Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 67
Текст из файла (страница 67)
тором находятся внутренние электроны, от кулонова поля ядра, т. е. с учетом взаимодействия электрона с другими электронами. Такие дублеты называют экранировочными. Главный поправочный член к «водородоподобной> энергии электрона возникает от потенциала, создаваемого остальными электронами в области вблизи ядра; он пропорционален (Лыз (см.
(70,8)), Однако поскольку эта поправка не зависит ни от и, ни от 1, она не отражается на интервалах между уровнями. Поэтому главные поправочные члены в разностях уровней связаны с взаимодействием одного электрона с ближайшими к нему электронами. Поскольку расстояния между внутренними электронами г 1/Я (боровский радиус в поле заряда 2), энергия указанного взаимодействия -17г 2. С учетом этой поправки энергию рентгеновского терма можно написать, с той же точностью, в виде — (Š— 6)з72лз, где 6 = 6 (л, 1) — малая (по сравнению с Е) величина, которую можно рассматривать как меру экранировки заряда ядра.
Наряду с рентгеновскими термами с одной дыркой в электрон. иых оболочках могут существовать также и термы с двумя и тремя дырками. Поскольку у внутренних электронов взаимодей. стане спин — орбита является сильным, то связь дырок друг с, д угом осуществляется по типу д.связи. Ь ирина рентгеновского терма определяется суммарной вероят. постыл всех возможных процессов перестройки электронной обо.
(гл х агом лочки атома с заполнением данной дырки. В тяжелых атомах основную роль играют при этом переходы дырки из данной оболочки в более высокую (т. е. обратные переходы электронов), сопровождающиеся испусканием рентгеновского кванта. Вероят. ности этих «радиапионных» переходов, а с ними и соответствующая часть ширины уровня, очень быстро — как Л« — растут с увеличением атомного номера, но падают (при заданном Е) в последовательности от более к менее глубоким уровням. Для более легких атомов (и для более высоких уровней) су.
щественную, или даже преобладающую, роль играют безызлучательные переходы, в которых энергия, освобождающаяся при заполнении дырки более высоким электроном, используется для вырывания из атома другого внутреннего электрона (так называемый зффелгп Оже); з результате такого' процесса атом остается в состоянии с двумя дырками. Вероятности этих процессов и соответствующий им вклад з ширину уровня, в первом приближе.
нии (по 1/Х), не зависят от атомного номера (см. задачу) '). Задача Найти предельный закон зависимости оже-ширины рештеноаских термоа от атомного номера прн достаточно больших значениях последнего. Р е ш е н и е. Вероятность оже-перехода пропорциональна квадрату ма. тричного алемента вида М ) ) ф,'ф 'Уф,фз еУ еУя, где»р,, ф» и ф, ф' — начальные и конечныеаолноаые фуикцнк двух участауюшня н переходе алекгроноа, а У е»)гтз — инертна их взаимодействии. При доста. точно больших Е можно считать волновые функции внутренних злектроиоа водородоподобными и пренебречь акранироакой поля ядра другими електроиами (аодородоподобной является также и волновая функция ионизацнонного электрона я существенной для интеграла М области а глубине атома).
Если производить еычислеиия, выражая асе величины а кулонозых единицах (с постоянной г» = хе'1 см. $36), то единственной зааисяшей от 2 величиной а интеграле М будет У = 1/Лгг», так что М 1/л. Вероятность перехода, а с иев н оже ширина уровня ЬЕ будет пропорциональна Е». Возвращаясь к обычным единицам (кулоноза единица знергни есть а»ннл(а»), найдем, что ЬЕ не зависит от 2. З 75. Мультипольные моменты . В классической теории электрические свойства системы характеризуются ее мультипольными моментами различных порядков, выражающимися через заряды и координаты частиц. В квантовой теории определения этих величин сохраняют тот же вид, но должны рассматриваться как операторные. к) Для примера укажем, что оже-ширина ((.уроаня составляет около ! »В, а дла более высоких уровней достигает значений 1О »В.
мультиполънме моменты е та у Первым из мультипольпых моментов является динолвнэтй момент, определяемый как вектор д=* ~ее (суммирование производится по всем частицам в системе; индекс, нумерующий частипы, для краткости опускаем). Матрица этого оператора — как и всякого поляриога вектора (см. $ 30) — имеет отличные от нуля элементы только для переходов между состояниями различной четности. Поэтому, во всяком случае, равны пулю все диагональные элементы. Другими словами, равны нулю средние значения дипольного момента любой системы частиц (например, атома) в стационарных состояниях '). То же самое относится, очевидно, вообще ко всем 2'-польным моментам с нечетными значениями Е.
Компоненты такого момента представляют собой полиномы нечетной (Е.й) степени по коорди. натам, меняющие — как и компоненты полярного вектора — зная при инверсии координат; поэтому и для них справедливо то же самое правило отбора по четности. Квадрунольнщй момент системы определяется как симметричный тензор Яа —— Е е (Зхзхь — 6щгз) (75,1) с равной нулю суммой диагональных членов.
Определение значений этих величин в том или ином состоянии системы (скажем, атома) требует усреднения оператора (75,1) по соответствующей волновой функции. Это усреднение целесообразно производить в два этапа (ср. 2 72), Обозначим через 4ь оператор квадрупольного момента, усредненный по электронным состояниям с заданным значением пол. ного момента у (но не его проекции Мз). Усредненный таким образом оператор может выражаться лишь через операторы величин, характеризующих состояние атома в целом.
Единственным таким вектором является «вектор» .Е. Поэтому оператор Ягь должен иметь вид Е',)га =, (узун+Уз(, — з Уб;ь), (75,2) ') Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь идет а замкнутой системе частиц, нлн о системе частиц в центрально-симметричном виещием электрическом поле. Так, если рассматривать ялра как «закрепленные», то сделанное общее утверждение справедливо для электронной системы атома, ио ие молекулы. Предполагается также, что нет никакого дополнительного Е«случайиогоз) вырождения уровня энергии, помимо вырожлення по направлениям полного момента.
В противном случае можно составить такие волновые функции стационврныз состояний, которые не обладали бы определенной четиостью, и соответствующие им диагональные элементы днпольного момента не должны сбращатьсн в нуль. Атом 1гл х где выражение в скобках составлено так, чтобы быть симметрич. ным по индексам 1, й и давать нуль при упрощении по этой паре индексов (о смысле коэффициента 9 см. ниже). Операторы 7~ надо понимать здесь как известные нам 6 27, 54) матрицы по отношению к состояниям с различными значениями М~; оператор У можно, конечно, заменить просто его собственным значением 1 (,/ + 1).
Поскольку три компоненты момеита 1 не могут одновременно иметь определенные значения, то то же самое относится и к компонентам теизора 1',1ы. Для компоненты ()„имеем — 11(' з ). В состоянии с заданными значениями 1« = У (7 + 1) и 7, = Мэ имеет определенное значение также и (7 . а.= „," ,„[и- —,' ~(~+ )~. (~~л) При Мэ —— 1 (момент направлен «целиком» по оси г) имеем = Я; эту величину и называют обычно просто квадрупольным моментом. При 7 = 0 все элементы матриц момента равны нулю, так что исчезают и операторы (75,2). Оии тождественно обращаются в нуль также и при 7 = 1/2. В этом легко убедиться, иепосредственно перемножая матрицы Паули (55,7), представляющие собой матрицы компонент всякого момента, равного 1/2.
Это обстоятельство не случайно, а является частным случаем общего правила: тензор 2'польного момента (с четным 1) отличен от нуля только для состояний системы с полным моментом импульса ,/ )~ 172. (75,4) Тензор 2'-польного момента есть неприводимый тензор ранга 1 (см. П, $ 41), и условие (75,4) является следствием общих правил отбора по моменту для матричных элементов таких тензо. ров — условие, при котором могут быть отличны от нуля диагональные матричные элементы (4 107). Как уже было отмечено выше, правило отбора по четности требует при этом, чтобы 1 было четным числом. Следует также учесть, что электрические мультипольные моменты являются чисто «орбитальнымиь величинами (их операторы ие содержат операторов спива). Поэтому, если спин-орбитальным взаимодействием можно преиебречь, так что 1.
и 5 сохраняются по отдельности, матричные элементы мультипольных моментов подчиняются правилам отбора не только по квантовому числу 7, во и по Ь. $ гь1 мьльтипольыые момвнты Задач,я 1. Найти связь между операторами квадрупольного момента атома в состоя- ивих, отвечающих различным комиоиентам тонкой структуры уровня (т, е. состоиивям с рвэлнчнымн значениями 3 при заданных значениях й н 5). Р е ш е н ив. В состояивях с заданнымн значениями й и 5 оператор квз- друпольного момента, как чнсю орбитальной величины, зависит лишь от опе- ратора 1 н потому выражается такой же формулой (75,2) с заменой 1 на (. (и с другой постоянной ()). Оператор (75,2) получится нз него путем дополни.
тельного усреднения по состояввю с данным значением 3: 303 г- 2 ()!а- 23 (23 — Ц! '( 3,3а+ 3а|! — — 3(3+1) бгь| = 3 '((!3-ь+ (ь(! — 3 3. (3+ 1) йгь1 ° П) Требуется найти связь между коэффвциеитами !33 и 9ы Для этого умно. жнм равенство (1) слева на 3! н справа на 3ь (с суммированием по ! и й) и перейдем к собственным анвченням двагоиальных операторов. При этом 3!).г(.ь3э - (3(.) э, где, согласно формуле (31,4), 2Л.
3 (3+ 1) + 3. (3+ 1) — 3 (Я.(- 1), Произведение же 3!Аэй!3ь преобразуетсв с помощью формул (йп ('ь) (г!ь!1'! (3 3 !) !епт1 подобно тому как зто было сделано в задаче к 4 2й, и дает 3Хь(.!3ь = (Л )' — (Л-) ° Аналогичным образом 313!3ь3ь = (Л), 313ь3!3ь = Л (3э — 1). В результате получим ив (1) следующее соотношение: 3 (3).) (2Л. — ! ) — 23 (3 й ! ) 3. (й + 1) (3 + 1) (23 й 3) 1. (21. — !) В частности, дчя 5 = 1/2 этз формула дает й3=9с при 3 = й -1- —, 1 ((,— 1) (23+ 3 ! (Ь = ()с Е (23. + 1) прн 3 3.—— 2 ' 2, Выразить кввдрупольный момент электрона (заряд — (е)) с орбяталь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
