Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

нора, то таковым может быть только спинор второго ранга. Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать всего два значения, то при трех или большем числе индексов по крайней мере два индекса будут иметь одинаковые значения, а потому компоненты спинора тождественно обратятся в нуль. Всякий антисимметричиый спинор второго ранга сводится к скаляру, умноженному на единичный спинор пщ. Отметим здесь следующее, вытекающее из сказанного, соотношение: (56,17) й!яфч + ЙачфА+ Йм3М» = 0 где фь — произвольный спинор; это правило является следствием просто того, что стоящее в левой части равенства выражение представляет собой (как легко проверить) антисимметричный спинор третьего ранга. Спинор, составленный как произведение спинора ф„„на самого себя, упрощенный по одной паре индексов, антисймметричен !ю другой; действительно, Поэтому в силу сказанного выше этот спинор должен сводиться к спинору д,„, умноженному на скаляр.

Определяя последний так, чтобы упрощение по второй паре индексов давало правильный результат, найдем (56,18) Ф зт1 Волновыя Фхнкции чхстиц с пгоиэвольным спином эха Компоненты спинора ф(и, комплексно сопряжекного с ф~„, преобразуются как компоненты коитравариантного спииора рхв ", и наоборот. Сумма квадратов модулей компонент любого спинора является, следовательно, инвариаитом. й 57. Волновые функции частиц с произвольным спииом Развив формальную алгебру спиноров произвольного ранга, мы можем перейти к нашей непосредственной задаче — изучению свойств волновых функций частиц с произвольным спином. К этому вопросу удобно подойти, рассматривая совокупность и частиц со спином 1/2.

Максимальное возможное значение г.ком. поненты полного спина системы равно и/2, что получается, когда для каждой из частиц з, = 1/2 (все спины направлены в одну сторону — вдоль оси г). В этом случае можно утверждать, что и полный спин Я системы равен и/2. Все компоненты волновой функции ф (о„, о„..., о„) системы частиц равны при этом нулю, за исключением только одной— ф (1/2, 1/2, ..., 1/2). Если написать волновую функцию в виде произведения и спиноров ф"я~я..., из которых каждый относится к одной из частиц, то у каждого из них будет отлична от нуля только компонента с Х, р, ...

= 1. Таким образом, будет отлич. ным от нуля только произведение Чг<р'„, Но совокупность всех этих произведений представляет собой некоторый спинор и-го ранга, симметрпчный по всем своим индексам. Если произвести преобразование системы координат (так, что спины окажутся направленными не по оси г), то мы получим некоторый спинор а.го ранга общего вида, но по-прежиему симметричный. Спиновые свойства волновых функций, будучи по существу их свойствами по отношению к поворотам системы координат, тождественны для частицы со спином з и для системы из и = 2з частиц со спинами 1/2, направленными так, что полный спин системы равен з. Отсюда заключаем, что волновая функция частицы со спином э представляет собой симметричный спинор ранга и = 2$. Легко видеть,' что число независимых компонент симметрич.

ного спинора 2з.го ранга равно, как и должно было быть, тоже 2з + 1, Действительно, различными будут лишь компоненты, среди индексов которых имеется 2з единиц и О двоек, 2з — 1 еди. ииц и одна двойка и т. д. до О единиц и 2з двоек. С математической точки зрения, симметричные спиноры дают классификацию возможных типов преобразования велйчин при поворотах системы координат. Если имеется 2э + 1 различных величин, линейно преобразующихся друг через друга (причем число этих величин не может быть уменьшено никаким выбором нз линейных комбинаций), то можно утверждать, что закон их 1гл.

иш 256 спин преобразования эквивалентен закону преобразования компонент симметричного спннора ранга 2а. Всякая совокупность любого числа функций, линейно преобразующихся друг через друга при поворотах системы координат, может быть сведена (надлежащим линейным преобразованием) к одному или нескольким симметричным спинорам '). Так, произвольный спинор п.го ранга фап, . может быть сведен к симметричным спинорам рангов и, и — 2, и — 4, ... Фактически такое приведение может быть произведено следующим образом. Симметризуя спинор ф,„,„, по всем индексам, образуем симметричный спннор того же в-го ранга. Далее, упрощая исход. ный спинор фан,„, по различным парам индексов, получим спиноры (и — 2).го ранга вида ф"„,,, которые в свою очередь симметризуем, так что получаем симметричные спиноры (и — 2)-го ранга.

Симметризуя спиноры, получающиеся после упрощения ф,ииа по двум парам индексов, получим симметричные спиноры (и — 4)-го ранга, и т. д. Нам остается еще установить связь между компонентами симметричного спинора 2з-го ранга и 2а + 1 функциями ф (о) (где а = а, з — 1, ..., — з). Компонента а — о ы .л еа..л а+о среди индексов которой 1 повторяется з+ ораз, а2 встречается (» — о) раз, соответствует равной и проекции спина на ось г.

Действительно, если опять рассматривать систему и = 2з частиц со спином 1/2 вместо одной частицы со спином з, то написанной компоненте будет соответствовать произведение а+О 5 о фу... хУ...; такое произведение отвечает состоянию, в котором (з + и) частиц имеют проекцию спина, равную +1/2 и (з — а) — проекцию, равную — 1/2, так что суммарная проекция равна '/, (и + а)— — '/, (з — о) = о. Наконец, коэффициент пропорциональности между написанной компонентой спинора и ф (о) подберем так, чтобы имело место равенство +5 2 Е )ф(п)!'= Е )ф"а- !' О= — а ми, ...=1 ') Другими словами, симметричные спииоры осущестилщот неприиолимые прелстаалеиии группы вращений (см. 4 98).

з з7! ВОлнОВые ФУнкции чхстиц с пРОизВОльным спином 2чт (эта сумма является скаляром, как и должно быть, поскольку она определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства). В сумме в правой стороне равенства компоненты с (з + и) индексами 1 встречаются (2з)! (з + а) ! (з — а)! раз. Поэтому ясно, что соответствие между функциями ф (О) и компонентами спинора устанавливается формулой 7 †ф(п) = ~Г ) ф!.!„:„'! "' .

(57,2) (2з) ! Соотношением (57,2) обеспечивается соблюдение не только условия (57,1), но, как легко убедиться, также и более общего условия 7РА"" ЧАВ... = Е ( — 1)з-а ф(П),р( О) (57 3) а (ззф) = — ф, 2 7) 2 (57,4) ('ф) = — 2 (ззф) = — ф, Для перехода к общему случаю произвольного спина снова рассматриваем систему из 2з частиц со спином 1/2 и пишем ее волновую функцию в аиде произведения 2з спиноров. Оператор спина системы частиц представляет собой сумму операторов спинов каждой из частиц, действующих только на соответствующий спинор, причем результат их воздействия определяется формулами (57,4), Переходя затем обратно к произвольным симметрич- где 717АВ" и Ч7А„„, — два различных спинора одинакового ранга, а ф (о), зр (и) — функции, сопоставляемые с этими спинорами по ф ормуле (57,2) (множитель ( — 1)' — связан с тем, что при поднимании всех индексов у компонент спинора знак меняется столько раз, сколько имеется двоек среди индексов).

Формулами (55,5) определяется результат воздействия оператора спина на волновые функции зр (о). Не представляет труда установить, каким образом воздействуют эти операторы иа волновую функцию, написанную в виде спинога 2з-го ранга. В слу. чае спина 1)2 функции ф (+1/2), зр ( — 1/2) совпадают с компонентами зрз, фз спинора, Согласно (55,6) и (55,7) результатом воздействия на них операторов спина будет !гл, юп спин 288 иым спииорам, т. е. к волновым функциям частицы со спином з, получим следу!ощие формулы: в+в в — а в+а † в+1 в+а+1 в †а в (йф)!! ..ю., ф в!... ю... ) ф и...

ю... в+а ' ''а ' в — а в+а в — а в+а †! в †а !+а+! в-.а — ! (вв тв)в!... ю... ! в!, в!... ю... ( ! ф и... ю... . в+а ' ' ' .в — а а 2 2 в+а в — а в+а в-а (й ф) в!... 22... — овр !!... 22." (57,5) До сих пор мы говорили о спинорах как о волновых функциях собственного момента элементарных частиц. Однако с фор. мальной точки зрения нет никакои разницы между спином отдельной частицы и полным моментом любой системы, рассматриваемой как целое, отвлекаясь от ее внутренней структуры.

Поэтому очевидно, что трансформационные свойства спиноров в той же степени относятся и к поведению по отношению к пространственным поворотам волновых функций вр; любой частицы (или системы частиц) с полным моментом 1 вне зависимости от его природы (орбитальной или спиновой).

Характеристики

Список файлов книги