Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 56
Текст из файла (страница 56)
задачу 2 й 55). Если электроны относятся, например, к различным атомам, то обменный интеграл экспоненциально убывает прн увеличении расстояния и между атомами. Из структуры подыятегрального выражения ясно, что этот интеграл определяется «перекрытием» волновых функций состояний Ч», (г,) и»р«(гз); учитывая асимптотнческнй закон убывания волновых функций состояний дискретного спектра (ср. (2!.6)), найдем, что е !н»+н»»Я, и,= 1 )»2 (ЕП где Е„Е, — уровни энергии электрона в обоих атомах.
2. То же лля системы трех электронов. Р е щ е и и е. Учитывая формулу (1) задачи !, пишем оператор попарного обменного взаимодействия системы трех электронов в виде )аам= 7 гаь( — +2зазь/» 'т 2 ») Этот оператор был введен Лиракоз». 2 зз) симметРЯЯ по ОтнОшению к пеРестдновклм 231 где суммирование производится па парам частиц 12, !3 н 23. Матричные эле- менты операторов з,зь между состояниями с различнымн значениями пар чи- сел о„, оь определяются с помощью формул (55,6) н равны (1/2, !/2 ! заза ! 1/2 1/2) =!/4 (1/2 1/2! зозь! 1/2, — !/2) = — 1/4, (1/2 — !/2 ! заза ! — !/2, 1/2) 1/2.
Начинаем с определения энергии, отвечающей наибольшему возможному зна- чению проекции полного спина Мь = о, + оз+ о„, т. е. значению Мз = 3/2; тем самым мы определим энергию состояния с полным спином 5 = 3/2. Вычис- ляя соответствующий диагональный матричный элемент оператора (!), найдем ЕЕЗ/2 = — (/12 + /13 + /м), Далее переходим к состояниям с Мз = !/2. Это заачеяие Мз может осуще. ствитьси тремя способами, в зависимости от того, какое из чисел о,, о, о, равно — 1/2 (а два других 1/2). Поэтому мы получили бы для этих состояний се- кулярное уравнение третьей степени. Однако вычисление может быть сразу упрощено, если заметить, что один из корней этого уравнения должен отвечать найденной уже энергии состояния с Е = 3/2, и потому секулярное уравнение должно делиться на ЬŠ— ЛЕз/21 это обстоятельство позволяет в данном случае обойтись без вычисления свободного члена в кубическом уравнении '), Именно вычислия старшие члены уравнения, получим (ЬЕ)з+ (/и+ /12+ узз) (ЛЕ)з+ +(/12/1з+ /и/за+/ш/зз (/12+/12+ /тз))/2Е+ ''' =О.
н разделив на /тЕ+ /„+ /хз+ /зз, найдем два уровни энергии, отвечающие состояниям со спинам 3 = 1/2; АЕ1М = ~ (/12+ /ам+ /~з /и/1з "г12/гз "212/гз) 1/2 Таким образом, имеется всего три уровня энергии в соответствии с подсче. том, произведенным в задаче 1 4 63.
3. В каких состояних ядро зВе может распасться на две а-частицый Р е ш е н и е. Поскольку и-част|хна не обладает спином, система двуя а-частиц может обладать лишь четным орбитальным моментом (совпада1ощим с полным моментом), и ее состояния четны. Поэтому указанный распад возможен лишь из четных состояний ядра зВе с четным полным моментом. й 63. Симметрия по отношению к перестановкам Рассматривая систему, состоящую всего из двух частиц, мы могли утверждать, что ее координатные волновые функции стационарных состояний ф (г„г,) должны быть либо симметричны, либо антисимметричиы. В общем же случае системы из произвольного числа частиц решения уравнения Шредингера (координатные волновые функции) отнюдь не должны непременно быть симметричными или аитисимметричными по отношению к перестановке любой пары частиц, как зто имеет место для полных волновых функций (включающих спиновой множитель). Зто связано с тем, что перестановка одних только координат двух частиц ') Такой прием в особенности полезен при аналогичных вычислениях для систем с ббльшим числом частиц.
1гл. 1х 2'62 тождественность частиц еще не соответствует их физической перестановке. Физическая одинаковость частиц приводит здесь лишь к тому, что гамильтониан системы инвариантен по отношению к перестановке частиц, и потому если некоторая функция есть решение уравнения Шредингера, то решениями являются и функции, получающиеся из исходной посредством различных перестановок переменных. Предварительно сделаем несколько замечаний о перестановках вообще. В системе из Лг частиц возможны всего ту'! различных перестановок. Если представить себе все частицы перенумерованными, то каждую перестановку можно изобразить определенной последовательностью чисел 1, 2, 3, ...
Каждая такая последовательность может быть получена из натуральной последовательности 1, 2, 3, ... последовательными перестановками пар частиц. Перестановку называют четной или нечетной в зависимости от того, осуществляется ли она четным или нечетным числом парных перестановок. Обозначим посредством Р операторы перестановок Лт частиц и введем величину бгч равную +1, если Р есть четная перестановка, н — 1, если перестановка нечетная. Если тр есть симметричная по всем частицам функция, то Рф=ф а если функция антисимметрична по всем частицам, то Рф = бнф.
Из произвольной функции ф (г„г„..„гте) можно образовать симметричную функцию посредством операции гилгмелтризат(ии, которую можно записать так: »р„ м = сопя! 2з Рф, (63,1) г где суммирование производится по всем возможным перестановкам. Образование же антисимметричной функции (эту операцию иногда называют альтернированиелт) может быть записано в виде фанти = соп51 2а ЬнРф. (63,2) л Возвратимся к вопросу о поведении волновых функций системы одинаковых частиц по отношению к перестановкам '). "! С »математической точки зрения задача состоит в нахождении неприводимых представлений группы перестановок.
Подробное изложение математической теории групп перестанонок см, в книгах: Г. Вайль, Теория групп и квантовая механика, »Наука», 1965. М. Халермгш, Теория групп и ее применения к физическим проблемам, ИЛ, 1966; Н. Г. Коллон, Симметрия мносозлектрон. иых сне~ем, »Наука», 1969. а ва1 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПВРВСТАНОВКАМ 283 Тот факт, что гамильтониан системы Й симметричен по всем частицам, означает, математически, что он коммутативен со всеми операторами перестановок Р. Однако эти операторы ие коммутативны друг с другом и поэтому не могут быть приведены одновременно к диагональному виду. Это значит, что волновые функции у не могут быть выбраны так, чтобы каждая из них была симметрична или антисимметричиа по отношению ко всем отдельным парным перестановкам ').
Поставим задачу об определении возможных типов симметрии функций у (г„, г„..., гы) от гг' переменных (или совокупностей нескольких таких функпий) по отношению к перестановкам переменных. Симметрия должна быть такой, чтобы она не могла быть повышена, т. е. чтобы всякая дополнительная операция симметризации или альтернироваиия при применении к этим функциям обращала бы их либо в линейные комбинации их же самих, либо тождественно в нуль. Мы знаем уже две операции, которые приводят к функциям максимальной симметрии: симметризация по всем переменным и альтернирование по всем переменным, Эти операции могут быть обобщены следующим образом. Разобьем совокупность всех У переменных г„г„..., гм (или, что то же самое, индексов 1, 2, 3, ..., )г) на несколько рядов, содержащих гг'„й(„... элементов (переменных): Фг + 1уе + ...
... = 1г'. Такое разбиение можно изобразить наглядно схемой (так называемая схема Юнга), в которой каждое из чисел Ж„ й(„... представлено строкой из нескольких клеток (так, на рис. 21 представлена схема разбиений 6+4+4+3+3+1+! и 7+5+5+3+1+1 для гг' = 22); в каждом из квадратов следует поместить одно из чисел 1, 2, 3, ... Если расположить строки в порядке их укорочения (так это и сделано на рис. 21), то схема будет содержать не только последовательные горизонтальные строки, но и вертикальные столбцы. Произведем симметризацию некоторой произвольной функции ~р (г„г„..., гд) по переменным, входящим в состав каждой из строк, После этого операция альтернирования может производиться только по отношению к переменным, входящим в различные ') Лишь длп системы па двух частпи вмеетсв всего олин оператор переставовкв, который может быть прпведеп к днагопальпому виду одновременно с гамвльтоппапом.
)гл. Ех тОждестВеннОсть чАстиц 284 строки; альтернирование по паре переменных, находящихся в одной строке, даст, очевидно, тождественно нуль. Выбрав из каждой строки по одной переменной, мы можем, не ограничивая общности, считать их находящимися в первых клетках строк (после симметризации порядок расположения переменных по клеткам каждой строки несуществен); произведем альтернирование по этим переменным. Вычеркнув затем первый столбец, произведем альтернирование по переменным, выбранным по одному из каждой строки укороченной таким образом схемы; теперь эти переменные можно снова считать находящимися в первых клетках укороченных строк. Продолжая этот процесс, мы придем к функции, сначала симметризованной по переменным каждой строки, а затем альтернированной по переменным каждого столбца (разумеется, после альтернирования функция, вообще говоря, перестает быть симметричной по переменным каждой строки; симметричность сохраняется лишь по отношению к переменным, находящимся в клетках первой строки, выступающих за остальные строки).
Распределяя )г' переменных различным образом по строкам схемы Юнга (распределение по клеткам каждой строки несущественно), мы получим таким способом ряд функций, которые при произвольной перестановке переменных преобразуются друг через друга '). Необходимо, однако, подчеркнуть, что не все эти функции линейно независимы; число независимых функций, вообще говоря, меньше числа возможных распределений переменных по строкам схемы; мы не станем останавливаться здесь на этом подробнее '). Таким образом, каждая юнговская схема определяет некоторый тип симметрии функций по отношению к перестановкам. Составляя все возможные (для данного Лг) юнгозские схемы, мы найдем все возможные типы симметрии. Это сводится к разбиению числа У всеми возможными способами на сумму нескольких меньших слагаемых, причем з число возможных разбиений включается также и само число У (так, для Лг = 4 возможны разбиения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
