Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 68
Текст из файла (страница 68)
вым моментом ! через средний квадрат его расстояния до центра. Р е ш е и н е. Мы должны усредннть выражение Яы = — )е)гт(Зсоэт8 — 1) = — (е)г (Зпт — 1) по состояншо с данным моментом ! н проекцией момента гл = 1. Среднее значение углового множителя непосредственно определяешься по полученной в задаче к й 29 формуле (в которой надо заменить 1, на !), н в результате найдем — 2! ()1 = ) е ) г' — . 21+ 3' (4) !гл. л 333 АТОМ' —. 2! — 1 Ог = (е(га —. 2/+ 2' (6) 3. Определить квадрупольный момент атома (в основном состоянии), в кагором все т электронов сверх заполненных оболочек находятся в эквивалентных состояниях с орбитальным моментом й Р еш е н и е.
Поскольку суммарный квадрупольиый момент ааполнениыя оболочек равен нулю, оператор квадрупольного момента атома есть сумма 3(е(ге '~т à — -- 2 гсгь=(21 1)(2! ! 3)лу ) !г(ь+!А(1 — 3 !(!+1)бгь1 ° иаятая по ч внешним электронам (здесь использована формула (4)). Предположим сначала, что» ~ 2!+ 1, т. е. запэлнена половина илн менее мест а оболочке. Тогда по правилу Хуида (й 67) спины всех т электронов параллельны (тах что 5 = т(2). Это значит, что спиновая волновая функция атома симметрична, а потому координатная волновая функция антисимметрична по эгнм электронам, Следовательно, нее электроны должны иметь различные значения т, так что наибольшее возможное значение Мь (и совпадающее с ннм Ц равно .ч 1 гл = —, т (21 — и + 1).
2 г = (Мь)мах = ег=Г-т+г Исхомое Оь есть собственное значение Огл прн Мь = г.. Имеем поэтому 6(е(гз Ч~~ / з 1((+!) 1 (2! — !)(21 + 3) жм' (. 3 — +г откуда, после вычисления суммы, 2! (2! — 2т + 1) (6) (2! — 1) (21+ 3) Окончательный переход от ОЬ к Щ производится по формуле (2). Случай атома с более чем наполовину заполненной внешней оболочкой сводятся к предыдушему путем перехода к рассмотрению дырок вместо электро.
ноа; поэтому ответ дается той же формулой (6) с измененным общим знаком (заряд дырки равен +)е)), причем под т надо понимать теперь ие число влек- тронов, а число свободных вакансий в оболочке. 5 76. Атом в влектрическом поле Если поместить атом во внешнее электрическое поле, то его уровни энергии изменяются; это явление называют зффектолг Шлтарка. В атоме, помещенном в однородное внешнее электрическое поле, мы имеем дело с системой электронов, находящихся в аксиально-симметричном поле (поле ядра вместе с внешним полем).
Знак этой величины противоположен знаку заряда влектроиа, как и должно было быть: частица, движушаяся с моментом, направленным вдоль оси а, находится в основном вблизи плоскости з= 0 н потому сй'5~ 1г3. Для электрона с заданным значением ) = ! ~ 1/2 переход с Аомошью фор.
мул (3) дает АтОм В эл ектрич ескОм пОле й тв) )й связи с этим полный момент импульса атома, строго тствори, перестает сохраняться; сохраняется лишь проекция Мг полного момента Э на направление этого поля. Состояния с различными значениями М, будут обладать различными энергиями, т. е. элек. трическое поле снимает вырождение по направлениям момента.
Это снятие, однако, неполное: состояния, отличающиеся лишь знаком М, по-прежнему имеют одну и ту же энергию. Действительно, атом в однородном ннешнем электрическом поле симметричен по отношению к отражению в любой плоскости, проходящей через ось симметрии (ось, проходящая через ядро в направлении поля; ниже мы выбираем ее в качестве оси г). Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого от.
ражения, должны обладать одинаковой энергией. НО при отражении в плоскости, проходящей через некоторую ось, момент импульса относительно этой оси меняет свой знак (направлеиие положительного обхода вокруг оси переходит в отрицательное). Будем предполагать электрическое поле достаточно слабым— настолько, что обусловленная им дополнительная энергия мала по сравнению с расстояниями между соседними уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой струк. куры. Тогда для вычисления смещения уровней в электрическом поле можно воспользоваться теорией возмущений, развитой в 3 38, 39.
Оператором возмущения является при этом энергия системы электронов в однородном поле 6, равная т' = — дВ = — д'д„ (76,1) где 4 — дипольный момент системы. В нулевом приближении уровни энергии вырождены (по направлениям полного момента); однако в данном случае это вырождение несущественно, и при применении теории возмущений можно поступать так, как если бы мы имели дело с невырожденными уровнями.
Это следует из того, что в матрице величины с(, (как и г-компоненты всякого другого вектора) отличны от нуля только элементы для переходов без изменения М, (см. 5 29), а потому состояния, отличающиеся значениями Мю ведут себя при применении теории возмущений независимо друг от друга. Смещение уровней энергии в первом приближении определяется соответствующими диагональными матричными элементами воз. мущения. Однако диагональные матричные элементы дипольного момента ровны нулю ($75). Поэтому расщепление уровней.в электрическом поле является эффектом второго порядка по полю ') т) Исключение составляет атом водорода, у которого штарк-аффект линеен по полю (см. следующий параграф).
Подобно водороду ведут себя в достаточно сильных полях также н атомы других элементов, находящиеся в сильно возбужденных (и потому водородоподобных, см. $ НЦ состояниях. мо АТОМ )гл. к Как квадратичная по полю величина, смещение ЛЕ„уровня Е„ должно выражаться формулой вида ЬЕл = — 2 а,'«Щгь, (76,2) где аЯ) — симметричный тензор; выбрав ось г в направлении поля, получим (76,3) Тензор с«<)л) представляет собой в то же время поллризуемость атома во внешнем электрическом поле. Действительно, понимая в общей формуле (11,16) под параметрами Х компоненты вектора 8') и полагая Н = Н, — д')«(), найдем, что среднее значение индуцируемого полем дипольного момента атома есть Подставив сюда (76,2), получим 4") = а)~А'ЕА.
(76,4) Вычисление поляризуемости должно производиться по общим правилам теории возмущений. Согласно формуле второго приближения (38,10) имеем гл) 2 ' (а!)Пт (а«)Р4л (76,5) ń— Ел Поляризуемость атома зависит от его (невозмущениого) со. стояния, в том числе от квантового числа Мх. Эта последняя зависимость может быть установлена в общем виде. Значения а))л«) для различных значений Ма можно рассматривать как собственные значения оператора ) ) 2 с«)л =««лб)А+Рл(,(г(А+ 7«7) — 3 6)А3'~: (766) это есть общий вид симметричного тензора второго ранга, зази. сящего от вектора 3 (ср.
5 75). Из (76,3) и (76,6) имеем ЬЕл = — — ~««л+ 2Цл ~М;) — — /((+ 1)1~, (76,7) При суммировании по всем значениям М« второй член в фигурных скобках обращается в нуль, так что первый член пред. ставляет собой общее смещение «центра тяжестнъ расщепленного уровня. Отметим также, что, согласно (76,7), уровень с У = 1)2 остается нерасщепленным в согласии с теоремой Крамерса ($60). Если атом находится в неоднородном внешнем поле (мало меняющемся на протяжении размеров атома), то может существо- атом В электвическом полз 341 4 тз1 вать также и линейный по полю эффект расщепления, связант иый с квадрупольным моментом атома.
Оператор квадрупольного взаимодействия системы с полем имеет вид, соответствующий классическому выражению квадрупольной энергии [см. П, 2 42)! 1 дзф )' = — — (сга. 6 дх!дхз (76,8) где гр — потенциал электрического поля [подразумеваются значе. йия производных в месте нахождения атома). Задачи 1. Определить зависимость штарковского расщепления различных компонент мультнплетного уровня от 7. Р е ш е н и е. Задачу удобно решать, переставляя порядок наложения возмущений; сначала рассматриваем штарковское расщепление уровня без тонкой структуры, а затем вводим взаимодействие спин †орби.
Поскольку спин атома ие вэаимодействусг с внешним электрическим полем, штарковское расщепление уровня с данным орбитальным моментом Е определяется формулой того же вида (76,2) с теязором а!Ь, выражающимся через оператор С так же, как в (76,6) он выражается через Л / 2 м!л- ~!а+ Ь ~Е Еа+ ЕлЕ! — 3 6!ЛЕз ) (индексы л везде опускаем), После введения взаимодействия спин — орбита состояния атома должны хараятеризоваться полным моментом Х, Усреднение оператора 6!л по состояниям с заданным значением момента Х (но не его проекпии Мх) формально совпадает с усреднением, произведенным в задаче 1 4 75. В результате мы вернемся к формулам (76,6), (76,7) с постоянными и, р, выражающимися через постоянные а, Ь согласно соотношениям Ь 3 (1Е) [2 ()Е) — 1) — 2з (l + 1) Е (Е+ 1) 7 (7 + 1) (27 — 1) (27 + 3) Тем самым определяется зависимость расщепления от з (ио, разумеется, не от Е и 5, ог которых — как от характеристик иерасщепленного герма — зависят также и постоянные а, Ь).
2. Определить расщепление дублстного уровня (спин 3 = 1/2) в произвольном (ие слабом) электрическом поле. Р е ш е и и е, Если величина расщепления не мала по сравнению с интервалом между компонентами дублета, возмущение от электрического поля и взаи. модейсгвие спин †орби должны учитываться одновременно, т.
е. оператором возмущения является сумма: Р= А"Я.— — 'г'!го+2Ь ~Ет — — 'Е (Е+ !) ~~ (ср. (72,4) и предыдущую задачу). Опустив несущественные для расщепления постоянные члены, перепишем этот оператор в виде (см. (29,! !)) "= — 1"-"-' "'1-""' При каждом заданном значении М ж Мз собственные значения этого оператора определяются корнями секулярного уравнения, составленного из матрнч. !гл.
х 342 АТОМ ных алементов по отношению к сосгоянаям ) МсМл) = ) М ~ 1/2, ~1/2). С по. мощью формул (27,12) находим (М вЂ” !/2, 1/2)У)М вЂ” 1/2. 1/2)= 2 ~М вЂ” — / — ьдг~ ~М вЂ” — /, (М -1- 1,2, — 1/2 ( У ! М + 1/2, — 1/ф = — — ~ М + — ) — Ьб"' ~ М -1- — ) 2 т 2) 'т 2/' (М вЂ” 1/2, 1/2 $ У ) М + 1/2, — 1/2) = — ~ ~ 1. + М + -) ~ 6 — М + -) ~ В результате (см. задачу ! 5 39) для смешения уровней получим ° / ле г (тз АЕ= — Здг М'~'г1/ — ~й+ — ) +э!Ге(зй' +Л)ме; (1) 4 ь 2) здесь опущены все члены, одинаковые для всех компонент расщепляющегося дублета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
