Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Зта формула (с обоими зиакэмн перед корнем) относится ко всем уров. ням с ) М ) ~ 1. — 1/2. Значению (М) = 6 — 1/2 отвечает лишь одно состояние )МьМз), и смешение уровня дается просто соответствующим диагональ. иым матричным элементом. С тем же выбором адаптивной постоянной, что н (1), находим - Я+ ') (/. + ~ ) — ' (/- + Я (2) 4. Вычислить поляризуемость атома водорода в основном состоянии. Р е ш е и и е.
Ввиду сферической симметрии з-состояния тенэор поляриауемостн сводится к скаляру (а;ь = ад,ь), для которого имеем, согласно (76,5) ° м = — 2ет е (диполъиый момент электрона д = ег; Ер — энергия основного уровня). Введем вспомогательный оператор Ь согласно ойреленеиию зт Нз а= —— И М ') Аналогичная задача для произнольиого поля — см. задачу 6, 5 163. (что совпадает с результатом, получаемым по формуле (1) с одним знаком перед корнем). 3. Определить квадрупольиое расщепление уровней в аксиально-симметричном электрическом поле ").
Р е ш е н и е. В поле, симметричном относительно оси з, имеем дтф дт<р дгф — = — иэ — — 2а, дкт дуз ' дтт остальные вторые производные равны нулю. Оператор (76,3) квадрупольиой энергии имеет внд ()л /-т "з~ — (О + () — 2/)ы) = ц (Ю вЂ” 3/ /1. Заменяя операторы их собственными значениями, получим для смещения уровней АЕ=л 2/ 2/ 1 ~/(7+1) — 3МД. атом в алактимчаском полв (ш — масса электрона).
Тогда гоэ = (/но/Дэ) (Е, — Еа) Ьоа и затеи 2/шео чкъ 2/тзз и = — „о Мр, гоьЬьо = —,(гь) ь Для вычисления втой величины достаточно знать результат действия Ь иа волновую функцию о)о (г), Согласно (9,2) имеем гл о(Ь Ьм р, = — —, фо - — (и ь - ьн) ф,. й б/ 1 фо бь + оЬ Рфо = 'гфо 2 Подстановкой Ь= сох О/(г) (где Π— полярный угол в сферическик координа- тах, г = г сов О) оио приводится к виду /' /' / фэ — + — — — + — /' = и.
2 г гэ фа (2) Его решение должно удовлетворять условию конечности /фо прл г -ь 0 н г 3 оо. Для основного состояияя атома водорода фо ехр ( — г/ав)/р' и (ни —— ° й'/шо' — боровский радиус). Решение уравнения (2), удовлетворяющее поставлениеау условию, есть / = — иал (ав -1- г/2). По формуле (1) находим теперь т) 2о 2/ 9 и = — Исоа 9)и — (г/)оо = язв нв 3нв 5. Вычислить поляризуемость электрона, находящегося в связанном з-состоянии в потенциальной яме е радиусом действия сил а таким, что ах < 1, где и = )/2т(Ео)/Н, ) Е,) — энергия связи электрона. Р е ш е и я е.
Ввиду условия иа к 1 при вычислении матричного элемента (гь)оо областью внутри ямы можно пренебречь и пользоваться во всем пространстве волновой функцией Хl аг и е фо= )/ =У 2 ° ° относящейся к области вне ямы (нормировка втой функции тоже учитывает условие иа «1; см. об атом подробнее в й 133). Уравнение (2) предыдущей задачи принимает вид — — и/' —— 2 о/ В слехующем параграфе этот результат будет найден другим путем.
Обозначив функцию Ьфо как Ь (г) фо и учтя, что фо удовлетворяет уравнению Нфо = Еофо, где й= -лоб/2ш+ (/ (г), получим для Ь (г) дифференциальное уравнение [гл. х 344 АТОМ «мл 4аекч й 77. Атом водорода в электрическом поле Уровни атома водорода, в отличие от уровней других атомов, в однородном электрическом поле испытывают расщепление, пропорциональное первой степени поля (линейный эффект Шлглрка). Это связано с наличием у водородных термов случайного вырождения, в силу которого состояния с различными значениями 1 (прн заданном главном квантовом числе л) обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы днпольного момента для переходов между этими состояниями отнюдь не равны нулю, а потому секу. лярное уравнение дает уже в первом приближении отличное от нуля смещение уровней '). Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диаго.
нальна по отношению и каждой группе взаимно вырожденных состояний. Оказывается, что это осуществляется путем квантования атома водорода в параболических координатах. Волновые функции фщ». стационарных состояний атома водорода в параболических координатах определяются формулами (37,15), (37,16).
Оператор возмущения (энергия электрона в поле Ю') есть юг = ю (и — т))/2 (поле направлено в положительном, а действующая на электрон сила — в отрицательном направлении оси г) ). Нас интересуют матричные элементы для переходов лгл гл-ь лпч;лт', при которых энергия (т. е. главное квантовое число и) не меняется. Легко видеть, что из них оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы ~~ф...! ~ Л~ = з ~~~ й' — т)') ~ф,, Гбфб$[[т) = е оо Ш СО 4 ) ) [ям(Р~)~я,т(Рз)[Р~ Рз)с[Р[с[рз (77,1) о е ') В иижеследующих вычисаеииях мы ие учитываем топкой структуры водородиых уровней. Поэтому поле должио быть хотя и ие сильиым [условие примеиимости теории возмущений), ио в то же время таким, чтобы штарковское расщеплеиие было велико по сравиеиию с тонной структурой.
Обратиый случаи— см. задачу! в [У,5 52, з) В этом параграфе мы пользуемся атомиыми едииипами. и его решеиие, удовлетворяющее граиичиым условиям: 1 = — йзтйм. Вычислеиип по фюрмуле (1) приводит к результату: й тт! атом водорода в элактричаском пола 346 (мы пРоизвели подстановкУ й = пРм т) = аР,). В отношении числа ат диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; чтб касается чисел и„п„то диагональность по отношению к ним следует из взаимной ортогональности функций у„т с различнымн. и, и одинаковыми ат (см. ниже). Интегрирования по е(рт и по е(ра в (77,1) разделяются; получающиеся интегралы вычислены в 3 1 математического дополнения (интеграл (1, 6)), После простого вычисления получим в результате для поправки первого прибли.
жения к уровням энергии т) Е!'! = — юа (а~ — а,) (77,2) или в обычных единицах 1 3 йз Е!'! = — и (и, — а )(е ! ю —. 2 шеь ' Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствуют а,=п — 1, п,=О и п,=О, п,=п — 1. Расстояние между этими двумя крайними уровнями есть, согласно (77,2), Зета (а — 1), т. е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно пропорционально и'. Увеличение расщепления с главным кван- товым числом естественно: чем дальше от ядра находятся элек- троны, тем больше дипольный момент атома. Наличие линейного эффекта означает, что в невозмущенном состоянии атом обладает дипольным моментом со средним значе- нием 3 е(ь = — — и (и, — а,).
(77,3) Это находится в согласии с тем, что в состоянии, определяемом параболическими квантовыми числами, распределение зарядов в атоме не симметрично относительно плоскости г = О (см. 9 37). Так, прн и, > и, электрон находится преимущественно на стороне положительных г, а потому дипольный момент атома противоположен внешнему полю (эаряд электрона отрицателен!). В предыдущем параграфе было указано, что снятие вырождения однородным электрическим полем не может быть полным— остается во всяком случае двукратное вырождение состояний, отличающихся знаком проекции момента на направление поля (в данном случае — состояний с проекциями момента, равными е-еи).
Однако из формулы (77,2) видно, что в линейном штаркзффекте у водорода даже такое снятие вырождения не дости- Этот результат был получен Шворцшильдом н Элшшейном (К. Бсйевшзвсла, Р. Ервте(л, !9(6! на основании старой квантовой теории н Паули н Шредилеером (!926) с помощью квантовой неканнкн. [гл. х *том гается, — смещение уровней (при данных п и и, — ае).вообще не зависит от аг и и„.
Дальнейшее снятие вырождения происходит в эффекте второго приближения; вычисление этого эффекта представляет интерес тем более, что в состояниях с а, = и, линейный эффект Штарка вообще отсутствует. Для вычисления квадратичного эффекта неудобно пользоваться обычной теорией возмущений, так как при этом пришлось бы иметь дело'с бесконечными суммами сложного вида. Вместо этого воспользуемся следующим несколько видоизмененным методом. Уравнение Шредингера для атома водорода в однородном электрическом поле имеет вид ( — Л+ Е+ —, — Ю~) ф = О. Как и уравнение с Е = О, оно допускает разделение переменных в параболических координатах. Та же подстановка (37,7), что и в з 37, приводит к двум уравнениям де (~ (1$ )+( 2 ~ 4~ 4 ~)71 ~~(о ~1+))е А; (77,4) отличающимся от (37,8) наличием членов с 8'. Будем рассматривать в этих уравнениях энергию Е как параметр, имеющий данное определенное значение, а величины Рп ~, — как собственные значения соответствующих операторов (легко убедиться в том, что эти операторы самосопряженные).
Эти величины определяются при решении уравнений как функции от Е и Ю', после чего условие (1, + ~, = 1 определит энергию как функцию внешнего поля. При приближенном решении уравнений (77,4) рассматриваем члены, содержащие поле д', как малое возмущение. В нулевом приближении (Е = О) уравнения имеют известные уже нам решения 71 =э' е)'„, Яе), 7~=э' е )„, (т1е), (77,5) где функции ~„, те же, что в (37,16), а вместо энергии введен параметр е = ~/ — 2Е. (77,6) Соответствующими значениями величин р„(), (согласно равенствам (37,!2), в которых надо заменить и на 1/е) будут ()1"' = (и~ + ) е, рЯ" = (п2+ ) е.
(77,7) Функции 1, с различными значениями и, при заданном е взаимно ор1о~оиальиы, как собственные функции всякого самосопряжен- $774 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ного оператора (мы пользовались уже этим фактом выше при рассмотрении линейного эффекта); в (77,5) они нормированы условиями ) 114!Е = 1> ~ 12772) = 1. о о Поправки первого приближения для Г!2 и ро определяются диагональными матричными элементами возмущения СО Ю 4,~~~~ "' (2 4 о о Вычисление дает 4 ' (бп7+бп! ~ т1+т +бп!+3 ~т1+2). Выражение для ()2" отличается заменой и, на и, и переменой знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
