лишь в численном виде. Штарк-эффект в сильных полях осложняется еще и другим явлением — ионизацией атома электрическим полем (С. Еалсаоз, 1931). Потенциальная энергия электрона во внешнем поле д'г принимает при г - — оо сколь угодно большие отрицательные значения. Накладываясь на потенциальную энергию электрона внутри атома, она приводит к тому, что областью возможного движения электрона (полиая энергия Е которого отрицательна) становится, наряду с областью внутри атома, также и область больших расстояний от ядра по направлению к аноду. Зти две области разделены потенциальным барьером, ширина которого ') Подробное исследование поназывает, что более точный результат полу- чаетсЯ, если писать та вместо гла — 1 в выРажеииах длЯ Уг, Уа.
Целые числа Аы па совпадают тогда с параболическими квантовыми числамй. атом Задачи 1. Определить вероятность (в единицу времени) ионизации атома водорода (в основном состоянии) в электрическом поле, удовлетворяющем условию д" Ы. 1 (ег ~ тз ( е ) 1/ае в обычных единицах). Р е ш е н и е з). В параболических ноордннатах потенциальный барьер имеется <адоль координаты Ч» (рис. 26); вытягиванию электрона из атома в направлении к е -н- — оз соответствует его переход в область больших т).
Для определения вероятности иояизации надо исследовать вид волновой функции при больших ч (н небольших з; мы увидим ниже„что в интеграле, определяющем полный поток вероятности выходящего электрона, игракп роль малые $). Волновая функция электрона в нормальном состоянии (в отсутствие поля) есть В+и — е 1 з (1) Прн наличии поля зависимость зР от з в интересующей нвс области можно считать зой же, что в (1), а для определения зависимости от ч имеем уравнение б'х / 1 1 1 ЛЧ х — +1 — — + — + — + — )Х=О, бпз ~ 4 2т) 4т)з 4 / (2) где Х Р Чф (это — второе из уравнений (77,11), в котором положено Š— 1/2, ш = О, ()е = 1/2), Пусть т)з — некоторое значение т) (расположенное внутри барьера) такое, что 1 К Че ~ 1/д'. При Ч ~т) волновая функция квааикласснчна. Поскольку, с другой стороны, уравнение (2) имеет вид одномерного ') Описываемое ивление может служить иллюстрацией того, как малое возмущение может изменить характер энергетического спектра, Уже слабое поле 3Г достаточна для того, чтобы создать потенциальный барьер и сделать область вдали от ядра принципиально доступной для электрона'.
В результате движение электрона становится, строго говоря, инфинитным, и потому энергетячесний спектр из дискретного превращается в непрерывный. Тем не менее формальное решение, получаемое по методу теории возмущений, имеет физический смысл: оно определяет уровни энергии состояний, которые если и не вполне, то епочтн стзционарныы Атом, находящийся в таком состоянии в нехоторый начальный момент времени, останется в нем в течение длительного промежутка времени.
В то же время весь ряд теории возмущений для штарковского расщепления уровней не может быть сходящимся в строгом смысле слова, а является лишь аснмптотнческим: начиная с определенного места в ряде (тем более далекого. чем меньше величина возмущения) дальнейшие его члены возрастают, з не убывают. з) В этой задаче пользуемси атомными единицами, уменьшается с увеличением ноля. Но в квантовой.,механике всегда существует некоторая отличная от нуля вероятность частице пройти через потенциальный барьер.
В данном случае выход электрона из области внутри атома через барьер наружу представляет собой не что иное, как ионизацию атома. В слабых полях вероятность такой ионизации исчезающе мала. Она, однако, экспоненциально растет с полем н в достаточно сильных полях становится значительной '). АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 4 тт! уравнения Шредингера, то можно воспользоваться формуламн (50,2).
Погребо. вав, в качестве граничного условия, совпадения ф с волновой функцией (1) при т) = Це, полУчим в области вне баРьеРа выРажеине 4/' где егг( Р(Ч) = ф( — — + — + — + —. 4 2т( 4цз 4 Нас интересует ниже тольно нвадрат (т !'. Поэтому мнимая часть экспоненты несущественна. Обозначив посредством цг корень уравнение р (т() = О, имеем ьч (Т! = це! ре! лр ~( — к — р)~ и„— ~).
и чч В предэкспоиеициальном множителе полагаем при ц ~ 1 1 1 ! ре ! Аэ — р ю — рг~ц — 1; 2 ' 2 в знспоненте же надо сохранить также и следующий член разложения функ. ции р (ц): ч! ч ехр —  — р! )Г! — йтг( г(п»- ~ — це л)'йгц — ! '( > " ц(' ( — 4(ч йэ чч причем Ч, !(д. Произведя интегрирование н пренебрегая везде, где это возможно, Ч,д' по сравнению с единицей, получим 4 г 2 (х!' = = „д )гйг„( ~ Эйг/. ехр ~ — $ — — /. (4) Полный поток вероятности через плоскость, перпендикулярную к осн г, т. е. искомая вероятность иокизацни ю, есть ю = ~ ! ф !' огйлр Лр о (р — цилиндрический радиус а указанной плоскости).
При больших г( н малых ц можно положить др = й )' ЕЧ вЂ” ггг — г(г. — 1 И/т! 2 Р' Подставив также для скорости электрона А гОМ откуда окончательно Е 'хР ( ЗЕ) 4 2 (6) где А — безразмерная постоянная, зависящая от конкретного внда ямы,'). В параболнчесннх координатах имеем г = (Э + Ч)/2, и в области Ч р 3 волновая функция принимает внд ф ш ехр ~ — — ($+ Ч)] 2А )Гх н (6) Ниже в этой задаче массы, длины н времена будут измеряться соответственно в единицах ш, 1/х и ш/Лнт, Фуннция (6) распадается на произведение функций от В н Ч. Прн налички электрического поля зависимость тр от $ можно считать (как н в задаче 1) той же, что н в (6). Для определения же ее зависимости от Ч обращаемся к уравнению Шредингера в параболических координатах, Прн этом (в отличие от случаи кулонова поля), ввиду быстрого убывания поля ямы, на существенных для задачи больших расстояннях этим полем можно вообще пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
