Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Подставляя (69,2) в (69,3), производя варьирование и приравнивая нулю коэффициенты при бф и Ьф в подынтегральном выражении, легко получим следующие уравнения1 Ь + + Е Нзз без (г)~ фз (г) + [Нзз+ бзз (г)) фз (г) = О, 1 2 — Ь + — + Š— ̈́— Озз(г)~ фз(г)+ (Нш+бзз(г)]фа(г) = О, (69,5) где ~ фа (гз) фь (гз) н~ (69,6) Наь '= ~ фа ( — 2 зх —,. ) зрь з()'з нз Ь = 1, 2.
Это и есть те окончательные уравнения, к которым приводит метод самосогласованного поля; их решение возможно, разумеется, лишь в численном виде '). Аналогичным образом должен производиться вывод уравнений в более сложных случаях. Волновая функция атома, которая должна быть подставлена в интеграл вариационного принципа, составляется в виде линейной комбинации произведений волновык функций отдельных электронов.
Эта комбинация должна быть выбрана так, чтобы, во-первых, ее перестановочная симметрия соответствовала полному спину 8 рассматриваемого состояния з) В атом параграфе и в задачах к нему пользуемся атомными единицами. з) Сравнение вычисленных методом самосогласоваиного поля уровней зиергии легких атомов со спектроскопическими данными позволяет оценить точность метода примерно в й зд (а в некоторых случаях даже выше). для сложных атомов, однако, ошибка может оказаться сравнимой с нитерваламн между сосед; ними уровнями н в результате привести к неправильной последовательности уровней.
З(О АТОМ атома и, во-вторых, она должна соответствовать данному значению полного орбитального момента Е атома '). Пользуясь в вариационном принципе волновол функцией, обладающей должной перестановочной симметрией, мы тем самым производим учет обменного взаимодействия электронов в атоме. Более простые (но приводящие к менее точным результатам) уравнения получаются, если пренебречь обменным взавмодействием, а также и зависимостью энергии атома от Е при данной электронной конфигурации (В.
)с. Наг(гее, 1928). Рассматривая снова, в качестве примера, атом гелия, мы можем тогда написать уравнения для волновых функций электронов непосредственно в виде обычных уравнений Шредингера а=1, 2, (69,7) в которых У, есть потенциальная энергия одного электрона, движущегося в поле ядра и в поле распределенного заряда второго электрона: У, (гт) = — — + ~ — фз (гт) г(Уз (69,8) (и аналогично для У,).
Для того чтобы найти энергию Е всего атома, надо заметить, что в сумме Е, -(- Е, электростатическое взаимодействие обоих электронов друг с другом учитывается дважды, поскольку оно входит в потенциальную энергию как первого электрона, У, (г,), так и второго, У (г,). Поэтому Е получится из суммы Е, -1- Е, однократным вычитанием среднего значения этого взаимодействия, т. е.
Е = Е, + Е,— )) — фз(г,)зР'(г,)с(У,г(У. (69,9) Для уточнения результатов, получаемых с помощью такого упрощенного метода, обменное нзаимодействие и зависимость энергии от Е могут быть учтены затем в качестве возмущения. Зядячи (. Определить приближенно энергию основного уровня втомв гелия и гелнеподобиых нанон (ядро с ззрядом 2 и двв электроне), рассматривая вззимодействие между влектронвми кяк возмущение. Р е ш е н н е. В основном состоянии ионе обв електроня ивходятся в з-состояниях. Невозмушенное значение виергин равно удвоенному (двв электроне) основному уровню водородоподсбного иона: Е'е' = 2 ( — Легй) = — Яз.
т) Изложение общих методов состзвлеиия волновых функций системы электронов в центральном поле можно найти в указанной нз стр. 282 книге И. Г. Каплана. САМОСОГЛАСОВАННОВ НОЛВ й аэ! ЗИ Поправка первого приближения дается средним значением энергии взаимодействия электронов, взятым по состоянию с волновой функцией — Л (гг(тз) ф = фг (г() ф (гз) = — е п (произведение двух водородных функций с ! = О). Интеграл Е(') = О фз — 'бр,бр, Г(2 проще всего вычисляется как Е = 2 ~ л)'2'Р2 — ) Р((()г(, ((У( — — 4пг((/г(, ((Рг-4пггг(гз гз,) а е (энергия распределения зарядов р,= (фз(' в иоле оферически-симметричного раснределення р(= ) 4)((', подынтегральное выражение интеграла по (/1/2 есть энергия заряда р, (гз) а поле сферы г( ч, гз; множитель 2 перед интегралом учитывает вклад от конфигураций, в которых г, ) гк).
Таким образом получим Е2" = 52/8 и, окончательно, Е Ею).( Е(() 221 5 2 8 /(ля атома гелия зто дает — Е = 11/4 = 2,75 фактическое же значение энергии основного состояния этого атома составляет — Е = 2,90 ат. ед, = 78,9 эВ). 2. То же, с помощью вариационного принципа, аппроксимируя волновую функцию в виде произведения двух водородных функций с некоторым мрфектввным зарядом ядра. Р е ш е н и е. Вычисляем интеграл О Г 1 2 2 ! ~ ф//ф(()/ (((22, Н вЂ” — (й + А ) — — — — +— 2 гз с функцией ф из выражения (1) предыдущей задачи, написав в ней 2 ~ф вместо 2. Интеграл отф'/г„вычисляется, как и в задаче 1; интеграл от фб(ф можно свести к интегралу от фз/г(, заметив, что в силу уравнения Шредингера ( Е,вам — — й — — ф(= — — 2 ф ф.
2 ( г( / 2 зФ В результате получаем ,) ф ф ' 'Фа 'ФФ+ 8 ~'ав 0 2 5 Это выражение, как функция Язаа, имеет минимум при 2эаф = 2 — — Соот. 5 16 ' ветсгвующее значение энергии Е = — (2 — — ) Для атома гелия это дает — Е = 2,85. Заметим, что волновая функция (!) с найденным значением Езфв нвлкется в дейс)внтельностн наилучшей не только из всех функций вида (1), но н нз всех вообще функций, зависящих только от суммы гх+ гз. 1гл. и 312 ятом 5 70.
Уравнение Томаса — Ферми Численные расчеты распределения заряда и поля в атоме методом самосогласоваииого поля чрезвычайно громоздки, в особеинасти для сложных атомов. Но как раз для сложиь1х атомов существует другой приближенный метод, ценность которого заключается в его простоте; правда, ои приводит к значительно менее точным результатам, чем метод самосогласоваииого поля. В основе этого метода (Е. Гегтв:, Е. 7йотаз, 1927) лежит гав факт, что в сложных атомах с большим числом электронов большииство электроиов обладаег сравнительно большими главными кваитовыми числами. В этих условиях применимо квазиклассическое приближение. Поэтому мы можем примеиить к состояниям отдельных электронов в атоме понятие о «клетках в фазовом.простраистве» (э 48).
Объем фазового пространства, соответствующий электронам, обладающим импульсом. меньшим чем р, и находящимся в элементе объема с((т физического пространства, равен — пр с('г'. 4 в 4яов ~Л/ Этому объему соответствует з, клеток '), т. е. возможных состояний, в которых может одновременно находиться ие более 4нрв ов 2 з (2н)в с(~ = знв с(я электровоз (в каждой клетке по два электрона со взаимно противоположиыми спинами). В нормальном состоянии атома электроны, находящиеся в каждом элементе объема с(У, должны заполиять (в фазовом пространстве) клетки, соответствующие импульсу от нуля до некоторого максимального значения р,.
Тогда кинетическая эиергия электронов будет иметь в каждой точке по возможности меньшее значение. Если написать число электронов в объеме с(У, как п бУ (где п — плотность числа электронов), то можио утверждать, что максимальное значение р, импульса электронов в каждой точке связано с а посредством соотношения в ло — = Л. Зпв Максимальное же значение кинетической энергии электрона в месте, где электроииая платность есть а, равно, следовательиа, Ро 1 (8 в )в1з 2 2 в) В ятом параграфе ноньвуемся нтомнымн едннннамн. зелвнвнив томлсл-евзми $ т03 з1з Пусть, далее, р (г) — электростатический потенциал, который мы принимаем равным нулю на бесконечности. Полная энергия электрона есть р'/2 — ~р.
Очевидно, что полная энергия каждого электрона должна быть отрицательной; в противном случае электрон уйдет на бесконечность. Обозначим максимальное значение полной энергии электрона в каждой точке посредством — <р„где ~р, — положительная постоянная (если бы эта величина была не постоянной, то электроны переходили бы из точек с меньшим ~р в точки с большим ~е,). Таким образом, можно написать Ро =% ЧЪ. 2 (70,2) Приравнивая выражения (70,1) и (70,2), получим п (2(Ч 'рл)) (70,3) зл в )г2 зм (70,4) Распределение поля в нормальном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющим следующим граничным условиям: при г-~ 0 поле должно переходить в кулоново поле ядра, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
