Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 59
Текст из файла (страница 59)
д.) очевидно. С помощью этих формул можно выразить через операторы й), йт) также н гамильтониан исследуемой физической системы из Ж взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтониан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам. В нереля- тивнстском приближении ') он не зависит от спинов частиц н может быть представлен в общем виде следующим образом: й1о+ ~ ~")(г„г)+ ~ (уно(г„гм г,)+ ... а а>Ь а>Ь>а ! Здесь Н~ ' есть часть гамильтониана, зависящая от координат толысо одной (а-й) частипы: (64,17) где у)п (г,) — потенциальная энергии одной частицы во внешнем поле.
Остальные члены в (64,16) отвечают энергии взаимодей- ствия частиц друг с другом, причем отделены друг от друга члены, зависящие соответственно от координат двух, трех и т. д. частиц. Представление гамильтониана в такой форме позволяет непо- средственно применить формулы (64,13), (64,!6) и аналогичные им. Таким образом, Н = ~~~ ЬН)Ь й)йа + 2 ~~ ((й)У'")1т)й)йай„,й) ... (64,18) г, и пь,),т Этим осуществляется искомое выражение гамильтониана в виде оператора, действующего на функции от чисел заполнения.
Для системы невзаимодействующих частиц в выра)венин (64,18) остается только первый член: Н= х1 Нгьп пы (64,19) ь ь Если в качестве функций ф) выбраны собственные функции га- мильтониана Й~ ' отдельной частицы, то матрипа Ньм) диагональ))) )и на и ее диагональные элементы — собственные значения энергии частицы еь Таким образом, Й = ~~ е)а+а,; заменяя оператор й,й) его собственными значениями (64,9), по- лучим для уровней энергии системы выражение Е= ~е)У) ) — тривиальный результат, который и должен был получиться. )) В отсутствие магнитного поля. й аа) нторичнов квантования. случАЙ стАтистики вози 295' Развитый здесь аппарат можно представить в более компактном виде, введя так называемые гр-оаерапгоры ') Ф($) = Е фгй)б» $ Я) = 2„'ф; Я) б;, (64,20) где переменные $ рассматриваются как параметры.
В силу сказанного выше об операторах йь г)1 ясно, что оператор ф уменьшает, а ф' увеличивает полное число частиц в системе на единицу. Легко видеть, что оператор ф' Яе) создает частицу, находящуюся в точке $а. Действительно, в результате действия оператора б; создается частица в состоянии с волновой функцией газ Я). Отсюда следует, что в результате воздействия оператора фг(ве) создается частица в состоянии с волновой функцией Е Ю Ффг Яе) = б(1 — $0) (использована формула (5,12)), что н соответствует частице с определенными значениями координат и спина ')). Правила коммутации гр-операторов получаются непосредственно из правил коммутации операторов дь дг'. Ф(иФ© — Фа')Ф(Р =О, (64,21) ФЯ)ф"(в') — Ф'(4')ФД) = Е фг(Е)г»7(К') =бЯ вЂ” 5') (64,22) (!) Вторично-квантованный оператор г~ напишется с помощью гр-операторов в виде ры' = ~ Ф Й)Г"'ф(~) б~ (64,23) р"' = — ) ~гр'Д)ф'($')~'югрЯ ) фД)с%гЦ'.
(64,24» ') Обратим внимание на аналогию между выра1кением (64,Ю) и разломе. вием ф = ~, агфг произвольной волновой функции по некоторой полной системе функций. Здесь оно как бы снова квантуется, откуда и происходит название всего метода — вторичное квантование. з) 6 ($ — Ге) обозначает Условно пРонзвеление б(х хо) б(у уо) б(к ао) боо ° (здесь подразумевается, что оператор 7~0 действует в ф ($) на функции параметров $).
Действительно, подставив сюда ф и ф' в виде (64,20) и используя определение (64,3», вернемся к фор- муле (64,13). Аналогичным образом вместо (64„15) будем иметь (гл. ая гождвстввнность частиц В частности, гамнльтоннан системы, выраженный через ср-операторы, напишется в виде й=~( —,' ф (й)Лр®+ф.(6)и" (6)ф(6)~ (6+ +,' ~~ф ®ф Д)и'" (й, 6)фа)Ф®666Г+...
(6426) Оператор 4' ($) $ (й), построенный из ф-операторов подобно произведению тр'тр, определяющему плотность вероятности для частицы в состоянии с волновой функцией ф, называют оператором ллотяостпи частиц. Интеграл же й( = Я'тра% (64,26) играет в аппарате вторичного квантования роль оператора полного числа частиц в системе. Действительно, подставив в него тр-операторы в виде (64,20) и приняв во внимание нормированность и взаимную ортогональность волновых функций, получим М = = ~, 'с);бь Каждый член этой суммы есть оператор числа частиц в 1-м состоянии — согласно (64,9) его собственные значения равны числам заполнения й(1, сумма же всех этих чисел есть полное число .частиц в системе ').
Наконец, отметим, что если система состоит из бозонов различного рода, то в методе вторичного квантования должны быть введены свои операторы (), 6' для каждого рода частиц. При этом, очевидно, операторы, относящиеся к различным родам частиц, коммутативны друг с другом. $ 66. Вторичное квантование. Случай статистики Ферми Вся принципиальная сторона метода вторичного квантования остается без изменений для систем, состоящих из одинаковых фермионов. Конкретные же формулы для матричных элементов величин и для операторов йь конечно, меняются.
Волновая функция ~Ря,м... имеет теперь вид (61,6). В связи с антисимметричностью этой функции прежде всего возникает вопрос о выборе ее знака. В случае статистики Бозе этого вопроса не было, так как, ввиду симметричности волновой функции, раз выбранный ее знак сохранялся при всех перестановках частиц. Для того чтобы сделать знак функции (61,6) определенным, условимся устанавливать его следующим образом.
Перенумеруем раз и навсегда все состояния ф, последовательными номерами. После ') Для сястем с заданным числом частиц зтн утверждения (как и свойства гамильтоииана системм свободных частиц (64,19)) представляется тривиальными, Их обобщение в релятивистской теории приводит, однако, к новым, отиктдь не тривиальным результатам (ср. Гт, $ 11), а аа ВторичнОе кВАнтОВАние. слрчАИ стАтистики Фнрми 297 этого будем заполнять строки определителя (61,5) всегда таким образом, чтобы было Рт ~ Ра ( Рз 'с- ° ° ° ( Рм (65, 1) причем в столбцах стоят функции различных переменных н последовательности $„$„..., $м.
Среди чисел р„р„... не может быть равных, так как в противном случае определитель обратится в нуль. Другими словами, числа заполнения )1); могут иметь только значения 0 или !. Рассмотрим снова оператор вида (64,1): Р"' = ~„'ф1. По тем же причинам, что и е 2 64, его матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения всех чисел заполнения и для переходов, при которых одно из них (й),) уменьшается на единицу (становясь равным нулю вместо единицы), а другое (Фа) Увеличиваетса на единицУ (пеРеходит из нУлЯ в единицУ).
Легко найти, что прн ( ~ й (1„0,)РП1)ОН 1,) =(Ы1( — 1)~а+1 -1. (65,2) Здесь посредством Оь 1; обозначены значения М; = О, й); = 1, а символ ~, '(й, 1) обозначает сумму чисел заполнения всех состояний от й-го до 1-го '): ~;(й, !) = ~;л„. Для диагональных же элементов получается прежняя формула (64,4) р«~ ~~ ~то))н, (65,3) Для того чтобы оператор Р~" мог быть представлен в форме (64,13), операторы Й; должны определяться как матрицы с элементами: (01 ! а; ~!;) = (11~ а~~ ~ 0~) = ( 1)ь' (и ' — 11 (65,4) Перемножив эти матрицы, найдем (при й ) 1) (1„0А)а';аа)ОО !А) = (!о Оа)а()ОО Оь) (Оа, Оа)аа)ОН 1е) = — 1)Е н, а — н ( 1)ь н, 1 — и+ ь н+1, А — и или (11 0,)а)ьаа)ОО 1ь) = ( — !)ь1'+' " '1 ° (65,5) ') Прн 1 ~ А в поназателе в (65,2) надо писать ь (А+ 1, 1 — 1).
При 1 = = А ~ 1 втн суммы надо заменять пулами. тождястввнность ч»стиц [гл гя Если же с = й, то матрица й;а,диагональна, причем ее элементы равны единице прн с»с = 1 и нулю при Л', = 0; это можно написать в виде й;йс = Ус. (65,6) При подстановке этих выражений в (64,!3) мы действительно получим (65,2), (65,3). Перемножая а;, а» в обратном порядке, будем иметь (11, 0» ) а»а'; ) Ос, 1») = (11, О» ) а» ) 1с, 1») (11, 1» ) ас !Ос, 1») = — ( 1)Е!1, с-!)+ Е м+1, »-!) + Е с!, с-!)+и или (11, 0»~!а»а< 101, 1»~ = — ( — 1)Е !'+' " ').
(65,7) Сравнив (65,7) с (65,5), мы видим, что зти величины противоположны по знаку, так что аса»+ а»ас = О. 1ФЙ. для диагональной матрицы асас найдем й;ас = 1 — 1))с. Сложив с (65,6), получим йсас++ й,"ас = 1. Оба полученных равенства можно написать вместе в виде а,ц+ а»ас = Вс». (65,9) Произведя аналогичные вычисления, получим для произведений ас, а„соотношения аса» + а»ас = 0 (65,10) (в частности, аса! = 0). Таким образом, мы видим„что операторы а, и а» (или а») с с ~ й оказываются антикоммутативнымн, между тем как в случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом.
Это различие вполне естественно. В случае статистики Бозе операторы й, и д„ были совершенно независимыми; каждый из операторов а, действовал только на одну переменную с)с„причем результат воздействия не зависел от значений остальных чисел заполнения. В случае же статистики Ферми результат воздействия оператора дс зависит не только от самого числа йс„ ио и от чисел заполнения всех предыдущих состояний, как это видно из определения (65,4).
Поэтому действие различных операторов аь й» не может рассматриваться как независимое. После того как свойства операторов аь ас таким образом определены, все остальные формулы (64,13) — (64,!8) остаются 4 ез1 втогичноа квантования. слтчлн стлтистики ьагми чэз полностью в силе. Остаются также и формулы (64,23) — (64,25), выражающие операторы физических величин через ф-операторы, определяемые посредством (64,20). Правила же коммутации (64,21) и (64,22) заменяются теперь равенствами Ф'(РФ(т)+Ф($)Ф'Я') = б(Б — Г), (65,11) ф(равд)+ф(равд') =о. (65,12) Если система состоит из различных частиц, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы вторичного квантования (как уже упоминалось в конце предыдущего параграфа).
Операторы, относящиеся к бозонам и фермионам, при этом коммутативны друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их формально можно считать либо коммутативными, либо антикоммутатнвными; в обоих предположениях применение метода вторичного квантования приводит к одинаковым результатам. Имея, однако, в виду дальнейшее применение в релятивистской теории, допускающей взаимные превращения различных частиц, мы должны считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикоммутативными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
