Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 53
Текст из файла (страница 53)
ванного состояиия все три компоненты равны нулю. В общем же случае произвольной частичной поляризации и произвольном выборе системы координат имеет место неравенство 0 .4 р 4 1, где 2 (-г+ -г+ -г)пг есть величина, которую можно назвать степенью поляризации электрона.
Для частицы с произвольным спииом з матрица плотности есть спииор р"ю" р,, ранга 4з, симметричный по первым 2з и по последним 2з индексам и удовлетворя1ощий условиям хв.. (59,7) (59,8) Для подсчета числа независимых компонент матрицы плотности замечаем, что среди возможных наборов значений индек. сов )ь р, ... (или индексов р, о, ...) имеется лишь 2з+ 1 суще- й ео) оврлщвнив вввмвни и творима кгдмврсл 269 ственно различных. Учитывая также, что компоненты спинора рхи ", связаны одним соотношением (59,7), найдем, что число различных компонент равно (2з + 1)' — 1 = 4з (з + 1).
Хотя эти компоненты являются комплексными величинами, но в силу соотношений (59,8) это обстоятельство не увеличивает общего числа независимых величин, характеризующих состояние частичной поляризации частицы и равного, таким образом, 4з (з + 1) '). Для сравнения укажем, что состояние полной поляризации частицы описывается всего 4з величинами (2з + 1 комплексных компонент волновой функции ф"я ", связанных одним условием нормировки и содержащих одну несущественную для описания состояния общую фазу). Как и всЯкий спиноР Ранга 4з, спиноР Рхи" ро„, эквивалентен совокупности неприводимых тензоров рангов 4з, 4з — 2, ..., О. В данном случае имеется всего по одному тензору каждого из этих рангов, поскольку в силу свойств симметрии спинора р" я" каждое его упрощение может происходить лишь одним способом — по одному (любому) из индексов Х, р, ...
и одному из р, о, ... Кроме того, скаляр (тензор ранга О) вообще отсутствует, сводясь в силу условия (59,7) к единице. $ 60. Обращение времени и теорема Крамерса Симметрия движения по отношению к изменению знака времени в квантовой механике выражается в том, что если тр есть волновая функция некоторого стационарного состояния системы, то и «обращенная по времени» волновая функция (обозначим ветр"а») описывает некоторое возможное состояние с той же энергией, В конце $ 18 было указано, что тр'ап совпадает с комплексно сопряженной функцией ф*. В таком простом виде это утверждение относится к вол. новым функциям без учета спина частиц, При наличии спина оно требует уточнения. Представим волновую функцию частицы со спином з в виде контравариантного спинора трам " (ранга 2з).
При переходе к комплексно сопряженным функциям трхв" * мы получим, однако, совокупность величин, преобразующихся как компоненты ковариантного спинора. Поэтому операции обращения времени соответствует переход от волновой функции трхя' к новой волновой функ. ции, ковариантные компоненты которой определяются согласно (60,1) При заданной совокупности значений индексов ),, р, ... компоненты ко- и контравариантных спииоров соответствуют отличаю- ') Задание этих величин эквивалентно заданию средних значений компонент вектора з и всех их степеней н произведений по 2, 3...,, 2», которые не сводятся еще к более низким степеням (см.
задачу 3 $ 55), !гл. шп 2?О спин щимся по знаку значениям проекции момента. Поэтому в терминах функций «р, обращению времени соответствует переход от ф, к «р„, как и должно было быть, поскольку изменение знака времени меняет направление момента. Точное соответствие уста. навливается согласно (60,1): фз,-о = Фзо( — 1) (60,2) Другими словами, замена ф„- ф,'„требуемая операцией обращения времени, означает замену ') «р, фм, ( — 1)' (60,3) При двукратном повторении этой операции имеем «1«1, ( 1)« — а 1 ( 1) « — о ( 1)«+а ф ( 1)2« Таким образом, двукратное обращение времени возвращает волновую функцию к исходному значению лишь при целом спине, а при полуцелом спине оно меняет знак волновой функции.
Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих частиц. Орбитальный и спиновый моменты такой системы, каждый в отдельности, прн учете релятивистских взаимодействий, вообще говоря, не сохраняются. Сохраняется лишь полный момент 1. Если никакого внешнего поля нет, то каждый уровень энергии системы (2л'+ 1) кратно вырожден.
При включении внешнего поля это вырождение, вообще говоря, снимается. Возникает вопрос о том, может ли вырождение быть снятым полностью, т. е. так, 'чтобы система имела только простые уровни. Этот вопрос тесно связан с симметрией по отношению к обращению времени. В классической электродинамике имеет место инвариантность уравнений по отношению к изменению знака времени, если при этом оставить неизменным электрическое поле и изменить знак магнитного поля '). Это фундаментальное свойство движения должно сохраняться и в квантовой механике. Поэтому симметрия по отношению к обращению времени имеет место не только для замкнутой системы, но н во всяком внешнем электрическом поле (при отсутствии магнитного поля). Волновые функции системы представляют собой спиноры фам ", ранг и которых равен удвоенной сумме спинов всех частиц (и = 22; и,); эта сумма может не совпадать с полным спином 3 системы.
Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что в произвольном электрическом поле волновая функция н обращенная к ней по времени функция должны соответствовать состояниям с одинаковой энергией. Для того чтобы уровень был невырождеиным, во всяком случае необходимо, чтобы эти состоя- т) Обратим ввимаиие иа соответствие правила комплексиого сопрвжеиак сферическая фуикции, согласно !28,9), с оо«цим правилом (00,3).
') См. Рп $17. См. также аамечаиие в конце $1!!. й ао1 овРдщвниа ВРВмвни и тяоРвмд крлмарсд 271 ния были тождественными, т. е. соответствующие волновые фуикцин должны совпадать о точностью до постоянного множителя. При этом, конечно, обе должны быть выражены в виде одннйкойых (ко- или контраварнантных) спиноров. Напишем фхив,. Сфхп..., или, согласно (60,1)> фп" -Сф,и...а где С вЂ” постоянная.
Взяв комплексно сопряженное от обеих сто. рон этого равенства, получим тр" и " С*'тхн... ч Опустим индексы в левой стороне равенства, соответственно подняв их в правой. Это значит, что мы умножаем оба стороны рйд венства на Ялх Язп...
н сУммиРУем по индексам а„Р, ...1 пРИ этом В правой стороне надо воспользоваться тем, что ( 1)л огхайльа В результате получим С'( — ц" трх " ' Подставив «У»"' из (60,4), найдем фгчь., ( — 1)" СС'фхп... ° Это равенство должно выполняться тоджественно, т, е. должно быть ( — 1)"ССа = 1. Но поскольку ) С (Я во всяком случае полб1 жительно, то ясно, что это возможно лишь при четном п (т. ех. при целочисленном значении суммы ~,'з,). При нечетном л (при полуцелом значении ~ з,) ') условие (60,4) не может выполняться. Таким образом, мы приходим к результату, что электрическое поле может полностью снять вырождение только у системы с целочисленным значением суммы спиноз частиц.
У системы с полу- целой суммой спиноз в произвольном электрическом поле все уровни должны быть двукратно вырождены, причем двум различным состояниям с одинаковой энергией соответствуют комплексно сопряженные спиноры ') (Н. А. Кгапмгз, 1930). Сделаем еще одно замечание математического характера. Соотношение вида (60,4) с вещественной постоянной С представляет собой, с математической точки зрения, условие того, чтобы компонентам спинора можно было поставить в соответствие набор каких-либо вещественных величин; такое условие можно назвать х) При целой (полуцелой) сумме Х в„целыми (полуцелыми) являются также н все возможные вначения полного спина 8 системы.
') Если влектричесное поле обладает высокой симметрией (кубической), ' чо может иметь место и четырехкратное вырождение (см. 4 99 и аадачу к нему). спин !гл. в~и условием «иещестиенности» спинора'). Невозможность выполнения соотношения (60,4) при нечетном и означает, что никакому спинору нечетного ранга не может быть сопоставлена вещественная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
