Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 47
Текст из файла (страница 47)
со. г Согласие (25,6) А =аА, +0Ас. (2) Адиабатический инвариант дия осциллятора равен Е)в, так что 1, =те, х« =2тв,) А,)', ),=2те,) А,)', или, подставляя (2): ! = 2те И) а)г+ ))3)~~ А,)~+ 2 (се [сф*Агс)]. Используя соотношение (25,7), имеющее в наших обозначениях вид )сс)г = ) 5)'+ в,7«э„находим: !г — !с — — 4твг[()3) ~ А, [ + Ке [ар"А,Ц. рассматриваемый случай медленного изменения в (!) соответствует в задаче об отражении от барьера кваэинлассической ситуации предыдущего параграфа. В такой ситуации (3 экспоиенциально мало. а )а)' аи е„)е,.
(Предполагается, что в' (!) не имеет особенностей или нулей на вещественной оси !.) Изложенный н предыдущем параграфе метод вычисления амплитуды отражения дает для !э — 1, оценку (3) с *ю-ь — ь-«~- ч( — «~ ( н«~), «1 где !э — особак точка в верхней полуплоскости с, дающая наибольший вклад в 5!. Эта формула соипадает с результатами 1, $51 для рассматриваемого случая гармонического осцнллятора. В случае, когда вг(!) имеет в верхней полуплоскости простой нуль, формулы предыдущего параграфа позволяют найти и предэкспоненциальныи множитель. (См. примечание на стр.
234). Отметим, что второй — главный — член в (3) зависит от начальной фазы колебаний. При усреднении по втой фазе он обращается в нуль, так что Л! е 2й!и где )7 яи — ~ )3 ~ — «коз4фициент отражению. 4 эз1 пяряходы под влияниям лдилнлтич, возмищянии 241 ГЛй В Д ЧП1 спин в 54. Свин Как в классической, так и в квантовой механике закон сохранения момента возникает как результат изотропии пространства по отношению и замкнутой системе. Уже в этом проявляется связь момента со свойствами симметрии по 'отношению к вращениям.
Но в квантовой механике эта связь становится в особенности глубокой, делаясь по существу основным содержанием понятия о моменте, тем более, что классическое определение момента частицы как произведения (гр) теряет здесь свой непосредственный смысл в виду одновременной неизмеримости радиуса-вектора н импульса, Мы видели в 5 28, что задание значений 1 и гл определяет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем самым— все ее свойства симметрии по отношению к вращениям. В наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к указанию закона преобразования волновых функций при поворотах системы координат.
Неизменной ') волновая функция фьм системы частиц (с заданными значениями момента (. и его проекции М) остается лишь прн повороте системы координат вокруг оси г. Всякий же поворот, меняющий напранление оси г, приводит к тому, что проекция момента на ось х уже не будет иметь определенного значения. Это значит, что в новых координатных осях волновая функция превратится, вообще говоря, в суперпозицию (линейную комбинацию) 21. + 1 функций, отвечающих различным возможным (при заданном ~) значениям М.
Можно сказать, что при поворотах системы координат 21. + 1 функций фьм преобразуются друг через друга ). Закон этого преобразования, т. е. коэффициенты суперпозиция (как функции углов поворота координатных осей), полностью определяется заданием значения ь. Таким образом, момент приобретает смысл квантового числа, классифицируюшего состояния системы по их трансформационным свойствам по отно- ') С точностью до несущественного фазового множителя.
з) По математической терминологии, эти функции осуществляют собой так называемые нелриаодилые представления группы вращений, Число преобразующнхся друг через друга функций называют размерностью представлении, причем предполагаетси, что это число не может быть уменьшено никаким выбором каких-либо других линейных комбинаций этих функций.
спин шению к вращениям системы координат. Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенности существен в связи с тем, что он не связан непосредственно с явной зависимостью волновых функций от углов; закон их преобразования друг через друга может быть сформулирован сам по себе, без ссылки на эту зависимость. Рассмотрим сложную частицу (скажем, атомное ядро), покоящуюся как целое и находящуюся в определенном внутреннем состоянии.
Помимо определенной внутренней энергии она обладает также и определенным по своей величине Е моментом, связанным с движением частиц внутри нее; этот момент может еще иметь 2Е + 1 различных ориентаций в пространстве. Другими словами, при рассмотрении движения сложной частицы как целого мы должны, наряду с ее координатами, приписывать ей еще и одну дискретную переменную — проекцию ее внутреннего момента' на некоторое избранное направление в пространстве. Но при указанном выше понимании смысла момента становится несущественным вопрос о его происхождении, и мы приходим естественным образом к представлению о «собственном» люменте, который должен быть приписан частице вне зависимости от того, является ли она «сложной» нли «элементарнойщ Таким образом, в квантовой механике элементарной частице следует приписывать некоторый «собственный» момент, не связанный с ее движением в пространстве.
Это свойство элементарных частиц является специфически квантовым (исчезающим при переходе к пределу й -» 0) и поэтому принципиально не допускает классической интерпретации '). Собственный момент частицы называзот ее спином, в отличие от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о котором говорят как об орбитальном мол1енте '). Речь может идти при этом как об элементарной частице, так и о частице, хотя и составной, но ведущей себя в том или ином рассматриваемом круге явлений как элементарная (например, об атомном ядре). Спин частицы (измеренный, как и орбитальный момент, в единицах й) будем обозначать посредством з.
Для частиц, обладающих спином, описание состояния с помощью волновой функции должно определять не только вероятности ее различных положений в пространстве, но и вероятности различных возможных ориентаций ее спина. Другими словами, волновая функция должна зависеть не только от трех непрерыв=. ') В частности было бы совершенно бессмысленным представлить себе «соб. огненный» момент злементарной частицы кан результат ее вращения «вокруг своей оси». ') Физическая идея о наличии у злектрона собственного момента была высказана Ул«абаком и Гардгмнтом (О. УИ1«н«сей, Б. бои»1«шИ, 1925), В квантовуш механику свин был введен Паули (йг.
Раи)1, 1927). [гл. чп1 244 спин ных переменных — координат частицы, но и от одной дискретной спинозой переменной, указывающей значение проекции спина на некоторое избранное направление в пространстве (ось г) и пробегающей ограниченное число дискретных значений (которые мы будем обозначать далее буквой а). Пусть ф (х, у, г; а) — такая волновая функция. По существу оиа представляет собой совокупность нескольких различных функций координат, отвечающих различным значениям а; об этих функциях мы будем говорить как о алимовых компонентах волновой функции. При этом интеграл ~ ~ф(х, у, г; а) ~~дУ определяет вероятность частице иметь определенное значение а. Вероятность же частице находиться в элементе объема аУ, имея произвольное значение а, есть "г ~ ~ф(х, у, г; а)~' о Квантовомеханический оператор спина при применении его к волновой функции действует именно на спиновую переменную а.
Другими словами, он каким-то образом преобразует друг через друга компоненты волновой функции. Вид этого оператора будет установлен ниже. Но, уже исходя из самых общих соображений, легко убедиться в том, что операторы й„, з„, А, удовлетворяют таким же условиям коммутации, как и операторы орбитального момента. 'Оператор момента в основном совпадает с оператором бесконечно малого поворота. При выводе в $ 26 выражения для оператора орбитального момента мы рассматривали результат применения операции поворота к функции координат. В случае спинового момента такой вывод теряет смысл, поскольку оператор спина действует иа спииовую переменную, а не иа координаты.
Поэтому для получения искомых соотношений коммутации мы должны рассматривать операцию бесконечно малого поворота в общем виде, как поворот системы координат. Производя последовательно бесконечно малые повороты вокруг оси х и оси у, а затем вокруг этих же осей в обратном порядке, легко убедиться непосредственным вычислением, что разница между результатами обеих этих операций эквивалентна бесконечно малому повороту вокруг оси г (на угол, равный произведению углов поворота вокруг осей х и у). Мы не станем производить здесь этих простых вычислений, в результате которых вновь получаются обычные соотношения коммутации между операторами компонент момента импульса, которые, следовательно, должны иметь место и для операторов спина: (аг Ч = Гйх (йж йх) = ~йу (йх йг) = А (б4~)) со всеми вытекающими из иих физическими следствиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
