Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Должно поэтому существовать определенное соответствие между законами преобразования собственных функций ф! при поворотах системы координат и вако. нами преобразования компонент симметричного спинора ранга 21. При установлении этого соответствия необходимо, однако, четко различать два аспекта зависимости волновых функций ов проекции момента л! (при заданном значении 1).
Речь может идти о волновой функции, как об амплитуде вероятности для различных значений т, и речь может идти о собственной функции для заданного значения и. С этими двумя аспектами мы имели уже дело в начале $ 55, где рассматривалась собственная функция б„оператора Ф„соответствующая значению з, = о,. Математическое отличие между ними в особенности ясно видно на примере частипы со спииом з = !(2.
В этом случае спиновая функция есть, по отношению к переменной о, контравариантный спинор 1-го ранга, т. е. должна быть написана, в соответствии со спинорными обозначениями, как б; . По отношению к и, она является, следовательно, нова. риантным спинором. Это обстоятельство имеет, очевидно, общий характер: собствен. ные функции ф, могут быть приведены в соответствие с компо.
й ы1 волновые екнкцни частиц с произвольным свином нентами ковариантного симметричного спинора ранга 21' по фор- мулам, аналогичным (57,2) '): фу = у ( + ) ( )( Фы ... гг.... ( , ) 1/ (21) ( 57 6 7+м 7-м Собственными функциями целочисленного момента 1' являются шаровые функции Гу . В особенности важен случай 1 = 1. Три шаровые функции уг .' .чl 3 . з г' У =1 у — сох 8 =1 ~7 — л, те У' 4и 4п п*г=~~ ~ ви з(пй.е*"=~~ Р вл(" ~1"а) (п — единичный вектор в направлении радиуса-вектора), Видно, что по своим трансформационным свойствам зти три функции эквивалентны компонентам некоторого вектора а по формулам соответствия, которые запишем в виде ф„= заю фзз = — = (а + (а ), зрг, т = =(а„— (а„).
(57,7) Сравнение этих выражений с формулой (57,6) показывает, что компонентам симметричного спинора второго ранга можно при- вести в соответствие компоненты некоторого вектора по формулам ( тРзз — — = а„фз, = — = (а„+ газ), зРзз = — (а„— (аз), (57,8) 2 2 2 .зз чргз = — = аж фз' = =, (а, — уа„), фзз = — = (а, + (а„). (57,9) Обратно: а, = 1 р' 2 ф', а„= — (зРм — фм) а = = (зР(г + тр™).
(57,10) Легко проверить, что при таком определении имеет место равенство (57, 11) ф,„<рхн аЪ, з) К атому результату можно подойти также и несколько иным путем. Если разложить волновую функцию ф частицы в состоянии с моментом 1 по собственным функциям фгж: ф = ~~ ~а флю то коэффициенты лж представляют собой О~ амплитуды вероятности для различных значений гл. В этом смысле оии соответствуют «компонентаьм ф (ю) спинозой волновой функции, чем устанавливается закон нх преобразования. С другой стороны, значение ф в данной точке пространства ие может зависеть от выбора системы координат, т.
е. сумма ~г ажфт,„ доллгна быть скаляром. Сравниван со скадаром (37,3), мы видим, что аю должнй преобразовываться как ( — ))(=мфд щ. (гл. тп! 2ЗО спин где а и Ь вЂ” векторы, соответствующие симметричным спинорам фьв и !рхв. Нетрудно также убедиться в соответствии между спи. нором и вектором ') ф~грв'+~фрх' и у'2 (аЬ]. (57,12) Формулы (57,10) можно записать в компактном виде с помощью матриц Пауля (57,13) (матричные индексы у и написаны сверху и снизу в соответствии с расположением спинорных индексов у фр).
Происхождение этой формулы легко понять, если рассмотреть частный случай, когда спинор второго ранга фр сводится к произведению неко. торого спинора первого ранга фн и его комплексно сопряжен. ного трхз; тогда величина есть среднее значение спина (для частицы с волновой функцией фв), так что ее векторный характер очевиден. Соответствие (57,8) или (57,9) является частным случаем общего правила: всякому симметричному спинору четного ранга 2/ (где ) — целое) можно привести в соответствие симметричный тензор вдвое меньше ранга (!), дающий нуль при упрощении по любой паре индексов (такой тензор будем называть иеприводимым).
Это следует уже из того, что число независимых компонент у таких спинора и тензора одинаково (равно 21 + 1), в чем легко убедиться простым подсчетом '). Соответствие между компонентами спинора и тензора может быть найдено с помощью формул (57,8) — (57,10), если рассматривать спинор данного ранга как произведение нескольких спиноров второго ранга, а тензор— кзк произведение векторов. Задачи !. Переписать определение (о7,4) оператора спина 1/2 с помощью спииориыв компонент вектора з. з) Смешанные компоненты симметричного спинора можно писать в виде ~ф, ие различая ф н и фи .
ь з) Другими словами, 21+ ! (! — целое) компонент неприводимого тензора ранга 1, как н совокупность 2)+ ! шаровых функций *г')вь как и 21+ 1 компонент симметричного спннора ранга 21, осуществлкют одно и то же иеприводимое представление группы вращеии». ОПЕРАТОР КОИЕЧИЫХ ВРАЩЕНИИ $ бб! Р е ш е н и е.
С учетом формул (57,9), устанавливающих связь между вектором з и спииором з в, определение (57,4) записывается в виде В~"ф' = — — (ф"аи'+ фиаь') 2 'гг2 2. Написать формулы, определяющие действие оператора спина на векторную волновую функцию частицы со свином 1. Р е ш е н и е, Связь компонент векторной функции ф с компонентами спинора ф"и дается формулами (57,9), а последняя нз формул (57,5) дает Вхф+ = — ф+ Вхф- = ф- бхфх = О (где фл = фх ~ гфа) или Зхфх — — (фа, Вафа — (фх, Вафа = О. Остальные формулы получаются из этих циклической перестановкой индексов л, у, а. Все вместе онн могут быть написаны в виде бгфь = — гсщгфг Комплексный вектор ф может быть представлен в виде ф = еГ" (и+ Га), где и и т — вещественные векторы, которые путем надлежащего выбора общей фазы а могут быть определены как взаимно перпендикулярные.
Два вектора и и т определяют плоскость, обладающую тем свойством, что проекция спина на перпендикулярное к ней направление может принимать лишь значения ~!. 9 58. Оператор конечных вращений Вернемся к вопросу о преобразовании спиноров и покажем, каким образом коэффициенты этого преобразования могут быть фактически выражены через углы поворота координатных осей. По определению оператора момента (в данном случае спина), выражение ! + (642.
пз есть оператор поворота на угол бгр вокруг направления, задаваемого единичным вектором и; в применении к волновой функции частицы со спином !/2, т. е. к спинору первого ранга, надо положить в этом операторе з = и/2, Оператор же поворота на конечный угол ф вокруг того же направления будет соответственно даваться формулой б„= ехр (гфпо!2) (ср. (!5,!3)). Как и всякая функция матриц Паули (см. задачу ! 9 55), это выражение сводится к линейному по этим матрицам выражению у„= соз 4 + гпп б(ц ф, 2 2 ' (58,2) Так, для поворота вокруг оси г находим У, (гр) = соз — + (о, з1п — = ( ', „° (58,3) -ге!2 (гл.
чш спин фп = т)1аИ»'т, фт' = фта — гегт. В частности, при повороте иа угол 2п компоненты спииора ме. ияют зван„таким же свойством будут, следовательно, обладать также и спииоры любого нечетного ранга (ср. конец 2 55). Аналогичным образом найдем матрицы преобразований, состоящих в повороте иа угол гр вокруг оси х или оси йи Ф ° Ф Ф Ф соз — 1 з1п— 2 2 соз — з)ив 2 2 Ц„(гр) =, Ца (гр) = (з!п и соз ф 2 2 — з(п ~ Соа 'Р 2 2 (58,4) поворота иа угол и вокруг .оси у, при нотором ф!',)2 фа ф1 Отметим частный случай т.
е. фг = фт, фг = ф,. (58,5) Легко написать теперь матрицу преобразования при произвольном повороте координатных осей в зависимости от углов Эйлера, определяющих этот поворот. Вращение осей, определяемое углами Эйлера а, )), у, произ. водится в три приема. 1) поворов иа угол а (О .4 а а, 2п) вокруг оси г, 2) поворот иа угол (О 4 р ~(п) вокруг нового положе. таи иазйваемая линия узлов), 3) поворот вокруг получившегося оиойчательиого '„С "" Рис.
20 иия оси у (ОМ иа рис. 20, иа угол у (О ~( у 4 2п) положения (г') оси ге). ') Системы хуг н х'у'х', как всегда, — иравовинтовые, а иоложятельисе направление отсчета углов отвечает направлению буравчика, аавинчиваемого в иологннтельном направлении оси поворота. !(аиное здесь оиределенне углов Эйлера (иринятое в кваитовомеханнческил нримененнях) отличается от оиределения в 1, З ЗЗ тем, что второй поворот нро- иаводнтся вокруг оси у, а не вокруг оси х.
углы сс, р, у свяааны с углами ~р, 8, ту в т. 1 (не смешивать со сферическими углами ~р, 80 посредством и и у=а+ — з=р тр у — —, 2 ' 2 ' Это значит, что компоненты спииора при таком повороте преобразуются по закону ОпеРАтоР конвчных ВРАщениЙ й 88) Очевидно, что углы а, р совпадают со сферическими углами чр, 8 новой оси г' по отношению к осям хдг: са = чр, 6 = 8, Соответственно такому способу поворота осей, матрица полного преобразования равна произведению трех матриц (58,3)— (58,4): б(, (), у) = й,(у)б,(()) б,().
Непосредственным перемножением матриц окончательно находим 81п Р в-Ч РЗ вЂ” тпв (58,6) соз е С Ю+т~78 2 соз — ° ет < этмз Р, 2 и(, Р, у)= — 51п — в' ( — т)!з 2 Коэффициенты О ° составляют (по отношению к индексам т'тп) и) матрицу ранга 2) -)- 1 — матрицу конечных вращений би', ее элементы являются функциями углов поворота сз, 6, у системы х д г относительно хдг. Конструктивное построение матрицы конечных вращений может быть произведено с помощью спинорного представления функЦнй тРТ Прн 1 = 1/2 две функции фнз (вт = ~1/2) составляют ковариаитный спииор первого ранга. Согласно (56,13) его преобразование (от системы х'у'г' к системе хуг) осуществляется матрицей 0 (58,6), так что 0 "~ю = О ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
