Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Запишем ее элементы в ниде '"'т' '"' Еьв т) Обратнм вннманне на то, что матричные индексы в (56,7) как рзз расположены в порядке, отвечающем перемноженню столбцов матрицы тт()) с расположеннымн в строку функцнямн ф)м . В символической запнсн равенство (58,7) должно было бы быть напнсано как ф),„= (ф(0Н~),„— в соответствии с записью в (56,!3). Спиноры высших рангов преобразуются, по определению, как произведения компонент спииора первого ранга. В физических применениях, однако, представляют интерес не столько законы преобразования самих спиноров, сколько отвечающих им волно.
вых функций тр) Пусть функции тр) (пт = ), 1 — 1, ..., — 1) описывают в коор. динатной системе хуг состояние с определенным значением момента 1, а фУнкции тРТ ° — то же состоЯние по отношению к осЯм х'у'г', в первом случае пт есть значение )„а во втором: т' = 1;. Те и другие функции связаны друг с другом линейными соотно. шениями, которые запишем в виде тр),„= 2з В ) (а, р, у) ф)„, . (58,7) (гл, уп!. спин где 1/2 — 1/2 мп— . в 2 соз— 2 соз— 2 — з!ив 2 !/2 4/.')([)) = — 1/2 (58,8) где Р'„' " (соз 8) = "=„"" (1 — соз 8)-'(1 -[- соз 8) х 2" а! Х ( и ~, р ) [(1 — соз [)) +" (1 [- соз [))ь+») (58,11) — так называемые полиножы Якоби ').
Отметим, что Р„'™( — соз [)) = ( — 1)" Р1,' ' (соз [)). (58,12) Функции»('/1 обладают рядом свойств симметрии, которые можно было бы усмотреть из выражений (58,11) и (58,12), но х) Проведение вычислений можно найти в книге: Л. гт.
Ейтопг)з, Апйп!аг щощеп1ищ 1п Чпап1нщ тесйап!сз, Рг!псе1оп, 1957 (см. также перевод статьи того же автора в сб. «Де$ормация атомных ядер», ИЛ, 1953). Определение,фуниний .0!0, согласно (58,9 — !О), отличается от принятого в книге Эдмондов перестановкой ««ну (что более естественно в излагаемом подходе), а от принятого в статье еще и изменением знаков всех углов. з) Связь этих полниомов с гипергеометрнчесиим рядом — см, $ е (Формула (е, !1)). При произвольном значении / функции »р/ связаны с компонентами симметричного ковариантного спинора ранга 21' формулой (57,6). Матрица преобразования компонент спинора ранга 2/ и/3) есть произведение 2/ матриц В' / ', каждая из которых действует на один из спинорных индексов, Произведя перемножение и вернувшись снова к функциям ф/, получим матрицу преобразования последних в виде Е>") (сс, ~, у) - е' тг/О)ж(р)е'™» (58,9) причем функции с(,'» „([)) лютея формулой ') х (з1п 2 ) Р~"-т '"+ '(соз 8)» (58»10) ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ % ез) проще вывести непосредственно из их определения как коэффициентов вращательного преобразования, Матрица б<Н как матрица вращательного преобразования унитарна.
Поскольку преобразование, обратное повороту (а, р, у), есть поворот ( — у, — р, — с<), то для вещественной матрицы <1«> отсюда получаются соотношения 3п) ( — 1) =<(О' (р) (58,13) Далее, справедливы равенства п) (р) = <(-"',— Ф), ~<<1 ( ) ( 1)<+тб <(«1 ( — и) = ( — 1)' 6, <(«1 (О) = 6 (58,14) (58,15) При / = 1/2 они очевидны из (58,8), а их обобщение для произ. вольных / очевидно из описанного выше способа построения матрицы преобразовании, Произведем поворот на угол и — р как два последовательных поворота на углы я и — р: «"1 ( 8) = Е 3«1 .(П),(«1 ( †()) = ( — 1)'-" 3'« ( — 8) или, используя (58,13), /,".1. ( — й) = ( — 1)'-"' /Й .
(й). (58,16) Ж).Ф) = ( — 1) ' "а'"...®. (58,17) Из (58,!7), (58,14) и (58,13) следует, что <(~~) (6) = ( — 1) "<(<'< Ф) = ( — 1) '-" </«1„( 6). (58,18) На основании (58,13) — (58,18) могут быть написаны различные свойства симметрии полных функций 0 <1,„. Отметим, в частности, выражение комплексно сопряженной функции /7т)п(а, р, У) = 0~)ш( — с< (1, — г) = ( — 1) Е>'-'...
~(«,Р, т). (58,19) С математической точки зрения, матрицы Б<<> дают унитарные неприводнмые представления группы вращений с размерностью Результат двух поворотов вокруг одной и той же осн не зази. сит от их последовательности. Поэтому мы должны получить тот же результат, произведя повороты — р и и в обратном порядке. Сделав это и сравнив ответ с (58,18), получим соотно- шение 1гл.
сн! спин где Йо» = в(п (1 да с(р ду. Ортогональность функций по индексам т н т' обеспечивается множителем ехр 1! (та -1- т 7)). Ортогональность же по индексу 1 связана с функциями оп), для которых имеем (Ж!А (Р).Ы1~ (Р) и" 2'~ =,.',6,, (58,21) о Наконец, приведем, для справок, выражения функций о!!1 для некоторых частных значений параметров. Прн 1 = 1 имеем — (! -1- совр) 1 2 =в!пр 1 У2 — (! — сов р) 1 2 ! — =в!ай У2 — (1 — сов Р) 1 2 =в1п Р ! У2 — (!+сов р) ! 2 ,р„)„(!)) о ! — =в!пр У2 (58,22) При целом 1 = 1 н т' = 0 формулы (58,10) и (58,11) даюв дою(Й = ( — 1) с) о(Р) = ( — 1) $/, "', Р~ (соз ()). (58,23) Происхождение этой формулы легко проследить из исходного определения (58,7).
Будем относить значения функций вр! ° в пра. вой стороне (58,7) к оси г', на которой имеем (при 1 = 1) $4 ч'в/ 2!+1 (58,24) Функция же ф! в левой стороне будет тогда шаровой функцией )', ((), сс) от сферических углов ср: — сс, 8 = 1) направления оси г'. Подставив (58,24) в (58,7), получим у~„,((), )=!' ~ + Р1'( р у). что эквивалентно (58,23). 2! + 1 (см, ниже, 2 98). Отсюда сразу следует соотношение ортогональности и нормировки — — + Рт'щ~ (св~ р у) Ро щ (св ()у у) з в 2.
! 6! ! 6д, юъ 6т т 2ц+ 1 (58,20) $991 ЧАСТИЧНАЯ ПОЛЯРИЗАПИЯ ЧАСТИЦ Наконец, приведем выражение фуикции при наибольшем возможиом значении одного из индексов а2, п2'! «1)!! (0) = ( — 1)' (3 = 9 59. Частичная поляризация частиц Надлежащим выбором направления оси г всегда можно обратить в нуль одну из компоиеит (иапример, «р«) заданного спинора «рх — волновой функции частицы со спииом 1/2, Это очевидно уже из того, что направление в пространстве определяется двумя величинами (углами), т. е.
число имеющихся в пашем распоряже. иии параметров как раз равно числу величин (веществеииая и мнимая части комплексного «р«), которые мы хотим обратить в нуль. Физически это значит, что если частица со спииом 1/2 (будем говорить для определенности об электроне) находится в состояиии, описываемом некоторой спииовой волиовой функцией, то существует такое направление в пространстве, вдоль которого проекция спина частицы имеет определенное значение о = 1/2. Можио сказать, что в таком состояиии электрон полностью поляризован. Существуют, одизко, и такие состояиия электрона, которые можно назвать частично поляризованных!и.
Эти состояния описываются ие волновыми функциями, а лишь матрицами плотности, т. е. оии являются смешанными (по спину) состояниями (см. 9 14). Спииовая (или поляризационная) матрица плотности электрона представляет собой спииор второго ранга РА», нормированный условием (59,1 ) Р А = Р 2+Р 2= 1 и удовлетворяющий условию «эрмитовости» (Р») =РА. (59,2) В случае чистого (т, е.
вполне поляризоваииого) спииового состояиия электрона спиио~ р"„ сводится к произведеии2о компонент волновой функции «р ' Р»=2Р Й) (59,3) Диагональные компоненты матрицы плотиости определяют вероятиости значений +1/2 и — 1/2 проекции спина электрона иа ось г. Поэтому среднее значение этой проекции ! 1 2 (Р ! Р2)в ~гл. щи спин или, учитывая (59,1), р'г = 1/2+ з, ргг = 1/2 — з,. (59,4) В чистом состоянии среднее значеиие величин з = з„-ь (за вычисляется как з, = гр 'й, Ф й = Ф'й Ф~ Так как согласно (55,6) и (55,7), операторы Уе выражаются матрицами то находим ,~ре ~,г й фг г,~,1 Соответственио в смешанном состоянии будет Рг=з- Р1=з+.
(59,5) С помощью матриц Паули формулы (59,4) и (59,5) могут быть записаны совместно в виде Ра= 2 (ба+2й„з). (59,6) Таким образом, все компоненты поляризациоииой матрицы плотности электрона выражаются через средние значения компонент его вектора спина. Другими словами, вещественный вектор з полностью определяет свойства поляризации частицы со спииом 1/2. В предельном случае полной поляризации одна из компонент этого вектора (при соответствующем выборе направления осей) равна 1/2, а две другие — нулю. В обратном случае неполяризо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
